循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
检测有疾病无疾病总数正数15883241ab负数42277319cd总数200360560

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项研究将一种新检测与参考标准进行了比较（见 2 × 2 表）。 求阳性似然比LR+。 保留两位小数。

a = 158b = 83c = 42d = 277
LR+ =
2.循证实践统计学困难
检测有疾病无疾病总数正数?负数总数10 000

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 用灵敏度为 83%、特异度为 76% 的检测对 10 000 人进行筛查。该病的患病率为 21%。 预期会有多少假阳性结果FP？

N = 10 000p = 21%Se = 83%Sp = 76%
FP =
3.描述统计中等
1520253035404550

求数据的样本标准差 s：36, 25, 45, 25, 54, 14, 40。

n = 7
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 8。数值低于 92 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 8x = 92
P =
5.置信区间中等
n = 12, s = 6.5L = ?Ux̄ = 109E99%

一个包含 12 个个体的样本，均值为 109，标准差 s = 6.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 99% 置信区间的下限。

n = 12x̄ = 109s = 6.599%t(11) = 3.106
下限 =
6.置信区间困难
μ₁ − μ₂, t(24) = 1.7110LU = ?x̄₁ − x̄₂E90%

对两种肥料进行试验。地块组 1：17 块地，平均产量 57 kg，标准差 8.5 kg。地块组 2：9 块地，均值 65 kg，标准差 4.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。

n₁ = 17x̄₁ = 57s₁ = 8.5n₂ = 9x̄₂ = 65s₂ = 4.590%t(24) = 1.711
上限 = kg
7.假设检验与置信区间中等
−2.1312.131t = ?df = 15

比较两种教学方法。第 1 组：10 名学生，平均分 117.5，标准差 7.5。第 2 组：7 名学生，平均分 121.4，标准差 6.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 10x̄₁ = 117.5s₁ = 7.5n₂ = 7x̄₂ = 121.4s₂ = 6.5
t =
8.假设检验与置信区间困难
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0.05βσ = 15, 功效 80%, n = ?

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 80% 的功效检测出均值 5 个单位的偏移。标准差为 15。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 80%δ = 5σ = 15zα = 1.645zβ = 0.842
n =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: LR+ = 3.43

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

灵敏度和特异度

Se = 158/200 = 0.79
Sp = 277/360 = 0.7694

阳性似然比

LR+ = 0.79/(1 − 0.7694) = 3.427 ≈ 3.43

答案

LR+ = 3.43
2.循证实践统计学

答案: FP = 1896

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

患病者和未患病者

10 000·0.21 = 2100
10 000 − 2100 = 7900

假阳性

FP = 7900·0.24 = 1896

答案

FP = 1896

在 3639 个阳性结果中，只有 1743 人患病（PPV 47.9%）。

3.描述统计

答案: s = 13.68

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 239/7 = 34.14

离差平方

Σ(x − x̄)² = 1.857² + (−9.143)² + 10.86² + (−9.143)² + 19.86² + (−20.14)² + 5.857² = 1123

标准差

s = √(1123/6) = 13.68

答案

s = 13.68
4.描述统计

答案: P = 0.1587

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = −1

标准正态分布表

Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587

答案

P = 0.1587
5.置信区间

答案: 下限 = 103.2

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 11, t = 3.106

误差范围

E = 3.106·6.5/√12 = 5.828

区间

109 ± 5.828 → [103.2, 114.8]

答案

下限 = 103.2
6.置信区间

答案: 上限 = −2.773 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

sp² = (16·8.5² + 8·4.5²)/24 = 54.92
sp = 7.411

误差范围

E = 1.711·7.411·√(1/17 + 1/9) = 5.227

区间

−8 ± 5.227 → [−13.23, −2.773]

答案

上限 = −2.773 kg
7.假设检验与置信区间

答案: t = −1.112

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

sp² = (9·7.5² + 6·6.5²)/15 = 50.65
sp = 7.117

标准误

SE = 7.117·√(1/10 + 1/7) = 3.507

检验统计量

t = (117.5 − 121.4)/3.507 = −1.112

答案

t = −1.112

df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更小，所以不拒绝 H₀。

8.假设检验与置信区间

答案: n = 56

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 0.842)·15/5)² = 55.67

向上取整

n = 56

答案

n = 56

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