循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
事件无事件总数治疗63217280ab对照179381560cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项随机试验中，280 名患者接受新疗法，560 名接受对照治疗。表中显示每组有多少人出现了结局（如卒中等不良事件）。 求绝对风险降低ARR，以百分数表示。 保留一位小数。

治疗: 63/280对照: 179/560
ARR = %
2.循证实践统计学困难
检验前15%检验后?p′LR−

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一位患者某病的检验前概率为 15%。一项灵敏度为 83%、特异度为 96% 的检测结果为负数。求该病的检验后概率p′，以百分数表示。 保留一位小数。

检验前 15%Se = 83%Sp = 96%负数
p′ = %
3.描述统计中等
10152025303540455055

求数据的样本标准差 s：58, 58, 53, 23, 10, 50, 53。

n = 7
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 20。求成绩 60 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 20x = 60
z =
5.置信区间中等
n = 10, s = 1LUx̄ = 36.5E = ?90%

一个包含 10 个个体的样本，均值为 36.5，标准差 s = 1。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的误差范围 E。

n = 10x̄ = 36.5s = 190%t(9) = 1.833
E =
6.置信区间困难
σ = 27, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.590%

总体标准差为 27。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2.5？

σ = 27E = 2.590%
n =
7.假设检验与置信区间中等
t −2.01102.011

49 名学生的样本平均分为 206.2，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 206.2s = 15n = 49
t =
8.假设检验与置信区间困难
−1.961.96z = ?

在一项试验中，接受治疗 A 的 100 名患者中有 20 人康复，接受治疗 B 的 120 名患者中有 34 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 20n₁ = 100x₂ = 34n₂ = 120
z =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: ARR = 9.5 %

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

事件发生率

EER = 63/280 = 0.225
CER = 179/560 = 0.3196

绝对风险降低

ARR = 0.3196 − 0.225 = 0.09464 ≈ 9.5%

答案

ARR = 9.5%
2.循证实践统计学

答案: p′ = 3 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

似然比

LR− = (1 − 0.83)/0.96 = 0.1771

检验前比值

0.15/(1 − 0.15) = 0.1765

检验后比值

0.1765·0.1771 = 0.03125

检验后概率

p′ = 0.03125/(1 + 0.03125) = 0.0303 ≈ 3%

答案

p′ = 3%
3.描述统计

答案: s = 19.09

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 305/7 = 43.57

离差平方

Σ(x − x̄)² = 14.43² + 14.43² + 9.429² + (−20.57)² + (−33.57)² + 6.429² + 9.429² = 2186

标准差

s = √(2186/6) = 19.09

答案

s = 19.09
4.描述统计

答案: z = −2

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (60 − 100)/20 = −2

答案

z = −2
5.置信区间

答案: E = 0.5796

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 9, t = 1.833

误差范围

E = 1.833·1/√10 = 0.5796

答案

E = 0.5796
6.置信区间

答案: n = 316

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·27/2.5)² = 315.6

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 316

答案

n = 316
7.假设检验与置信区间

答案: t = 2.893

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√49 = 15/7 = 2.143

检验统计量

t = (206.2 − 200)/2.143 = 2.893

答案

t = 2.893
t0.025; df = 48 = 2.011

|t| > 2.011，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: z = −1.43

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 20/100 = 0.2
p̂₂ = 34/120 = 0.2833
p̂ = 54/220 = 0.2455

H₀ 下的标准误

SE = √(0.2455·0.7545·(1/100 + 1/120)) = 0.05827

检验统计量

z = (0.2 − 0.2833)/0.05827 = −1.43

答案

z = −1.43

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

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