循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
病例对照暴露168142ab未暴露212448cd

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项病例对照研究比较了 380 名患某病的患者（病例）和 590 名未患该病的人（对照）。表中显示每组有多少人暴露于某危险因素。求该暴露的比值比OR。 保留两位小数。

a = 168b = 142c = 212d = 448
OR =
2.循证实践统计学困难
检测有疾病无疾病总数正数负数?总数10 000

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 用灵敏度为 85%、特异度为 80% 的检测对 10 000 人进行筛查。该病的患病率为 17%。 有多少患病者被这项检测漏掉了（假阴性，FN）？

N = 10 000p = 17%Se = 85%Sp = 80%
FN =
3.描述统计中等
202530354045

求数据的样本标准差 s：49, 41, 30, 16, 30, 44, 17。

n = 7
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 170，标准差为 15。数值高于 188.8 的比例 P 是多少？

μ = 170σ = 15x = 188.8
P =
5.置信区间中等
n = 7, s = 2LU = ?x̄ = 71.5E95%

一个包含 7 个个体的样本，均值为 71.5，标准差 s = 2。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。

n = 7x̄ = 71.5s = 295%t(6) = 2.447
上限 =
6.置信区间困难
p = 0.5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.0299%

事先对缺陷产品的比例一无所知。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 99% 置信区间的误差范围不超过 0.02？

p = 0.5E = 0.0299%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−1.881.88p = ?

据称某总体的均值为 50；已知总体标准差为 5。一个含 25 个观测值的随机样本均值为 51.88。检验 H₀: μ = 50 对 H₁: μ ≠ 50。求 p 值 p。

μ₀ = 50σ = 5n = 25x̄ = 51.88H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.假设检验与置信区间困难
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 2.595%

样本至少要多大，才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 2.5？标准差为 12。求最小样本量 n。

σ = 12E = 2.595%
n =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: OR = 2.5

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

暴露比值

病例: 168/212 = 0.7925
对照: 142/448 = 0.317

比值比

OR = (168·448)/(142·212) = 2.5

答案

OR = 2.5

OR 大于 1：暴露在病例中更常见。

2.循证实践统计学

答案: FN = 255

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

患病者和未患病者

10 000·0.17 = 1700
10 000 − 1700 = 8300

假阴性

FN = 1700·0.15 = 255

答案

FN = 255
3.描述统计

答案: s = 12.92

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 227/7 = 32.43

离差平方

Σ(x − x̄)² = 16.57² + 8.571² + (−2.429)² + (−16.43)² + (−2.429)² + 11.57² + (−15.43)² = 1002

标准差

s = √(1002/6) = 12.92

答案

s = 12.92
4.描述统计

答案: P = 0.1056

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = 1.25

标准正态分布表

Φ(1.25) = 0.8944
P = 1 − 0.8944 = 0.1056

答案

P = 0.1056
5.置信区间

答案: 上限 = 73.35

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 6, t = 2.447

误差范围

E = 2.447·2/√7 = 1.85

区间

71.5 ± 1.85 → [69.65, 73.35]

答案

上限 = 73.35
6.置信区间

答案: n = 4148

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 2.576²·0.5·0.5/0.02² = 4147

向上取整

n = 4148

答案

n = 4148
7.假设检验与置信区间

答案: p = 0.06011

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 5/√25 = 1
z = (51.88 − 50)/1 = 1.88

尾部面积

Φ(1.88) = 0.9699
1 − Φ(1.88) = 0.0301

p 值

p = 2·0.0301 = 0.06011

答案

p = 0.06011

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

8.假设检验与置信区间

答案: n = 89

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.96·12/2.5)² = 88.51

向上取整

n = 89

答案

n = 89

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