循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
事件无事件总数治疗104546650ab对照360540900cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项随机试验中，650 名患者接受新疗法，900 名接受对照治疗。表中显示每组有多少人出现了结局（如卒中等不良事件）。 求相对风险降低RRR，以百分数表示。 保留一位小数。

治疗: 104/650对照: 360/900
RRR = %
2.循证实践统计学困难
CER31%EER?RRR 21%

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一种治疗使事件风险相对降低 21%（RRR = 21%）。在某患者群体中，不治疗时五年内的风险（CER）为 31%。求五年内预防一次事件所需的治疗人数NNT。 向上取整到整数患者。

RRR = 21%CER = 31%
NNT =
3.描述统计中等
202530354045

求数据的样本标准差 s：23, 47, 33, 44, 18。

n = 5
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布，平均数为 50，标准差为 5。求成绩 45 的 z 分数 z。

μ = 50σ = 5x = 45
z =
5.置信区间中等
x̄E₁ = 11.999%, n = 100x̄E₂ = ?99%, n = 900

基于 100 个观测值且 σ 已知的均值 99% 置信区间，其误差范围为 11.9。 如果同一研究改用 900 个观测值，误差范围 E₂ 是多少？

99%n₁ = 100E₁ = 11.9n₂ = 900
E₂ =
6.置信区间困难
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0195%

事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.01？

p = 0.5E = 0.0195%
n =
7.假设检验与置信区间中等
t −1.98401.984

100 名学生的样本平均分为 201.7，样本标准差为 10。求 H₀: μ = 200 的检验统计量 t。

μ₀ = 200x̄ = 201.7s = 10n = 100
t =
8.假设检验与置信区间困难
z −1.64501.645

81 次测量的样本均值为 120.8。总体标准差为 12。求均值 90% 置信区间的下限 L。

x̄ = 120.8σ = 12n = 8190%
L =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: RRR = 60 %

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

事件发生率

EER = 104/650 = 0.16
CER = 360/900 = 0.4

相对风险降低

ARR = 0.4 − 0.16 = 0.24
RRR = 0.24/0.4 = 0.6 = 60%

答案

RRR = 60%
2.循证实践统计学

答案: NNT = 16

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

绝对风险降低

ARR = 0.31·0.21 = 0.0651

需要治疗人数

NNT = 1/0.0651 = 15.36 → 16

答案

NNT = 16

相同的相对效果，在基线风险越高时，NNT 越小。

3.描述统计

答案: s = 12.67

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 165/5 = 33

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−10)² + 14² + 0² + 11² + (−15)² = 642

标准差

s = √(642/4) = 12.67

答案

s = 12.67
4.描述统计

答案: z = −1

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (45 − 50)/5 = −1

答案

z = −1
5.置信区间

答案: E₂ = 3.967

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1.645 (90%), 1.96 (95%), 2.576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

误差范围之比

E₂/E₁ = (2.576/2.576)·√(100/900) = 0.3333

新的误差范围

E₂ = 11.9·0.3333 = 3.967

答案

E₂ = 3.967
6.置信区间

答案: n = 9604

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.96²·0.5·0.5/0.01² = 9604

向上取整

n = 9604

答案

n = 9604
7.假设检验与置信区间

答案: t = 1.7

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 10/√100 = 10/10 = 1

检验统计量

t = (201.7 − 200)/1 = 1.7

答案

t = 1.7
t0.025; df = 99 = 1.984

|t| < 1.984，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: L = 118.6

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

误差范围

E = 1.645·12/√81 = 2.193

区间端点

L = 120.8 − 2.193 = 118.6

答案

L = 118.6

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