循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
Se69%Sp67%LR+ = ?

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项检测的灵敏度为 69%，特异度为 67%。 求阳性似然比LR+。 保留两位小数。

Se = 69%Sp = 67%
LR+ =
2.循证实践统计学困难
检验前10%检验后?p′LR+

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一位患者某病的检验前概率为 10%。一项灵敏度为 78%、特异度为 70% 的检测结果为正数。求该病的检验后概率p′，以百分数表示。 保留一位小数。

检验前 10%Se = 78%Sp = 70%正数
p′ = %
3.描述统计中等
1520253035404550

求数据的样本标准差 s：19, 50, 41, 13, 37。

n = 5
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 100。求成绩 350 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 100x = 350
z =
5.置信区间中等
n = 21, s = 6L = ?Ux̄ = 13E99%

一个包含 21 个个体的样本，均值为 13，标准差 s = 6。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 21x̄ = 13s = 699%t(20) = 2.845
下限 =
6.置信区间困难
p ≈ 0.3, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0595%

一项预研究表明，约有 0.3 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.05？

p ≈ 0.3E = 0.0595%
n =
7.假设检验与置信区间中等
t −1.99801.998

64 名学生的样本平均分为 494.2，样本标准差为 15。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 494.2s = 15n = 64
t =
8.假设检验与置信区间困难
z −1.64501.645

25 次测量的样本均值为 506.6。总体标准差为 15。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 506.6σ = 15n = 2590%
L =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: LR+ = 2.09

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

阳性似然比

LR+ = 0.69/(1 − 0.67) = 2.091 ≈ 2.09

答案

LR+ = 2.09
2.循证实践统计学

答案: p′ = 22.4 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

似然比

LR+ = 0.78/(1 − 0.7) = 2.6

检验前比值

0.1/(1 − 0.1) = 0.1111

检验后比值

0.1111·2.6 = 0.2889

检验后概率

p′ = 0.2889/(1 + 0.2889) = 0.2241 ≈ 22.4%

答案

p′ = 22.4%
3.描述统计

答案: s = 15.49

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 160/5 = 32

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−13)² + 18² + 9² + (−19)² + 5² = 960

标准差

s = √(960/4) = 15.49

答案

s = 15.49
4.描述统计

答案: z = −1.5

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (350 − 500)/100 = −1.5

答案

z = −1.5
5.置信区间

答案: 下限 = 9.275

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 20, t = 2.845

误差范围

E = 2.845·6/√21 = 3.725

区间

13 ± 3.725 → [9.275, 16.72]

答案

下限 = 9.275
6.置信区间

答案: n = 323

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.96²·0.3·0.7/0.05² = 322.7

向上取整

n = 323

答案

n = 323
7.假设检验与置信区间

答案: t = −3.093

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 15/√64 = 15/8 = 1.875

检验统计量

t = (494.2 − 500)/1.875 = −3.093

答案

t = −3.093
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: L = 501.7

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.645·15/√25 = 4.935

区间端点

L = 506.6 − 4.935 = 501.7

答案

L = 501.7

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