循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
事件无事件总数治疗2247761000ab对照132338470cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项随机试验中，1000 名患者接受新疗法，470 名接受对照治疗。表中显示每组有多少人出现了结局（如卒中等不良事件）。 求相对风险降低RRR，以百分数表示。 保留一位小数。

治疗: 224/1000对照: 132/470
RRR = %
2.循证实践统计学困难
检验前60%检验后?p′LR−

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一位患者某病的检验前概率为 60%。一项灵敏度为 95%、特异度为 87% 的检测结果为负数。求该病的检验后概率p′，以百分数表示。 保留一位小数。

检验前 60%Se = 95%Sp = 87%负数
p′ = %
3.描述统计中等
2025303540455055

求数据的样本标准差 s：37, 45, 20, 56, 23, 42。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布，平均数为 170，标准差为 20。求成绩 130 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 20x = 130
z =
5.置信区间中等
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：60 部手机，均值 75.5 h，已知标准差 6 h。型号 2：30 部手机，均值 81 h，已知标准差 6 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 60x̄₁ = 75.5 hσ₁ = 6 hn₂ = 30x̄₂ = 81 hσ₂ = 6 h99%
E = h
6.置信区间困难
μ₁ − μ₂, t(19) = 2.0930LUx̄₁ − x̄₂E = ?95%

对两种肥料进行试验。地块组 1：15 块地，平均产量 26.5 kg，标准差 1.5 kg。地块组 2：6 块地，均值 32 kg，标准差 6.5 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 15x̄₁ = 26.5s₁ = 1.5n₂ = 6x̄₂ = 32s₂ = 6.595%t(19) = 2.093
E = kg
7.假设检验与置信区间中等
t −1.9901.99

81 名学生的样本平均分为 501.5，样本标准差为 8。求 H₀: μ = 500 的检验统计量 t。

μ₀ = 500x̄ = 501.5s = 8n = 81
t =
8.假设检验与置信区间困难
−1.961.96z = ?

在一项试验中，接受治疗 A 的 100 名患者中有 70 人康复，接受治疗 B 的 200 名患者中有 116 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 70n₁ = 100x₂ = 116n₂ = 200
z =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: RRR = 20.2 %

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

事件发生率

EER = 224/1000 = 0.224
CER = 132/470 = 0.2809

相对风险降低

ARR = 0.2809 − 0.224 = 0.05685
RRR = 0.05685/0.2809 = 0.2024 ≈ 20.2%

答案

RRR = 20.2%
2.循证实践统计学

答案: p′ = 7.9 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

似然比

LR− = (1 − 0.95)/0.87 = 0.05747

检验前比值

0.6/(1 − 0.6) = 1.5

检验后比值

1.5·0.05747 = 0.08621

检验后概率

p′ = 0.08621/(1 + 0.08621) = 0.07937 ≈ 7.9%

答案

p′ = 7.9%
3.描述统计

答案: s = 13.67

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 223/6 = 37.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−0.1667)² + 7.833² + (−17.17)² + 18.83² + (−14.17)² + 4.833² = 934.8

标准差

s = √(934.8/5) = 13.67

答案

s = 13.67
4.描述统计

答案: z = −2

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (130 − 170)/20 = −2

答案

z = −2
5.置信区间

答案: E = 3.456 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 75.5 − 81 = −5.5

标准误

SE = √(6²/60 + 6²/30) = 1.342

误差范围

E = 2.576·1.342 = 3.456

答案

E = 3.456 h

区间不包含 0，所以两个均值有显著差异。

6.置信区间

答案: E = 3.614 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

sp² = (14·1.5² + 5·6.5²)/19 = 12.78
sp = 3.574

误差范围

E = 2.093·3.574·√(1/15 + 1/6) = 3.614

答案

E = 3.614 kg
7.假设检验与置信区间

答案: t = 1.688

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 8/√81 = 8/9 = 0.8889

检验统计量

t = (501.5 − 500)/0.8889 = 1.688

答案

t = 1.688
t0.025; df = 80 = 1.99

|t| < 1.99，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: z = 2.019

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 70/100 = 0.7
p̂₂ = 116/200 = 0.58
p̂ = 186/300 = 0.62

H₀ 下的标准误

SE = √(0.62·0.38·(1/100 + 1/200)) = 0.05945

检验统计量

z = (0.7 − 0.58)/0.05945 = 2.019

答案

z = 2.019

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

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