循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
人年143012100536004新发病例106

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项队列研究中，不同人群被随访了不同的时间长度（见表：每组的人数和随访年数）。随访期间发生了 106 例新发病例。求发病率IR，每 1000 人年。 保留一位小数。

430 × 1 年份100 × 5 年600 × 4 年106 新发病例
IR = 每 1000 人年
2.循证实践统计学困难
p (%)PPV (%)5%PPV = ?100

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项筛查检测的灵敏度为 84%，特异度为 98%。它用于患病率为 5% 的人群。 求阳性预测值PPV，以百分数表示。 保留一位小数。

Se = 84%Sp = 98%p = 5%
PPV = %
3.描述统计中等
303234363840424446

求数据的样本标准差 s：30, 44, 47, 44, 45, 45。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。数值低于 40 的比例 P 是多少？

μ = 50σ = 5x = 40
P =
5.置信区间中等
n = 30, s = 19L = ?Ux̄ = 76E95%

一个包含 30 个个体的样本，均值为 76，标准差 s = 19。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 30x̄ = 76s = 1995%t(29) = 2.045
下限 =
6.置信区间困难
σ = 33, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.590%

总体标准差为 33。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 33E = 2.590%
n =
7.假设检验与置信区间中等
t −2.06402.064

25 名学生的样本平均分为 54.8，样本标准差为 20。求 H₀: μ = 50 的检验统计量 t。

μ₀ = 50x̄ = 54.8s = 20n = 25
t =
8.假设检验与置信区间困难
−1.961.96z = ?

在一项试验中，接受治疗 A 的 300 名患者中有 60 人康复，接受治疗 B 的 80 名患者中有 27 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 60n₁ = 300x₂ = 27n₂ = 80
z =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: IR = 31.8 每 1000 人年

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

人年

PY = 430·1 + 100·5 + 600·4 = 3330

发病率

IR = 106/3330·1000 = 31.8 每 1000 人年

答案

IR = 31.8 每 1000 人年
2.循证实践统计学

答案: PPV = 68.9 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

真阳性和假阳性（按每人计）

Se·p = 0.84·0.05 = 0.042
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.02·0.95 = 0.019

阳性预测值

PPV = 0.042/(0.042 + 0.019) = 0.6885 ≈ 68.9%

答案

PPV = 68.9%

患病率越低，同一检测的 PPV 越低。

3.描述统计

答案: s = 6.221

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 255/6 = 42.5

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−12.5)² + 1.5² + 4.5² + 1.5² + 2.5² + 2.5² = 193.5

标准差

s = √(193.5/5) = 6.221

答案

s = 6.221
4.描述统计

答案: P = 0.02275

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = −2

标准正态分布表

Φ(−2) = 0.02275
P = 0.02275

答案

P = 0.02275
5.置信区间

答案: 下限 = 68.91

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 29, t = 2.045

误差范围

E = 2.045·19/√30 = 7.094

区间

76 ± 7.094 → [68.91, 83.09]

答案

下限 = 68.91
6.置信区间

答案: n = 472

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·33/2.5)² = 471.5

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 472

答案

n = 472
7.假设检验与置信区间

答案: t = 1.2

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 20/√25 = 20/5 = 4

检验统计量

t = (54.8 − 50)/4 = 1.2

答案

t = 1.2
t0.025; df = 24 = 2.064

|t| < 2.064，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: z = −2.601

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 60/300 = 0.2
p̂₂ = 27/80 = 0.3375
p̂ = 87/380 = 0.2289

H₀ 下的标准误

SE = √(0.2289·0.7711·(1/300 + 1/80)) = 0.05287

检验统计量

z = (0.2 − 0.3375)/0.05287 = −2.601

答案

z = −2.601

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

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