循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
病例对照暴露91336ab未暴露269394cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项病例对照研究比较了 360 名患某病的患者（病例）和 730 名未患该病的人（对照）。表中显示每组有多少人暴露于某危险因素。求该暴露的比值比OR。 保留两位小数。

a = 91b = 336c = 269d = 394
OR =
2.循证实践统计学困难
检测有疾病无疾病总数正数?负数总数10 000

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 用灵敏度为 96%、特异度为 99% 的检测对 10 000 人进行筛查。该病的患病率为 27%。 预期会有多少假阳性结果FP？

N = 10 000p = 27%Se = 96%Sp = 99%
FP =
3.描述统计中等
1520253035404550

求数据的样本标准差 s：52, 41, 23, 14, 40, 29, 40。

n = 7
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布，平均数为 70，标准差为 5。求成绩 62.5 的 z 分数 z。

μ = 70σ = 5x = 62.5
z =
5.置信区间中等
x̄E₁ = 9.499%, n = 25x̄E₂ = ?95%, n = 225

基于 25 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 9.4。 基于 225 个观测值的 95% 区间，其误差范围 E₂ 是多少？

99%n₁ = 25E₁ = 9.495%n₂ = 225
E₂ =
6.置信区间困难
σ = 34, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 195%

总体标准差为 34。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 1？

σ = 34E = 195%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−2.0932.093t = ?df = 19

比较两种教学方法。第 1 组：9 名学生，平均分 84.5，标准差 3。第 2 组：12 名学生，平均分 89.9，标准差 4。假设总体方差相等，使用合并方差的两样本 t 检验。取差值为 x̄₁ − x̄₂（第 1 组减第 2 组），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 t。

n₁ = 9x̄₁ = 84.5s₁ = 3n₂ = 12x̄₂ = 89.9s₂ = 4
t =
8.假设检验与置信区间困难
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2α = 0.05βσ = 16, 功效 95%, n = ?

在 α = 0.05 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 2 个单位的偏移。标准差为 16。求最小样本量 n。

α = 0.05功效 = 95%δ = 2σ = 16zα = 1.645zβ = 1.645
n =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: OR = 0.4

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

暴露比值

病例: 91/269 = 0.3383
对照: 336/394 = 0.8528

比值比

OR = (91·394)/(336·269) = 0.3967 ≈ 0.4

答案

OR = 0.4

OR 小于 1：暴露在病例中较少见，提示有保护作用。

2.循证实践统计学

答案: FP = 73

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

患病者和未患病者

10 000·0.27 = 2700
10 000 − 2700 = 7300

假阳性

FP = 7300·0.01 = 73

答案

FP = 73

在 2665 个阳性结果中，只有 2592 人患病（PPV 97.3%）。

3.描述统计

答案: s = 12.85

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 239/7 = 34.14

离差平方

Σ(x − x̄)² = 17.86² + 6.857² + (−11.14)² + (−20.14)² + 5.857² + (−5.143)² + 5.857² = 990.9

标准差

s = √(990.9/6) = 12.85

答案

s = 12.85
4.描述统计

答案: z = −1.5

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (62.5 − 70)/5 = −1.5

答案

z = −1.5
5.置信区间

答案: E₂ = 2.384

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (1.96/2.576)·√(25/225) = 0.2536

新的误差范围

E₂ = 9.4·0.2536 = 2.384

答案

E₂ = 2.384
6.置信区间

答案: n = 4441

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.96·34/1)² = 4441

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 4441

答案

n = 4441
7.假设检验与置信区间

答案: t = −3.39

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

合并方差

sp² = (8·3² + 11·4²)/19 = 13.05
sp = 3.613

标准误

SE = 3.613·√(1/9 + 1/12) = 1.593

检验统计量

t = (84.5 − 89.9)/1.593 = −3.39

答案

t = −3.39

df = 19 时，双侧 5% 的临界值为 2.093；|t| 更大，所以拒绝 H₀。

8.假设检验与置信区间

答案: n = 693

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((1.645 + 1.645)·16/2)² = 692.7

向上取整

n = 693

答案

n = 693

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