循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
Se67%Sp93%LR− = ?

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项检测的灵敏度为 67%，特异度为 93%。 求阴性似然比LR−。 保留两位小数。

Se = 67%Sp = 93%
LR− =
2.循证实践统计学困难
p (%)PPV (%)5%PPV = ?100

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一项筛查检测的灵敏度为 77%，特异度为 81%。它用于患病率为 5% 的人群。 求阳性预测值PPV，以百分数表示。 保留一位小数。

Se = 77%Sp = 81%p = 5%
PPV = %
3.描述统计中等
25303540455055

求数据的样本标准差 s：30, 43, 59, 25, 23。

n = 5
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布，平均数为 60，标准差为 10。数值高于 45 的比例 P 是多少？

μ = 60σ = 10x = 45
P =
5.置信区间中等
μ₁ − μ₂0LU = ?x̄₁ − x̄₂E90%

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1：80 部手机，均值 67 h，已知标准差 19 h。型号 2：60 部手机，均值 69.5 h，已知标准差 14 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的上限。

n₁ = 80x̄₁ = 67 hσ₁ = 19 hn₂ = 60x̄₂ = 69.5 hσ₂ = 14 h90%
上限 = h
6.置信区间困难
p ≈ 0.15, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0.02595%

一项预研究表明，约有 0.15 的产品有缺陷。 必须检验多少件产品 n，才能使比例的 95% 置信区间的误差范围不超过 0.025？

p ≈ 0.15E = 0.02595%
n =
7.假设检验与置信区间中等
t −1.99801.998

64 名学生的样本平均分为 121.8，样本标准差为 5。求 H₀: μ = 120 的检验统计量 t。

μ₀ = 120x̄ = 121.8s = 5n = 64
t =
8.假设检验与置信区间困难
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 2.5α = 0.01βσ = 15, 功效 95%, n = ?

在 α = 0.01 下的单侧 z 检验，必须以 95% 的功效检测出均值 2.5 个单位的偏移。标准差为 15。求最小样本量 n。

α = 0.01功效 = 95%δ = 2.5σ = 15zα = 2.326zβ = 1.645
n =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: LR− = 0.35

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

阴性似然比

LR− = (1 − 0.67)/0.93 = 0.3548 ≈ 0.35

答案

LR− = 0.35
2.循证实践统计学

答案: PPV = 17.6 %

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

真阳性和假阳性（按每人计）

Se·p = 0.77·0.05 = 0.0385
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.19·0.95 = 0.1805

阳性预测值

PPV = 0.0385/(0.0385 + 0.1805) = 0.1758 ≈ 17.6%

答案

PPV = 17.6%

患病率越低，同一检测的 PPV 越低。

3.描述统计

答案: s = 15.03

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 180/5 = 36

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−6)² + 7² + 23² + (−11)² + (−13)² = 904

标准差

s = √(904/4) = 15.03

答案

s = 15.03
4.描述统计

答案: P = 0.9332

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = −1.5

标准正态分布表

Φ(−1.5) = 0.06681
P = 1 − 0.06681 = 0.9332

答案

P = 0.9332
5.置信区间

答案: 上限 = 2.088 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 67 − 69.5 = −2.5

标准误

SE = √(19²/80 + 14²/60) = 2.789

误差范围

E = 1.645·2.789 = 4.588

区间

−2.5 ± 4.588 → [−7.088, 2.088]

答案

上限 = 2.088 h

区间包含 0，所以数据没有显示出显著差异。

6.置信区间

答案: n = 784

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0.5, which gives the largest n.

解出 n

n = 1.96²·0.15·0.85/0.025² = 783.7

向上取整

n = 784

答案

n = 784
7.假设检验与置信区间

答案: t = 2.88

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

标准误

SE = 5/√64 = 5/8 = 0.625

检验统计量

t = (121.8 − 120)/0.625 = 2.88

答案

t = 2.88
t0.025; df = 63 = 1.998

|t| > 1.998，所以在 5% 水平下拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: n = 568

检验的样本量：在水平 α 下的单侧 z 检验中，要以功效 1 − β 检测出真实偏移 δ，标准误必须满足 δ = (z_α + z_β)·σ/√n，所以 n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²，向上取整。

解出 n

n = ((2.326 + 1.645)·15/2.5)² = 567.7

向上取整

n = 568

答案

n = 568

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