循证实践:速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 8 道练习题,完整解答附在最后。

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1公式与方法

循证实践统计学

灵敏度和特异度
Se = a/(a + c), Sp = d/(b + d)
预测值
PPV = a/(a + b), NPV = d/(c + d)
准确度
(a + d)/n
似然比
LR+ = Se/(1 − Sp), LR− = (1 − Se)/Sp
患病率为 p 时的 PPV
Se·p / (Se·p + (1 − Sp)(1 − p))
比值
比值 = p/(1 − p); p = 比值/(1 + 比值); 检验后比值 = 检验前比值 × LR
风险指标
RR = EER/CER, ARR = CER − EER, RRR = ARR/CER
需要治疗人数
NNT = 1/ARR,向上取整; NNH = 1/(EER − CER)
比值比
OR = ad/(bc)
发病率
新发病例 / 人时

方法

  1. 计算之前先画出 2 × 2 表并标出 a、b、c 和 d。
  2. 灵敏度和特异度沿列读取,预测值沿行读取。
  3. 对于另一个患病率,设想 10 000 人,并用 Se、Sp 和患病率填表。
  4. 对于似然比,把概率换算为比值,相乘,再换算回去。
  5. 对于试验,先求 EER 和 CER;然后 RR = EER/CER,ARR = CER − EER,NNT = 1/ARR 向上取整。

描述统计

平均数
x̄ = Σx/n
样本标准差
s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
中位数
排序后数据的中间值
z 分数
z = (x − μ)/σ
正态分布
68% 落在 ±1σ 内,95% 落在 ±2σ 内

置信区间

σ 已知
x̄ ± z·σ/√n
σ 未知
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
临界 z 值
90%: 1.645, 95%: 1.96, 99%: 2.576
样本量
n = (z·σ/E)², rounded up

方法

  1. 在 z(已知总体 σ)和 t(只有样本 s,自由度为 n − 1)之间作出选择。
  2. 求该置信水平下的临界值。
  3. 误差限:E = 临界值 × 标准差/√n。
  4. 区间:x̄ ± E。

假设检验与置信区间

均值的 z 检验
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
均值的 t 检验
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
5% 双侧
若 |z| > 1.96 则拒绝 H0
置信区间
x̄ ± z·σ/√n

方法

  1. 写出 H₀ 和 H₁,并确定是单侧检验还是双侧检验。
  2. 计算检验统计量:(x̄ − μ₀)/(σ/√n),或者用 s 和 t。
  3. 与临界值比较,或求出 p 值。
  4. 若统计量超出临界值(p 小于 α),则拒绝 H₀,并用文字写出结论。

2练习题

1.循证实践统计学中等
人年1490526004新发病例111

练习题(虚构数值,不作为临床指导)。 在一项队列研究中,不同人群被随访了不同的时间长度(见表:每组的人数和随访年数)。随访期间发生了 111 例新发病例。求发病率IR,每 1000 人年。 保留一位小数。

490 × 5 年600 × 4 年111 新发病例
IR = 每 1000 人年
2.循证实践统计学困难
检验前25%检验后?p′LR+

练习题(虚构数值,不作为临床指导)。 一位患者某病的检验前概率为 25%。一项灵敏度为 73%、特异度为 86% 的检测结果为正数。求该病的检验后概率p′,以百分数表示。 保留一位小数。

检验前 25%Se = 73%Sp = 86%正数
p′ = %
3.描述统计中等
101520253035404550

求数据的样本标准差 s:13, 10, 25, 54, 35。

n = 5
s =
4.描述统计困难
z −2−1012

某量服从正态分布,平均数为 50,标准差为 10。数值低于 42 的比例 P 是多少?

μ = 50σ = 10x = 42
P =
5.置信区间中等
μ₁ − μ₂0LUx̄₁ − x̄₂E = ?90%

比较两种手机型号的电池续航时间。型号 1:60 部手机,均值 72 h,已知标准差 6 h。型号 2:50 部手机,均值 67.5 h,已知标准差 19 h。 求 μ₁ − μ₂ 的 90% 置信区间的误差范围 E。

n₁ = 60x̄₁ = 72 hσ₁ = 6 hn₂ = 50x̄₂ = 67.5 hσ₂ = 19 h90%
E = h
6.置信区间困难
σ = 36, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 590%

总体标准差为 36。样本量 n 至少要多大,才能使均值的 90% 置信区间的误差范围不超过 5?

σ = 36E = 590%
n =
7.假设检验与置信区间中等
−2.222.22p = ?

据称某总体的均值为 500;已知总体标准差为 4。一个含 64 个观测值的随机样本均值为 498.89。检验 H₀: μ = 500 对 H₁: μ ≠ 500。求 p 值 p。

μ₀ = 500σ = 4n = 64x̄ = 498.89H₁: μ ≠ μ₀
p =
8.假设检验与置信区间困难
μ₀x̄c

在 α = 0.10 下,用容量为 36 的样本对 H₀: μ = 100 与 H₁: μ < 100 进行单侧 z 检验;已知标准差为 9。实际上均值为 95.65。 求第二类错误的概率 β,以百分比表示。

μ₀ = 100μ = 95.65σ = 9n = 36α = 0.10
β = %

3溶液

1.循证实践统计学

答案: IR = 22.9 每 1000 人年

似然比和风险指标:LR+ = 灵敏度/(1 − 特异度),LR− = (1 − 灵敏度)/特异度。在试验中,EER 和 CER 分别是治疗组和未治疗组的事件发生率:RR = EER/CER,ARR = CER − EER,RRR = ARR/CER,NNT = 1/ARR,向上取整。在病例对照研究中,只能使用比值比 OR = ad/(bc)。发病率(率)= 新发病例/人时。

人年

PY = 490·5 + 600·4 = 4850

发病率

IR = 111/4850·1000 = 22.9 每 1000 人年

答案

IR = 22.9 每 1000 人年
2.循证实践统计学

答案: p′ = 63.5 %

预测值取决于患病率:PPV = Se·p/(Se·p + (1 − Sp)(1 − p)),NPV = Sp(1 − p)/(Sp(1 − p) + (1 − Se)p)。用似然比计算:检验前比值 = p/(1 − p),检验后比值 = 检验前比值 × LR,概率 = 比值/(1 + 比值)。对于 N 人的人群,真阳性 = N·p·Se,假阳性 = N·(1 − p)·(1 − Sp)。NNT = 1/(CER × RRR),向上取整。

似然比

LR+ = 0.73/(1 − 0.86) = 5.214

检验前比值

0.25/(1 − 0.25) = 0.3333

检验后比值

0.3333·5.214 = 1.738

检验后概率

p′ = 1.738/(1 + 1.738) = 0.6348 ≈ 63.5%

答案

p′ = 63.5%
3.描述统计

答案: s = 17.9

描述统计:平均数是总和除以 n;中位数是排序后数据的中间值(n 为偶数时取中间两个数的平均)。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

平均数

x̄ = 137/5 = 27.4

离差平方

Σ(x − x̄)² = (−14.4)² + (−17.4)² + (−2.4)² + 26.6² + 7.6² = 1281

标准差

s = √(1281/4) = 17.9

答案

s = 17.9
4.描述统计

答案: P = 0.2119

描述统计:平均数是总和除以 n;中位数是排序后数据的中间值(n 为偶数时取中间两个数的平均)。样本标准差 s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))。z 分数 z = (x − μ)/σ 表示某个值离平均数多少个标准差。

标准化

z = −0.8

标准正态分布表

Φ(−0.8) = 0.2119
P = 0.2119

答案

P = 0.2119
5.置信区间

答案: E = 4.6 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

点估计

x̄₁ − x̄₂ = 72 − 67.5 = 4.5

标准误

SE = √(6²/60 + 19²/50) = 2.796

误差范围

E = 1.645·2.796 = 4.6

答案

E = 4.6 h

区间包含 0,所以数据没有显示出显著差异。

6.置信区间

答案: n = 141

均值的置信区间:x̄ ± 误差范围。总体 σ 已知时,误差范围为 z·σ/√n;只有样本标准差 s 时,用自由度为 n − 1 的 t:t·s/√n。临界值:z = 1.645(90%)、1.96(95%)、2.576(99%)。要使误差范围不超过 E,需要 n ≥ (z·σ/E)²,并向上取整。

解出 n

n = (1.645·36/5)² = 140.3

向上取整

样本量是整数,向下取整会使误差范围过大。

n = 141

答案

n = 141
7.假设检验与置信区间

答案: p = 0.02642

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

检验统计量

SE = σ/√n = 4/√64 = 0.5
z = (498.89 − 500)/0.5 = −2.22

尾部面积

Φ(2.22) = 0.9868
1 − Φ(2.22) = 0.0132

p 值

p = 2·0.0132 = 0.02642

答案

p = 0.02642

p ≤ 0.05,所以在 5% 水平下拒绝 H₀。

8.假设检验与置信区间

答案: β = 5.283 %

检验功效:功效 = 1 − β,是 H₀ 为假时拒绝 H₀ 的概率。由 μ₀ 和 z_α 求出临界值 x̄c,再用真实均值计算落在 x̄c 以外的概率:z = (x̄c − μ)/(σ/√n)。

临界样本均值

SE = 9/√36 = 1.5
x̄c = 100 − 1.282·1.5 = 98.08

真实均值下的 z

z = (98.08 − 95.65)/1.5 = 1.618

第二类错误

功效 = P(Z < 1.618) = 94.72%
β = 100% − 94.72% = 5.283%

答案

β = 5.283%

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