循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
病例人年暴露1344200未暴露835200

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项队列研究中，暴露者贡献了 4200 人年，有 134 例新发病例；未暴露者贡献了 5200 人年，有 83 例新发病例。求发病率比IRR（暴露组对未暴露组）。 保留两位小数。

暴露: 134/4200 PY未暴露: 83/5200 PY
IRR =
2.循证实践统计学困难
检验前20%检验后?p′LR+

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一位患者某病的检验前概率为 20%。一项灵敏度为 86%、特异度为 97% 的检测结果为正数。求该病的检验后概率p′，以百分数表示。 保留一位小数。

检验前 20%Se = 86%Sp = 97%正数
p′ = %
3.描述统计中等
2025303540455055

求数据的样本标准差 s：31, 57, 20, 28, 53。

n = 5
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 100，标准差为 5。数值低于 110 的比例 P 是多少？

μ = 100σ = 5x = 110
P =
5.置信区间中等
n = 21, s = 7.5LU = ?x̄ = 22.5E90%

一个包含 21 个个体的样本，均值为 22.5，标准差 s = 7.5。总体近似服从正态分布。 求均值的 90% 置信区间的上限。

n = 21x̄ = 22.5s = 7.590%t(20) = 1.725
上限 =
6.置信区间困难
μ₁ − μ₂, t(14) = 2.1450LU = ?x̄₁ − x̄₂E95%

对两种肥料进行试验。地块组 1：6 块地，平均产量 76.5 kg，标准差 7.5 kg。地块组 2：10 块地，均值 79.5 kg，标准差 9 kg。假设方差相等（合并 t，df = n₁ + n₂ − 2）。 求 μ₁ − μ₂ 的 95% 置信区间的上限。

n₁ = 6x̄₁ = 76.5s₁ = 7.5n₂ = 10x̄₂ = 79.5s₂ = 995%t(14) = 2.145
上限 = kg
7.假设检验与置信区间中等
−1.42p = ?

据称某总体的均值为 80；已知总体标准差为 10。一个含 100 个观测值的随机样本均值为 78.58。检验 H₀: μ = 80 对 H₁: μ < 80。求 p 值 p。

μ₀ = 80σ = 10n = 100x̄ = 78.58H₁: μ < μ₀
p =
8.假设检验与置信区间困难
−1.961.96z = ?

在一项试验中，接受治疗 A 的 120 名患者中有 42 人康复，接受治疗 B 的 300 名患者中有 69 人康复。用合并比例求 H₀: p₁ = p₂ 的检验统计量 z。

x₁ = 42n₁ = 120x₂ = 69n₂ = 300
z =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: IRR = 2

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

发病率

暴露: 134/4200 = 31.9 每 1000 人年
未暴露: 83/5200 = 15.96 每 1000 人年

率比

IRR = 31.9/15.96 = 1.999 ≈ 2

答案

IRR = 2
2.循证实践统计学

答案: p′ = 87.8 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

似然比

LR+ = 0.86/(1 − 0.97) = 28.67

检验前比值

0.2/(1 − 0.2) = 0.25

检验后比值

0.25·28.67 = 7.167

检验后概率

p′ = 7.167/(1 + 7.167) = 0.8776 ≈ 87.8%

答案

p′ = 87.8%
3.描述统计

答案: s = 16.27

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 189/5 = 37.8

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−6.8)² + 19.2² + (−17.8)² + (−9.8)² + 15.2² = 1059

标准差

s = √(1059/4) = 16.27

答案

s = 16.27
4.描述统计

答案: P = 0.9772

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = 2

标准正态分布表

Φ(2) = 0.9772
P = 0.9772

答案

P = 0.9772
5.置信区间

答案: 上限 = 25.32

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 20, t = 1.725

误差范围

E = 1.725·7.5/√21 = 2.823

区间

22.5 ± 2.823 → [19.68, 25.32]

答案

上限 = 25.32
6.置信区间

答案: 上限 = 6.409 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

合并标准差

sp² = (5·7.5² + 9·9²)/14 = 72.16
sp = 8.495

误差范围

E = 2.145·8.495·√(1/6 + 1/10) = 9.409

区间

−3 ± 9.409 → [−12.41, 6.409]

答案

上限 = 6.409 kg
7.假设检验与置信区间

答案: p = 0.0778

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 10/√100 = 1
z = (78.58 − 80)/1 = −1.42

尾部面积

Φ(1.42) = 0.9222
1 − Φ(1.42) = 0.0778

p 值

p = 0.0778

答案

p = 0.0778

p > 0.05，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀。

8.假设检验与置信区间

答案: z = 2.52

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

样本比例

p̂₁ = 42/120 = 0.35
p̂₂ = 69/300 = 0.23
p̂ = 111/420 = 0.2643

H₀ 下的标准误

SE = √(0.2643·0.7357·(1/120 + 1/300)) = 0.04763

检验统计量

z = (0.35 − 0.23)/0.04763 = 2.52

答案

z = 2.52

|z| > 1.96，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

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