循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
病例对照暴露110312ab未暴露40338cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项病例对照研究比较了 150 名患某病的患者（病例）和 650 名未患该病的人（对照）。表中显示每组有多少人暴露于某危险因素。求该暴露的比值比OR。 保留两位小数。

a = 110b = 312c = 40d = 338
OR =
2.循证实践统计学困难
检验前40%检验后?p′LR+

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一位患者某病的检验前概率为 40%。一项灵敏度为 68%、特异度为 86% 的检测结果为正数。求该病的检验后概率p′，以百分数表示。 保留一位小数。

检验前 40%Se = 68%Sp = 86%正数
p′ = %
3.描述统计中等
1520253035404550

求数据的样本标准差 s：54, 13, 34, 36, 46, 44, 17。

n = 7
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布，平均数为 500，标准差为 75。求成绩 545 的 z 分数 z。

μ = 500σ = 75x = 545
z =
5.置信区间中等
n = 11, s = 4L = ?Ux̄ = 64E95%

一个包含 11 个个体的样本，均值为 64，标准差 s = 4。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 11x̄ = 64s = 495%t(10) = 2.228
下限 =
6.置信区间困难
σ = 29, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 290%

总体标准差为 29。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 2？

σ = 29E = 290%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−2.1312.131t = ?df = 15

比较两种教学方法。第 1 组：7 名学生，平均分 114.5，标准差 3.5。第 2 组：10 名学生，平均分 108.1，标准差 5.5。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 7x̄₁ = 114.5s₁ = 3.5n₂ = 10x̄₂ = 108.1s₂ = 5.5
t =
8.假设检验与置信区间困难
−1.961.96z = ?

在一项试验中，接受治疗 A 的 200 名患者中有 130 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 108 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 130n₁ = 200x₂ = 108n₂ = 200
z =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: OR = 2.98

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

暴露比值

病例: 110/40 = 2.75
对照: 312/338 = 0.9231

比值比

OR = (110·338)/(312·40) = 2.979 ≈ 2.98

答案

OR = 2.98

OR 大于 1：暴露在病例中更常见。

2.循证实践统计学

答案: p′ = 76.4 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

似然比

LR+ = 0.68/(1 − 0.86) = 4.857

检验前比值

0.4/(1 − 0.4) = 0.6667

检验后比值

0.6667·4.857 = 3.238

检验后概率

p′ = 3.238/(1 + 3.238) = 0.764 ≈ 76.4%

答案

p′ = 76.4%
3.描述统计

答案: s = 15.13

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 244/7 = 34.86

离差平方

Σ(x − x̄)² = 19.14² + (−21.86)² + (−0.8571)² + 1.143² + 11.14² + 9.143² + (−17.86)² = 1373

标准差

s = √(1373/6) = 15.13

答案

s = 15.13
4.描述统计

答案: z = 0.6

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (545 − 500)/75 = 0.6

答案

z = 0.6
5.置信区间

答案: 下限 = 61.31

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 10, t = 2.228

误差范围

E = 2.228·4/√11 = 2.687

区间

64 ± 2.687 → [61.31, 66.69]

答案

下限 = 61.31
6.置信区间

答案: n = 569

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·29/2)² = 568.9

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 569

答案

n = 569
7.假设检验与置信区间

答案: t = 2.705

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

sp² = (6·3.5² + 9·5.5²)/15 = 23.05
sp = 4.801

标准误

SE = 4.801·√(1/7 + 1/10) = 2.366

检验统计量

t = (114.5 − 108.1)/2.366 = 2.705

答案

t = 2.705

df = 15 时，双侧 5% 的临界值为 2.131；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

8.假设检验与置信区间

答案: z = 2.241

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 130/200 = 0.65
p̂₂ = 108/200 = 0.54
p̂ = 238/400 = 0.595

H₀ 下的标准误

SE = √(0.595·0.405·(1/200 + 1/200)) = 0.04909

检验统计量

z = (0.65 − 0.54)/0.04909 = 2.241

答案

z = 2.241

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

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