FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 2 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 4 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 R_B，以向上为正。

L = 8 mP = 75 kN 位于 2 mM = 20 kN·m (逆时针) 位于 4 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 3.5 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 50°；距 A 为 0.5 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 6 mP = 30 kN 位于 3.5 m, θ = 50°Q = 40 kN 位于 0.5 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓D: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 20 kN水平荷载 = 25 kN →

F_AC = kN

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

25 kN @ 6 m6 kN/m, 4–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求支座 B 处的弯矩 M_B。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5.5 m支座位于 x = 0 和 x = 4 m

M_B = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 6 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 100 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 h_req。

w = 3 kN/mL = 3.5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 100 mm

h_req = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1 mE = 200 GPa (钢)b × h = 40 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 130 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 130 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

一块 200 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 168 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 200 mmh = 240 mmd = 60 mm孔心: y = 168 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

焊接工字形截面的上翼缘为 130 × 24 mm，腹板高 160 mm、厚 10 mm，下翼缘为 160 × 12 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

上翼缘: 130 × 24 mm腹板: 10 × 160 mm下翼缘: 160 × 12 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 4 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 8 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 8 m 的超固结黏土，C_c = 0.2，C_r = 0.06，e₀ = 0.85。其中点深度处的竖向有效应力为 90 kPa ，超固结比 OCR = 3。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 140 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 8 mC_c = 0.2C_r = 0.06e₀ = 0.85σ′₀ = 90 kPaOCR = 3Δσ = 140 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 3.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 0.8 m²/year。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。平均固结度为 90% 时，时间因数 T_v = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？

H = 3.5 mc_v = 0.8 m²/年份U = 90%T_v = 0.848单面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 4 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 1.7 m/s 的平均流速流过一根长 50 m、内径 75 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 1.7 m/sL = 50 mD = 75 mmf = 0.015g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 27 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 27 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1.0

Q = L/s

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形未抹面混凝土渠道宽 2 m。水以 2.5 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.014，底坡 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 2 my = 2.5 mn = 0.014S = 0.0015

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 450 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1.2 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 450 mmn = 0.013V = 1.2 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 62 m 的扬程输送 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 37.1 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 50 L/sH = 62 mP_shaft = 37.1 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 8 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 3（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 80 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 3

H = m

25.货币的时间价值中等

你在 3 年后需要 €15 000。某账户年利率 5%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €15 0005% / 12n = 3

PV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 5 年内按月等额偿还，年利率 2.4%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €25 0002.4% / 12N = 60

I = €

27.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €100 000。它在 7 年内每年年末产生 €16 500，之后可以以 €10 000 出售。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C₀ = €100 000CF = €16 500S = €10 000n = 7r = 8%

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €6 000, €3 500, €2 500。项目 B 需投入 €15 000，回报为 €4 000, €6 000, €7 500。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −10 000, 6 000, 3 500, 2 500B: −15 000, 4 000, 6 000, 7 500

r* = %

29.正态分布中等

螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 10 个的总质量超过 403.8 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 40 gσ = 1.2 gn = 10> 403.8 g

P =

30.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。拖动截断值，使阴影的前 30% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 250 gσ = 5 g30%

x = g

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 16.25 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·8 − 75·2 + 20 = 0

R_B = 130/8 = 16.25 kN

竖向平衡

R_A = 75 − 16.25 = 58.75 kN

答案

R_B = 16.25 kN

负的反力向下作用。

2.梁的支座反力

答案: R_A = 50.1 kN

P 的分量

P_v = 30·sin 50° = 22.98 kN

P_h = 30·cos 50° = 19.28 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·6 = 22.98·3.5 + 40·0.5 → R_B = 16.74 kN

A_y = 22.98 + 40 − 16.74 = 46.24 kN

A_x = P_h = 19.28 kN

A 处的合力

R_A = √(19.28² + 46.24²) = 50.1 kN

答案

R_A = 50.1 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 28.33 kN (T), BC: 23.33 kN (T), CD: 23.33 kN (T), DE: 18.33 kN (T), FG: 28.33 kN (C), GH: 18.33 kN (C), AF: 35.42 kN (C), HE: 22.92 kN (C), BF: 21.25 kN (T), CG: 0, DH: 13.75 kN (T), BG: 6.25 kN (T), DG: 6.25 kN (C)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: F_AC = 28.13 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·5 + 25·2 → C_y = 18.75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 18.75 = 1.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/3.606 = 0.5547, cos γ = 3/3.606 = 0.8321

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −18.75/0.5547 = −33.8 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−33.8)·0.8321 = 28.13 kN

答案

F_AC = 28.13 kN (受拉)

5.剪力和弯矩

答案: D (x = 6 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 28.5 kN, R₂ = 44.5 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 57, M_C = 114, M_D = 159 kN·m, M_E = 130, M_F = 77, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 159 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_B = −2.25 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5.5 = 11 kN，作用于 x̄ = 2.75 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 2·5.5·2.75

R_B = 30.25/4 = 7.563 kN

ΣF_y = 0: R_A = 11 − 7.563 = 3.438 kN

在 B 处截开，保留外伸段

外伸段上的荷载 w·a 作用在距 B 为 a/2 处，使梁在支座上方产生负弯矩。

M_B = −w·a²/2 = −2·1.5²/2 = −2.25 kN·m

答案

M_B = −2.25 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_max = 1.795 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1.7 × 10¹² N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·2500⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 1.795 mm

答案

δ_max = 1.795 mm

8.梁的挠度

答案: h_req = 165.9 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 3 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/250 = 3500/250 = 14 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·3·3500⁴/(384·11000·14) = 3.806 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·3.806 × 10⁷/100)^1/3 = 165.9 mm

答案

h_req = 165.9 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 157.9 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 60·40³/12 = 320000 mm⁴

计算长度

KL = 2·1000 = 2000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·320000/2000² = 157914 N = 157.9 kN

答案

P_cr = 157.9 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 54.86 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·130000 = 390000 N

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·390000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 54.86 mm

答案

d = 54.86 mm

校核：长细比 KL/r 为 109.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 222.8 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (48000·120 − 2827·168)/(48000 − 2827) = 117 mm

完整的板关于 ȳ

200·240³/12 + 48000·3.004² = 230.8 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·51² = 7.992 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 222.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 222.8 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 41.96 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成三个矩形

每个 y 都从底边量起。

上翼缘: A = 3120 mm², y = 184 mm

腹板: A = 1600 mm², y = 92 mm

下翼缘: A = 1920 mm², y = 6 mm

形心

ȳ = (3120·184 + 1600·92 + 1920·6)/6640 = 110.4 mm

平行移轴定理

上翼缘: 130·24³/12 + 3120·73.64² = 1.707 × 10⁷ mm⁴

腹板: 10·160³/12 + 1600·18.36² = 3.953 × 10⁶ mm⁴

下翼缘: 160·12³/12 + 1920·104.4² = 2.093 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.707 × 10⁷ + 3.953 × 10⁶ + 2.093 × 10⁷

I_x = 4.196 × 10⁷ mm⁴ = 41.96 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 41.96 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ = 72 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·2 + 20.5·2 = 72 kPa

答案

σ = 72 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 93.26 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3

σ = 15·4 + 18.5·1 + 18·3 = 132.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 132.5 − 39.24 = 93.26 kPa

答案

σ′ = 93.26 kPa

15.固结沉降

答案: S = 105.7 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·90 = 270 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 90 + 140 = 230 kPa ≤ 270 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.06·8/(1 + 0.85)·log₁₀(230/90) = 105.7 mm

答案

S = 105.7 mm

16.固结沉降

答案: t = 12.98 年

排水路径

H_dr = H = 3.5 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·3.5²/0.8 = 12.98 年

答案

t = 12.98 年

17.静水压力

答案: F = 67.44 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.5 = 67.44 kN

答案

F = 67.44 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 4.789 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·3 = 139.8 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.75 + 0.5625/(4.75·3) = 4.789 m

答案

y_cp = 4.789 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 1.473 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 1.7²/(2·9.81) = 0.1473 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(50/0.075)·1.7²/(2·9.81) = 1.473 m

答案

h_f = 1.473 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 137.4 L/s

损失系数

f·L/D = 0.015·200/0.2 = 15

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

27 = (15 + 12.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·27/27.7) = 4.373 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 4.373·0.03142 = 0.1374 m³/s = 137.4 L/s

答案

Q = 137.4 L/s

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 11.05 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 2·2.5 = 5 m²

P = b + 2y = 2 + 2·2.5 = 7 m

R = A/P = 0.7143 m

速度

V = (1/0.014)·0.7143^2/3·0.0015^1/2 = 2.211 m/s

流量

Q = A·V = 5·2.211 = 11.05 m³/s

答案

Q = 11.05 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.004481 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1.2/0.233)² = 0.004481

答案

S = 0.004481

即每千米下降 4.481 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 81.97 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·62 = 30.41 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 30.41/37.1 = 81.97%

答案

η = 81.97%

24.水泵与泵功率

答案: H = 12.63 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (11 + 3)·0.3305 = 4.627 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 8 + 4.627 = 12.63 m

答案

H = 12.63 m

25.货币的时间价值

答案: PV = 12915 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.05/12 = 0.004167

N = 12·3 = 36

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.161 = €12 914.64

答案

PV = €12 914.64

26.货币的时间价值

答案: I = 1555 €

月供

i = 0.002, N = 60

A = 25 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)⁻⁶⁰) = €442.58

利息总额

I = N·A − P = 60·442.6 − 25 000 = €1 554.95

答案

I = €1 554.95

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = −8260 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

16 500·5.206 = 85 905.11

残值的现值

10 000/1.714 = 5 834.90

NPV

NPV = −100 000 + 85 905.11 + 5 834.90 = −€8 259.99

答案

NPV = −€8 259.99

28.NPV 与 IRR

答案: r* = 2.94 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −15 000 − (−10 000) = −5 000

ΔCF₁ = 4 000 − 6 000 = −2 000

ΔCF₂ = 6 000 − 3 500 = 2 500

ΔCF₃ = 7 500 − 2 500 = 5 000

差额的 IRR

NPV_Δ(2%) = 153.75

NPV_Δ(3%) = −9.55

r* = 2.94%

答案

r* = 2.94%

校核：在 2.94% 时两个 NPV 都是 €1 423.34。

29.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 400 g, σ_T = 1.2·√10 = 3.795 g

标准化

z = (403.8 − 400)/3.795 = 1

概率

P = 1 − Φ(1) = 0.1587

答案

P = 0.1587

30.正态分布

答案: x = 252.6 g

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.7

由表得到的 z

z ≈ 0.52

回到原来的单位

x = 250 + 0.52·5 = 252.6 g

答案

x = 252.6 g

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