循证实践:速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题,完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p); p = 比值/(1 + 比值); 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR,向上取整; NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取,预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率,设想 10 000 人,并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比,把概率换算为比值,相乘,再换算回去。
  5. 对于试验,先求 EER 和 CER;然后 RR = EER/CER,ARR = CER − EER,NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内,95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z(已知总体 σ)和 t(只有样本 s,自由度为 n − 1)之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限:E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间:x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁,并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量:(x̄ − μ₀)/(σ/√n),或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较,或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值(p 小于 α),则拒绝 H₀,并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
检测有疾病无疾病总数正数155487642ab负数55763818cd总数21012501460

练习题(虚构数值,不作为临床指导)。 一项研究将一种新检测与参考标准进行了比较(见 2 × 2 表)。 求阴性似然比LR−。 保留两位小数。

a = 155b = 487c = 55d = 763
LR− =
2.循证实践统计学困难
p (%)PPV (%)2%PPV = ?100

练习题(虚构数值,不作为临床指导)。 一项筛查检测的灵敏度为 82%,特异度为 97%。它用于患病率为 2% 的人群。 求阳性预测值PPV,以百分数表示。 保留一位小数。

Se = 82%Sp = 97%p = 2%
PPV = %
3.描述统计中等
253035404550

求数据的样本标准差 s:27, 50, 25, 43, 37, 26, 30。

n = 7
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布,平均数为 170,标准差为 12。求成绩 155.6 的 z 分数 z。

μ = 170σ = 12x = 155.6
z =
5.置信区间中等
n = 20, sd​ = 2.50LUd̄ = −2.4E = ?90%

测量 20 名患者治疗前后的血压。差值 d = 治疗前 − 治疗后 (mmHg) 的均值为 −2.4,标准差为 2.5。 求平均差值的 90% 置信区间的误差范围 E。

n = 20d̄ = −2.4sd = 2.590%t(19) = 1.729
E = mmHg
6.置信区间困难
σ = 34, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 395%

总体标准差为 34。样本量 n 至少要多大,才能使均值的 95% 置信区间的误差范围不超过 3?

σ = 34E = 395%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−1.961.96z = ?

两条生产线生产同一种零件。生产线 1:30 个零件的样本平均长度为 146 mm,该生产线的已知标准差为 4 mm。生产线 2:40 个零件的样本均值为 142.5 mm,已知标准差为 10 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂(生产线 1 减生产线 2),求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 30x̄₁ = 146 mmσ₁ = 4 mmn₂ = 40x̄₂ = 142.5 mmσ₂ = 10 mm
z =
8.假设检验与置信区间困难
μ₀x̄c

在 α = 0.01 下,用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 80 与 H₁: μ > 80 进行单侧 z 检验;已知标准差为 3。实际上均值为 80.85。 求第二类错误的概率 β,以百分比表示。

μ₀ = 80μ = 80.85σ = 3n = 36α = 0.01
β = %

3溶液

1.循证实践统计学

答案: LR− = 0.43

似然比和风险指标:LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度),LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中,EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率:RR = EER/CER,ARR = CER − EER,RRR = ARR/CER,NNT = 1/ARR,向上取整。在病例对照研究中,只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率(率)= 新发病例/人时。

灵敏度和特异度

Se = 155/210 = 0.7381
Sp = 763/1250 = 0.6104

阴性似然比

LR− = (1 − 0.7381)/0.6104 = 0.4291 ≈ 0.43

答案

LR− = 0.43
2.循证实践统计学

答案: PPV = 35.8 %

预测值取决于患病率:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)),NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算:检验前比值 = p/(1 − p),检验后比值 = 检验前比值 × LR,概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群,真阳性 = N·p·Se,假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR),向上取整。

真阳性和假阳性(按每人计)

Se·p = 0.82·0.02 = 0.0164
(1 − Sp)·(1 − p) = 0.03·0.98 = 0.0294

阳性预测值

PPV = 0.0164/(0.0164 + 0.0294) = 0.3581 ≈ 35.8%

答案

PPV = 35.8%

患病率越低,同一检测的 PPV 越低。

3.描述统计

答案: s = 9.626

描述统计:平均数是总和除以 n;中位数是排序后数据的中间值(n 为偶数时取中间两个数的平均)。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 238/7 = 34

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−7)² + 16² + (−9)² + 9² + 3² + (−8)² + (−4)² = 556

标准差

s = √(556/6) = 9.626

答案

s = 9.626
4.描述统计

答案: z = −1.2

描述统计:平均数是总和除以 n;中位数是排序后数据的中间值(n 为偶数时取中间两个数的平均)。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (155.6 − 170)/12 = −1.2

答案

z = −1.2
5.置信区间

答案: E = 0.9665 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

临界值

df = 19, t = 1.729

误差范围

E = 1.729·2.5/√20 = 0.9665

答案

E = 0.9665 mmHg
6.置信区间

答案: n = 494

均值的置信区间:x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时,误差范围为 z·σ/√n;只有样本标准差 s 时,用自由度为 n − 1 的 t:t·s/√n。临界值:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。要使误差范围不超过 E,需要 n ≥ (z·σ/E)²,并向上取整。

解出 n

n = (1.96·34/3)² = 493.4

向上取整

样本量是整数,向下取整会使误差范围过大。

n = 494

答案

n = 494
7.假设检验与置信区间

答案: z = 2.01

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(4²/30 + 10²/40) = √3.033 = 1.742

检验统计量

z = (146 − 142.5)/1.742 = 2.01

答案

z = 2.01

|z| > 1.96,所以在 5% 水平下拒绝 H₀(双侧)。

8.假设检验与置信区间

答案: β = 73.43 %

检验功效:功效 = 1 − β,是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c,再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率:z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 3/√36 = 0.5
x̄c = 80 + 2.326·0.5 = 81.16

真实均值下的 z

z = (81.16 − 80.85)/0.5 = 0.626

第二类错误

功效 = P(Z > 0.626) = 26.57%
β = 100% − 26.57% = 73.43%

答案

β = 73.43%

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