循证实践:速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题,完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”,即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p); p = 比值/(1 + 比值); 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR,向上取整; NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取,预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率,设想 10 000 人,并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比,把概率换算为比值,相乘,再换算回去。
  5. 对于试验,先求 EER 和 CER;然后 RR = EER/CER,ARR = CER − EER,NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内,95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z(已知总体 σ)和 t(只有样本 s,自由度为 n − 1)之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限:E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间:x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁,并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量:(x̄ − μ₀)/(σ/√n),或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较,或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值(p 小于 α),则拒绝 H₀,并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
病例人年暴露3313600未暴露512200

练习题(虚构数值,不作为临床指导)。 在一项队列研究中,暴露者贡献了 3600 人年,有 331 例新发病例;未暴露者贡献了 2200 人年,有 51 例新发病例。求发病率比IRR(暴露组对未暴露组)。 保留两位小数。

暴露: 331/3600 PY未暴露: 51/2200 PY
IRR =
2.循证实践统计学困难
检验前50%检验后?p′LR−

练习题(虚构数值,不作为临床指导)。 一位患者某病的检验前概率为 50%。一项灵敏度为 78%、特异度为 65% 的检测结果为负数。求该病的检验后概率p′,以百分数表示。 保留一位小数。

检验前 50%Se = 78%Sp = 65%负数
p′ = %
3.描述统计中等
152025303540455055

求数据的样本标准差 s:18, 38, 15, 55, 22, 42。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布,平均数为 500,标准差为 75。数值低于 425 的比例 P 是多少?

μ = 500σ = 75x = 425
P =
5.置信区间中等
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1:30 部手机,均值 137 h,已知标准差 9 h。型号 2:100 部手机,均值 147.5 h,已知标准差 20 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 99% 置信区间的上限。

n₁ = 30x̄₁ = 137 hσ₁ = 9 hn₂ = 100x̄₂ = 147.5 hσ₂ = 20 h99%
上限 = h
6.置信区间困难
σ = 25, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 395%

总体标准差为 25。样本量 n 至少要多大,才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 3?

σ = 25E = 395%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−1.961.96z = ?

两条生产线生产同一种零件。生产线 1:100 个零件的样本平均长度为 106 mm,该生产线的已知标准差为 3 mm。生产线 2:30 个零件的样本均值为 109.1 mm,已知标准差为 19 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂(生产线 1 减生产线 2),求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 100x̄₁ = 106 mmσ₁ = 3 mmn₂ = 30x̄₂ = 109.1 mmσ₂ = 19 mm
z =
8.假设检验与置信区间困难
μ₀x̄c

在 α = 0.05 下,用容量为 64 的样本对 H₀: μ = 500 与 H₁: μ < 500 进行单侧 z 检验;已知标准差为 4。实际上均值为 498.6。 求该检验的功效 1 − β,以百分比表示。

μ₀ = 500μ = 498.6σ = 4n = 64α = 0.05
1 − β = %

3溶液

1.循证实践统计学

答案: IRR = 3.97

似然比和风险指标:LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度),LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中,EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率:RR = EER/CER,ARR = CER − EER,RRR = ARR/CER,NNT = 1/ARR,向上取整。在病例对照研究中,只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率(率)= 新发病例/人时。

发病率

暴露: 331/3600 = 91.94 每 1000 人年
未暴露: 51/2200 = 23.18 每 1000 人年

率比

IRR = 91.94/23.18 = 3.966 ≈ 3.97

答案

IRR = 3.97
2.循证实践统计学

答案: p′ = 25.3 %

预测值取决于患病率:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)),NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算:检验前比值 = p/(1 − p),检验后比值 = 检验前比值 × LR,概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群,真阳性 = N·p·Se,假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR),向上取整。

似然比

LR− = (1 − 0.78)/0.65 = 0.3385

检验前比值

0.5/(1 − 0.5) = 1

检验后比值

1·0.3385 = 0.3385

检验后概率

p′ = 0.3385/(1 + 0.3385) = 0.2529 ≈ 25.3%

答案

p′ = 25.3%
3.描述统计

答案: s = 15.81

描述统计:平均数是总和除以 n;中位数是排序后数据的中间值(n 为偶数时取中间两个数的平均)。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 190/6 = 31.67

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−13.67)² + 6.333² + (−16.67)² + 23.33² + (−9.667)² + 10.33² = 1249

标准差

s = √(1249/5) = 15.81

答案

s = 15.81
4.描述统计

答案: P = 0.1587

描述统计:平均数是总和除以 n;中位数是排序后数据的中间值(n 为偶数时取中间两个数的平均)。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = −1

标准正态分布表

Φ(−1) = 0.1587
P = 0.1587

答案

P = 0.1587
5.置信区间

答案: 上限 = −3.832 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 137 − 147.5 = −10.5

标准误

SE = √(9²/30 + 20²/100) = 2.588

误差范围

E = 2.576·2.588 = 6.668

区间

−10.5 ± 6.668 → [−17.17, −3.832]

答案

上限 = −3.832 h

区间不包含 0,所以两个均值有显著差异。

6.置信区间

答案: n = 267

均值的置信区间:x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时,误差范围为 z·σ/√n;只有样本标准差 s 时,用自由度为 n − 1 的 t:t·s/√n。临界值:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。要使误差范围不超过 E,需要 n ≥ (z·σ/E)²,并向上取整。

解出 n

n = (1.96·25/3)² = 266.8

向上取整

样本量是整数,向下取整会使误差范围过大。

n = 267

答案

n = 267
7.假设检验与置信区间

答案: z = −0.8903

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(3²/100 + 19²/30) = √12.12 = 3.482

检验统计量

z = (106 − 109.1)/3.482 = −0.8903

答案

z = −0.8903

|z| < 1.96,所以在 5% 水平下不拒绝 H₀(双侧)。

8.假设检验与置信区间

答案: 1 − β = 87.6 %

检验功效:功效 = 1 − β,是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c,再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率:z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 4/√64 = 0.5
x̄c = 500 − 1.645·0.5 = 499.2

真实均值下的 z

z = (499.2 − 498.6)/0.5 = 1.155

功率

功效 = P(Z < 1.155) = 87.6%
1 − β = 87.6%

答案

1 − β = 87.6%

ExamProblems · examproblems.com/courses/evidence-based-practice