FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP₁ = 45 kN 位于 1 mP₂ = 10 kN 位于 3.5 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP = 25 kN 位于 6 mw = 8 kN/m，从 3 到 6 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓C: 15 kN ↓F: 10 kN ↓G: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 10 kN →

F_AC = kN

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

20 kN @ 5 m60 kN @ 1 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 7 mw = 8 kN/m，从 0 到 7 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m

M_max = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 20 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。求固定端弯矩 M_A 的大小。

L = 6 mP = 60 kN 位于 3 m

M_A = kN·m

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

圆管外径 D = 140 mm，内径 d = 124 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

D = 140 mmd = 124 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 50 MPa，容许压应力为 90 MPa。求梁能承受的最大负弯矩 M_allow（给出其大小）。

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 10 mmh_w = 220 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 90 MPa

M_allow = kN·m

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 9 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 7.5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 6.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.2，C_r = 0.05，e₀ = 1.1。其中点深度处的竖向有效应力为 45 kPa ，先期固结压力为 105 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 40 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 6.5 mC_c = 0.2C_r = 0.05e₀ = 1.1σ′₀ = 45 kPaσ′_p = 105 kPaΔσ = 40 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 6.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 2.5 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 50% 时，时间因数 T_v = 0.197。该土层需要多少年 t 才能达到 50% 固结度？

H = 6.5 mc_v = 2.5 m²/年份U = 50%T_v = 0.197双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.2 m/s 的速度流过一根长 150 m、内径 50 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.2 m/sL = 150 mD = 50 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 300 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 60 L/s？

Q = 60 L/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形清洁土渠渠道底宽 5 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 1.6 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.022，底坡 S = 0.002。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 5 my = 1.6 mz = 3n = 0.022S = 0.002

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 200 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1.2 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 200 mmn = 0.013V = 1.2 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 14 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 60%，驱动它的电动机效率为 92%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 150 L/sH = 14 mη_pump = 60%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 18 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 200 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 120 L/sΔz = 18 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 4p_tank = 200 kPa

H = m

25.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4% 投资 €20 000，按月复利。求 8 年后的投资价值 FV。

PV = €20 0004% / 12n = 8

FV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €30 000 的贷款在 3 年内按月等额偿还，年利率 5.4%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €30 0005.4% / 12N = 36

I = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€10 000, €13 000, €11 000, €9 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 13 000CF₃ = 11 000CF₄ = 9 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €25 000, €17 500, €33 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −50 000CF₁ = 25 000CF₂ = 17 500CF₃ = 33 500

IRR = %

29.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.6579。求 z，保留两位小数。

A = 0.6579

z =

30.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 97.5%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 16 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 45·1 + 10·3.5

R_B = 80/5 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 16 = 39 kN

答案

R_B = 16 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 16.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN，作用于 x̄ = 4.5 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·6 + 8·3·4.5

R_B = 258/8 = 32.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 49 − 32.25 = 16.75 kN

答案

R_A = 16.75 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 36.67 kN (T), BC: 36.67 kN (T), CD: 23.33 kN (T), DE: 23.33 kN (T), FG: 46.67 kN (C), GH: 46.67 kN (C), AF: 45.83 kN (C), HE: 29.17 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 12.5 kN (T), HC: 29.17 kN (T)

答案

零杆: DH

4.桁架：节点法

答案: F_AC = 6.719 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·7 + 10·4 → C_y = 26.88 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − 26.88 = −1.875 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26.88/0.9701 = −27.7 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−27.7)·0.2425 = 6.719 kN

答案

F_AC = 6.719 kN (受拉)

5.剪力和弯矩

答案: B (x = 1 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 53.33 kN, R₂ = 26.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 53.33 kN·m, M_C = 46.67, M_D = 40, M_E = 33.33, M_F = 26.67, M_G = 0

答案

标记点 B: M_B = 53.33 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 17.64 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·7 = 56 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 8·7·3.5

R_B = 196/5 = 39.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 56 − 39.2 = 16.8 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 16.8/8 = 2.1 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 16.8²/(2·8) = 17.64 kN·m

答案

M_max = 17.64 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_max = 2.511 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·8.4 × 10¹²) = 2.511 mm

答案

δ_max = 2.511 mm

8.梁的挠度

答案: M_A = 67.5 kN·m

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·60/16 = 18.75 kN

固定端的弯矩

荷载和支撑力对 A 取矩。

M_A = P·L/2 − R_B·L = 180 − 112.5 = 67.5 kN·m

答案

M_A = 67.5 kN·m

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 94.2 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

计算长度

KL = 1·1500 = 1500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/1500² = 94203 N = 94.2 kN

答案

P_cr = 94.2 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 9.715 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 1·2000 = 2000 mm

KL/r = 2000/7.5 = 266.7

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266.7² = 9.715 MPa

答案

σ_cr = 9.715 MPa

11.形心和惯性矩

答案: r = 46.75 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

A = π(D² − d²)/4 = 3318 mm²

I = π(D⁴ − d⁴)/64 = 7.252 × 10⁶ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(7.252 × 10⁶/3318) = 46.75 mm

答案

r = 46.75 mm

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 12.94 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (2000·230 + 2200·110)/4200 = 167.1 mm

上边缘: c = 240 − 167.1 = 72.86 mm

惯性矩

I = 100·20³/12 + 2000·62.86² + 10·220³/12 + 2200·57.14² = 2.403 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 50·2.403 × 10⁷/72.86 = 16.49 kN·m

下边缘: M = 90·2.403 × 10⁷/167.1 = 12.94 kN·m

控制值

M_allow = min = 12.94 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 12.94 kN·m

13.土中有效应力

答案: u = 58.86 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

答案

u = 58.86 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 136 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3.5

σ = 16·2 + 20.5·2 + 18·3.5 = 136 kPa

答案

σ = 136 kPa

15.固结沉降

答案: S = 42.75 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 45 + 40 = 85 kPa ≤ 105 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.05·6.5/(1 + 1.1)·log₁₀(85/45) = 42.75 mm

答案

S = 42.75 mm

16.固结沉降

答案: t = 0.8323 年

排水路径

H_dr = H/2 = 6.5/2 = 3.25 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.197·3.25²/2.5 = 0.8323 年

答案

t = 0.8323 年

17.静水压力

答案: F = 165.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·4.5 = 165.5 kN

答案

F = 165.5 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 3.308 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.25·3 = 98.04 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.25 + 0.5625/(3.25·3) = 3.308 m

答案

y_cp = 3.308 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 32.4 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(150/0.05)·1.2²/(2·9.81) = 3.303 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·3.303 = 32400 Pa = 32.4 kPa

答案

Δp = 32.4 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 1.957 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.04909 = 1.222 m/s

V²/(2g) = 0.07615 m

损失系数

f·L/D = 0.018·300/0.25 = 21.6

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

总水头损失

h_f = 21.6·0.07615 = 1.645 m

h_m = 4.1·0.07615 = 0.3122 m

Δz = h_f + h_m = 1.957 m

答案

Δz = 1.957 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 32.66 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·1.6)·1.6 = 15.68 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1.6·√(1 + 3²) = 15.12 m

R = A/P = 1.037 m

速度

V = (1/0.022)·1.037^2/3·0.002^1/2 = 2.083 m/s

流量

Q = A·V = 15.68·2.083 = 32.66 m³/s

答案

Q = 32.66 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.01321 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.2/4 = 0.05 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1.2/0.1357)² = 0.01321

答案

S = 0.01321

即每千米下降 13.21 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 37.32 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·14 = 20.6 kW

轴功率

P_shaft = 20.6/0.6 = 34.34 kW

电功率

P_el = 34.34/0.92 = 37.32 kW

答案

P_el = 37.32 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 44.48 m

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16 + 4)·0.3046 = 6.092 m

压力水头

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 18 + 20.39 + 6.092 = 44.48 m

答案

H = 44.48 m

25.货币的时间价值

答案: FV = 27528 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.04/12 = 0.003333

N = m·n = 12·8 = 96

终值

FV = 20 000·(1 + 0.003333)⁹⁶ = 20 000·1.376 = €27 527.90

答案

FV = €27 527.90

26.货币的时间价值

答案: I = 2563 €

月供

i = 0.0045, N = 36

A = 30 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)⁻³⁶) = €904.52

利息总额

I = N·A − P = 36·904.5 − 30 000 = €2 562.88

答案

I = €2 562.88

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 5752 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.08)¹ = 10 000/1.08 = 9 259.26

CF₂/(1 + 0.08)² = 13 000/1.166 = 11 145.40

CF₃/(1 + 0.08)³ = 11 000/1.26 = 8 732.15

CF₄/(1 + 0.08)⁴ = 9 000/1.36 = 6 615.27

相加

NPV = €5 752.09

答案

NPV = €5 752.09

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 22.87 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 2 372.69

NPV(25%) = −1 648.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·2 372.69/(2 372.69 − (−1 648.00)) = 22.95%

精确: NPV(22.87%) = 0 → IRR = 22.87%

答案

IRR = 22.87%

29.正态分布

答案: z = 0.95

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.6579)/2 = 0.8289

反向查 z 表

在表中找到 0.8289，读出 z。

z = 0.95

答案

z = 0.95

30.正态分布

答案: x = 84.6 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

换算回 x

x = 65 + 1.96·10 = 84.6 分

答案

x = 84.6 分

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