循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
病例对照暴露84104ab未暴露26126cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项病例对照研究比较了 110 名患某病的患者（病例）和 230 名未患该病的人（对照）。表中显示每组有多少人暴露于某危险因素。求该暴露的比值比OR。 保留两位小数。

a = 84b = 104c = 26d = 126
OR =
2.循证实践统计学困难
检验前10%检验后?p′LR−

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一位患者某病的检验前概率为 10%。一项灵敏度为 68%、特异度为 82% 的检测结果为负数。求该病的检验后概率p′，以百分数表示。 保留一位小数。

检验前 10%Se = 68%Sp = 82%负数
p′ = %
3.描述统计中等
1520253035404550

求数据的样本标准差 s：34, 29, 53, 11, 12。

n = 5
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 70，标准差为 10。数值低于 82.5 的比例 P 是多少？

μ = 70σ = 10x = 82.5
P =
5.置信区间中等
n = 21, s = 5.5L = ?Ux̄ = 17.5E95%

一个包含 21 个个体的样本，均值为 17.5，标准差 s = 5.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的下限。

n = 21x̄ = 17.5s = 5.595%t(20) = 2.086
下限 =
6.置信区间困难
σ = 36, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 390%

总体标准差为 36。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 36E = 390%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−1.961.96z = ?

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：50 个零件的样本平均长度为 44 mm，该生产线的已知标准差为 5 mm。生产线 2：100 个零件的样本均值为 47 mm，已知标准差为 8 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 50x̄₁ = 44 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 100x̄₂ = 47 mmσ₂ = 8 mm
z =
8.假设检验与置信区间困难
μ₀x̄c

在 α = 0.10 下，用容量为 100 的样本对 H₀: μ = 200 与 H₁: μ > 200 进行单侧 z 检验；已知标准差为 25。实际上均值为 207。 求该检验的功效 1 − β，以百分比表示。

μ₀ = 200μ = 207σ = 25n = 100α = 0.10
1 − β = %

3溶液

1.循证实践统计学

答案: OR = 3.91

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

暴露比值

病例: 84/26 = 3.231
对照: 104/126 = 0.8254

比值比

OR = (84·126)/(104·26) = 3.914 ≈ 3.91

答案

OR = 3.91

OR 大于 1：暴露在病例中更常见。

2.循证实践统计学

答案: p′ = 4.2 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

似然比

LR− = (1 − 0.68)/0.82 = 0.3902

检验前比值

0.1/(1 − 0.1) = 0.1111

检验后比值

0.1111·0.3902 = 0.04336

检验后概率

p′ = 0.04336/(1 + 0.04336) = 0.04156 ≈ 4.2%

答案

p′ = 4.2%
3.描述统计

答案: s = 17.37

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 139/5 = 27.8

离差平方

Σ(x − x̄)² = 6.2² + 1.2² + 25.2² + (−16.8)² + (−15.8)² = 1207

标准差

s = √(1207/4) = 17.37

答案

s = 17.37
4.描述统计

答案: P = 0.8944

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944
P = 0.8944

答案

P = 0.8944
5.置信区间

答案: 下限 = 15

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 20, t = 2.086

误差范围

E = 2.086·5.5/√21 = 2.504

区间

17.5 ± 2.504 → [15, 20]

答案

下限 = 15
6.置信区间

答案: n = 390

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·36/3)² = 389.7

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 390

答案

n = 390
7.假设检验与置信区间

答案: z = −2.81

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(5²/50 + 8²/100) = √1.14 = 1.068

检验统计量

z = (44 − 47)/1.068 = −2.81

答案

z = −2.81

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 93.55 %

检验功效：功效 = 1 − β，是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c，再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率：z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 25/√100 = 2.5
x̄c = 200 + 1.282·2.5 = 203.2

真实均值下的 z

z = (203.2 − 207)/2.5 = −1.518

功率

功效 = P(Z > −1.518) = 93.55%
1 − β = 93.55%

答案

1 − β = 93.55%

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