循证实践：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p)； p = 比值/(1 + 比值)； 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR，向上取整； NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取，预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率，设想 10 000 人，并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比，把概率换算为比值，相乘，再换算回去。
  5. 对于试验，先求 EER 和 CER；然后 RR = EER/CER，ARR = CER − EER，NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内，95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z（已知总体 σ）和 t（只有样本 s，自由度为 n − 1）之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限：E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间：x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁，并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量：(x̄ − μ₀)/(σ/√n)，或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较，或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值（p 小于 α），则拒绝 H₀，并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
人年1501.522405新发病例40

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 在一项队列研究中，不同人群被随访了不同的时间长度（见表：每组的人数和随访年数）。随访期间发生了 40 例新发病例。求发病率IR，每 1000 人年。 保留一位小数。

50 × 1.5 年240 × 5 年40 新发病例
IR = 每 1000 人年
2.循证实践统计学困难
CER37%EER?RRR 49%

练习题（虚构数值，不作为临床指导）。 一种治疗使事件风险相对降低 49%（RRR = 49%）。在某患者群体中，不治疗时五年内的风险（CER）为 37%。求五年内预防一次事件所需的治疗人数NNT。 向上取整到整数患者。

RRR = 49%CER = 37%
NNT =
3.描述统计中等
10152025303540455055

求数据的样本标准差 s：12, 15, 52, 17, 57, 10。

n = 6
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

考试成绩服从正态分布，平均数为 100，标准差为 15。求成绩 85 的 z 分数 z。

μ = 100σ = 15x = 85
z =
5.置信区间中等
n = 15, s = 16LU = ?x̄ = 70E95%

一个包含 15 个个体的样本，均值为 70，标准差 s = 16。总体近似服从正态分布。 求均值的 95% 置信区间的上限。

n = 15x̄ = 70s = 1695%t(14) = 2.145
上限 =
6.置信区间困难
σ = 25, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 390%

总体标准差为 25。样本量 n 至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？

σ = 25E = 390%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−1.961.96z = ?

两条生产线生产同一种零件。生产线 1：40 个零件的样本平均长度为 57.5 mm，该生产线的已知标准差为 20 mm。生产线 2：40 个零件的样本均值为 55.2 mm，已知标准差为 13 mm。取差值为 x̄₁ − x̄₂（生产线 1 减生产线 2），求 H₀: μ₁ = μ₂ 的检验统计量 z。

n₁ = 40x̄₁ = 57.5 mmσ₁ = 20 mmn₂ = 40x̄₂ = 55.2 mmσ₂ = 13 mm
z =
8.假设检验与置信区间困难
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 390%

样本至少要多大，才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 3？标准差为 12。求最小样本量 n。

σ = 12E = 390%
n =

3溶液

1.循证实践统计学

答案: IR = 31.4 每 1000 人年

似然比和风险指标：LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度)，LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中，EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率：RR = EER/CER，ARR = CER − EER，RRR = ARR/CER，NNT = 1/ARR，向上取整。在病例对照研究中，只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率（率）= 新发病例/人时。

人年

PY = 50·1.5 + 240·5 = 1275

发病率

IR = 40/1275·1000 = 31.4 每 1000 人年

答案

IR = 31.4 每 1000 人年
2.循证实践统计学

答案: NNT = 6

预测值取决于患病率：PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p))，NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算：检验前比值 = p/(1 − p)，检验后比值 = 检验前比值 × LR，概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群，真阳性 = N·p·Se，假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR)，向上取整。

绝对风险降低

ARR = 0.37·0.49 = 0.1813

需要治疗人数

NNT = 1/0.1813 = 5.516 → 6

答案

NNT = 6

相同的相对效果，在基线风险越高时，NNT 越小。

3.描述统计

答案: s = 21.37

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 163/6 = 27.17

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−15.17)² + (−12.17)² + 24.83² + (−10.17)² + 29.83² + (−17.17)² = 2283

标准差

s = √(2283/5) = 21.37

答案

s = 21.37
4.描述统计

答案: z = −1

描述统计：平均数是总和除以 n；中位数是排序后数据的中间值（n 为偶数时取中间两个数的平均）。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = (85 − 100)/15 = −1

答案

z = −1
5.置信区间

答案: 上限 = 78.86

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

临界值

df = n − 1 = 14, t = 2.145

误差范围

E = 2.145·16/√15 = 8.861

区间

70 ± 8.861 → [61.14, 78.86]

答案

上限 = 78.86
6.置信区间

答案: n = 188

均值的置信区间：x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时，误差范围为 z·σ/√n；只有样本标准差 s 时，用自由度为 n − 1 的 t：t·s/√n。临界值：z = 1.645（90%）、1.96（95%）、2.576（99%）。要使误差范围不超过 E，需要 n ≥ (z·σ/E)²，并向上取整。

解出 n

n = (1.645·25/3)² = 187.9

向上取整

样本量是整数，向下取整会使误差范围过大。

n = 188

答案

n = 188
7.假设检验与置信区间

答案: z = 0.6098

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

差值的标准误

SE = √(20²/40 + 13²/40) = √14.22 = 3.772

检验统计量

z = (57.5 − 55.2)/3.772 = 0.6098

答案

z = 0.6098

|z| < 1.96，所以在 5% 水平下不拒绝 H₀（双侧）。

8.假设检验与置信区间

答案: n = 44

均值检验：检验统计量衡量样本均值离 H₀ 所声称的值有多少个标准误：σ 已知时 z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)，由样本估计时 t = (x̄ − μ₀)/(s/√n)。置信区间为 x̄ ±（临界值）·（标准误）。

解出 n

n = (1.645·12/3)² = 43.3

向上取整

n = 44

答案

n = 44

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