FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP₁ = 15 kN 位于 2 mP₂ = 55 kN 位于 7 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 6 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 7 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 10 mw₀ = 6 kN/mP = 25 kN 位于 7 m

M_A = kN·m

3.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 35 kN

F_AC = kN

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓C: 15 kN ↓F: 25 kN ↓G: 40 kN ↓H: 40 kN ↓H: 15 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mw = 5 kN/m，从 0 到 4 mx = 0.5 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 6 mP = 15 kN 位于 3.5 mw = 8 kN/m，从 0 到 6 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.梁的挠度困难

简支梁在距支座 B 为 b = 2.5 m 处承受集中荷载 P。求梁的最大挠度 δ_max。

P = 23 kNb = 2.5 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 140 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 200 mmd = 50 mm孔心: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 10 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 100 mmt_f = 10 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mmM = 10 kN·m

σ_底部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 8.5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 5.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.25，C_r = 0.06，e₀ = 0.8。其中点深度处的竖向有效应力为 120 kPa ，先期固结压力为 230 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 80 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 5.5 mC_c = 0.25C_r = 0.06e₀ = 0.8σ′₀ = 120 kPaσ′_p = 230 kPaΔσ = 80 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 7.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 3 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 90% 时，时间因数 T_v = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？

H = 7.5 mc_v = 3 m²/年份U = 90%T_v = 0.848双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.3 m/s 的速度流过一根长 300 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.3 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 40 L/s？

Q = 40 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形抹面混凝土渠道底宽 1.5 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 1.8 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.0008。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 1.5 my = 1.8 mz = 1n = 0.012S = 0.0008

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 450 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.9 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 450 mmn = 0.013V = 0.9 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 16 m 的扬程输送 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 65%，驱动它的电动机效率为 94%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 40 L/sH = 16 mη_pump = 65%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 13 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 82%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 40 L/sΔz = 13 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.02ΣK = 5η = 82%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €8 000，共 20 年。年利率为 4%。求该年金的现值 PV。

A = €8 000i = 4%n = 20

PV = €

26.货币的时间价值困难

你希望在 11 年后得到 €75 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 3%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €75 0003% / 12N = 132

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€10 000, €14 000, €8 000。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

r = 6%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 14 000CF₃ = 8 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €14 500, €16 500, €29 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 14 500CF₂ = 16 500CF₃ = 29 500

IRR = %

29.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.8106。求 z，保留两位小数。

A = 0.8106

z =

30.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 5% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分5%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 18.13 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 15·2 + 55·7

R_B = 415/8 = 51.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 51.88 = 18.13 kN

答案

R_A = 18.13 kN

2.梁的支座反力

答案: M_A = 275 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·6·10 = 30 kN

x̄ = L/3 = 3.333 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 30·3.333 + 25·7 = 275 kN·m

答案

M_A = 275 kN·m

3.桁架：节点法

答案: F_AC = 15.31 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 35·7 → C_y = 30.63 kN

ΣF_y = 0: A_y = 35 − 30.63 = 4.375 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −30.63/0.8944 = −34.24 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−34.24)·0.4472 = 15.31 kN

答案

F_AC = 15.31 kN (受拉)

4.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 63.75 kN (T), BC: 63.75 kN (T), CD: 66.25 kN (T), DE: 66.25 kN (T), FG: 107.5 kN (C), GH: 107.5 kN (C), AF: 111.4 kN (C), HE: 93.69 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 40.66 kN (T), HC: 37.12 kN (T)

答案

零杆: DH

5.剪力和弯矩

答案: V_x = 7.5 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 5·4·2

R_B = 40/4 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 10 − 5·0.5 = 7.5 kN

答案

V_x = 7.5 kN

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 44.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·6 = 48 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 15·3.5 + 8·6·3

R_B = 196.5/6 = 32.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 63 − 32.75 = 30.25 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 30.25·2 − 8·2·1 = 44.5 kN·m

答案

M_x = 44.5 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ = 43.83 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 3000 mm

EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 4·3000⁴/(8·9.24 × 10¹¹) = 43.83 mm

答案

δ = 43.83 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 11.88 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 23000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

最大值的位置

令较长段内的转角为零，即可得到该位置。

x = √((L² − b²)/3) = √((6000² − 2500²)/3) = 3149 mm

最大挠度

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 11.88 mm

答案

δ_max = 11.88 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 7.369 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

计算长度

KL = 1·5000 = 5000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·266667/5000² = 7369 N = 7.369 kN

答案

P_cr = 7.369 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 69.09 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·1500 = 750 mm

KL/r = 750/7.5 = 100

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

答案

σ_cr = 69.09 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 76.27 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (24000·100 − 1963·140)/(24000 − 1963) = 96.44 mm

完整的板关于 ȳ

120·200³/12 + 24000·3.564² = 80.3 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·43.56² = 4.033 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 76.27 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 76.27 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 204.8 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·10 = 1000 mm², y_f = 120 + 10/2 = 125 mm

腹板: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (1000·125 + 1440·60)/2440 = 86.64 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·10³/12 + 1000·(125 − 86.64)² = 1.48 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·120³/12 + 1440·(60 − 86.64)² = 2.75 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.48 × 10⁶ + 2.75 × 10⁶ = 4.23 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 86.64 mm

σ = M·y/I = 1 × 10⁷·86.64/4.23 × 10⁶ = 204.8 MPa

答案

σ_底部 = 204.8 MPa

13.土中有效应力

答案: u = 29.43 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

答案

u = 29.43 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 87.73 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3.5

σ = 16.5·2 + 18.5·3 + 18·3.5 = 151.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6.5 = 63.77 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 151.5 − 63.77 = 87.73 kPa

答案

σ′ = 87.73 kPa

15.固结沉降

答案: S = 40.67 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 120 + 80 = 200 kPa ≤ 230 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.06·5.5/(1 + 0.8)·log₁₀(200/120) = 40.67 mm

答案

S = 40.67 mm

16.固结沉降

答案: t = 3.975 年

排水路径

H_dr = H/2 = 7.5/2 = 3.75 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·3.75²/3 = 3.975 年

答案

t = 3.975 年

17.静水压力

答案: F = 60.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·2.25 = 60.7 kN

答案

F = 60.7 kN

18.静水压力

答案: F = 69.13 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.75·2.5 = 69.13 kN

答案

F = 69.13 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 47.61 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(300/0.25)·2.3²/(2·9.81) = 4.853 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·4.853 = 47610 Pa = 47.61 kPa

答案

Δp = 47.61 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 3.369 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

损失系数

f·L/D = 0.015·100/0.15 = 10

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9

总水头损失

h_f = 10·0.2611 = 2.611 m

h_m = 2.9·0.2611 = 0.7573 m

Δz = h_f + h_m = 3.369 m

答案

Δz = 3.369 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 13.06 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 1·1.8)·1.8 = 5.94 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1.8·√(1 + 1²) = 6.591 m

R = A/P = 0.9012 m

速度

V = (1/0.012)·0.9012^2/3·0.0008^1/2 = 2.199 m/s

流量

Q = A·V = 5.94·2.199 = 13.06 m³/s

答案

Q = 13.06 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.002521 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.9/0.233)² = 0.002521

答案

S = 0.002521

即每千米下降 2.521 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 10.28 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·16 = 6.278 kW

轴功率

P_shaft = 6.278/0.65 = 9.659 kW

电功率

P_el = 9.659/0.94 = 10.28 kW

答案

P_el = 10.28 kW

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 10.18 kW

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (26.67 + 5)·0.2611 = 8.269 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 13 + 8.269 = 21.27 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·21.27/0.82 = 10.18 kW

答案

P_shaft = 10.18 kW

25.货币的时间价值

答案: PV = 108723 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.4564)/0.04 = 13.59

现值

PV = 8 000·13.59 = €108 722.61

答案

PV = €108 722.61

26.货币的时间价值

答案: A = 480.3 €

月利率和存款次数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·11 = 132

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 75 000·0.0025/(1.39 − 1) = €480.28

答案

A = €480.28

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = −1389 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.06)¹ = 10 000/1.06 = 9 433.96

CF₂/(1 + 0.06)² = 14 000/1.124 = 12 459.95

CF₃/(1 + 0.06)³ = 8 000/1.191 = 6 716.95

相加

NPV = €−1 389.13

答案

NPV = €−1 389.13

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 20.86 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 613.43

NPV(25%) = −2 736.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·613.43/(613.43 − (−2 736.00)) = 20.92%

精确: NPV(20.86%) = 0 → IRR = 20.86%

答案

IRR = 20.86%

29.正态分布

答案: z = −0.88

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.8106 = 0.1894

反向查 z 表

在表中找到 0.1894，读出 z。

z = −0.88

答案

z = −0.88

30.正态分布

答案: x = 48.6 分

左侧的面积

Φ(z) = 0.05

由表得到的 z

z ≈ −1.64

回到原来的单位

x = 65 − 1.64·10 = 48.6 分

答案

x = 48.6 分

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