循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
人年14000.52360235005新发病例107

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项队列研究中，不同人群被随访了不同的时间长度（见表：每组的人数和随访年数）。随访期间发生了 107 例新发病例。求发病率IR，每 1000 人年。 保留一位小数。

400 × 0.5 年360 × 2 年500 × 5 年107 新发病例
IR = 每 1000 人年
2.循证实践统计学困难
p (%)PPV (%)20%PPV = ?100

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项筛查检测的灵敏度为 73%，特异度为 95%。它用于患病率为 20% 的人群。 求阳性预测值PPV，以百分数表示。 保留一位小数。

Se = 73%Sp = 95%p = 20%
PPV = %
3.描述统计中等
15202530354045

求数据的样本标准差 s：20, 26, 33, 45, 42, 12。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 12。求成绩 65 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 12x = 65
z =
5.置信区间中等
n = 12, sd​ = 3.50L = ?Ud̄ = −3.1E90%

测量 12 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −3.1，标准差为 3.5。 求平均差值的 90% 置信区间的下限。

n = 12d̄ = −3.1sd = 3.590%t(11) = 1.796
下限 = mmHg
6.置信区间困难
σ = 40, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 0.595%

总体标准差为 40。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.5？

σ = 40E = 0.595%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−1.961.96z = ?

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：40 个零件的样本平均长度为 65 mm，该生产线的已知标准差为 20 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 70.5 mm，已知标准差为 7 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 40x̄₁ = 65 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 100x̄₂ = 70.5 mmσ₂ = 7 mm
z =
8.假设检验与置信区间困难
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1α = 0.05βσ = 8, 功效 90%, n = ?

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 90% 的功效检测出均值 1 个单位的偏移。标准差为 8。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 90%δ = 1σ = 8zα = 1.645zβ = 1.282
n =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: IR = 31.3 每 1000 人年

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

人年

PY = 400·0.5 + 360·2 + 500·5 = 3420

发病率

IR = 107/3420·1000 = 31.3 每 1000 人年

答案

IR = 31.3 每 1000 人年
2.循证实践统计学

答案: PPV = 78.5 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

真阳性和假阳性（按每人计）

Se·p = 0.73·0.2 = 0.146
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.05·0.8 = 0.04

阳性预测值

PPV = 0.146/(0.146 + 0.04) = 0.7849 ≈ 78.5%

答案

PPV = 78.5%

患病率越低，同一检测的 PPV 越低。

3.描述统计

答案: s = 12.79

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 178/6 = 29.67

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−9.667)² + (−3.667)² + 3.333² + 15.33² + 12.33² + (−17.67)² = 817.3

标准差

s = √(817.3/5) = 12.79

答案

s = 12.79
4.描述统计

答案: z = 1.25

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (65 − 50)/12 = 1.25

答案

z = 1.25
5.置信区间

答案: 下限 = −4.915 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 11, t = 1.796

误差范围

E = 1.796·3.5/√12 = 1.815

区间

−3.1 ± 1.815 → [−4.915, −1.285]

答案

下限 = −4.915 mmHg
6.置信区间

答案: n = 24587

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·40/0.5)² = 24586

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 24587

答案

n = 24587
7.假设检验与置信区间

答案: z = −1.698

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(20²/40 + 7²/100) = √10.49 = 3.239

检验统计量

z = (65 − 70.5)/3.239 = −1.698

答案

z = −1.698

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: n = 549

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 1.282)·8/1)² = 548.3

向上取整

n = 549

答案

n = 549

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