FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 10 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 10 mP = 25 kN 位于 10 mw = 12 kN/m，从 0 到 10 m

M_A = kN·m

2.梁的支座反力困难

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 7 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 4 m 处承受集中荷载 P，并从 7 m 到位于 10 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 R_A，以向上为正。

AB = 7 mAC = 10 mP = 75 kN 位于 4 mw = 8 kN/m，从 7 到 10 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓D: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓F: 30 kN ↓G: 35 kN ↓H: 20 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 4.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 4 kN/m，从 0 到 8 mx = 4.5 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 4 mw = 24 kN/m，从 0 到 2 m

x₀ = m

7.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2.5 m 处承受集中荷载 P。求自由端 B 处的挠度 δ_B。

P = 10 kNa = 2.5 mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 12 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 6 mE = 70 GPa (铝)b × h = 40 × 80 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 300 mmt_f = 30 mmt_w = 20 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 40 MPa，容许压应力为 150 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 20 mmh_w = 100 mmσ_t,allow = 40 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 6 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 10 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³黏土: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 4 m 的超固结黏土，C_c = 0.45，C_r = 0.05，e₀ = 0.85。其中点深度处的竖向有效应力为 70 kPa ，超固结比 OCR = 2。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 170 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 4 mC_c = 0.45C_r = 0.05e₀ = 0.85σ′₀ = 70 kPaOCR = 2Δσ = 170 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 20 mm、上下两面排水的黏土试样在 5 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 9 m 的土层。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 20 mmt_lab = 5 minH = 9 m现场：双面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 2.1 m/s 的平均流速流过一根长 200 m、内径 100 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2.1 m/sL = 200 mD = 100 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 300 m、内径 200 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 40 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 40 L/sL = 300 mD = 200 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形植草土渠渠道底宽 2.5 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 2.5 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.03，底坡 S = 0.002。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 2.5 my = 2.5 mz = 3n = 0.03S = 0.002

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 450 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 450 mmn = 0.013V = 1 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 70% 的水泵以 68 m 的扬程输送 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sH = 68 mη = 70%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 600 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 200 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 11 mL = 600 mD = 150 mmf = 0.025ΣK = 8p_tank = 200 kPa

H = m

25.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €1 000，共 16 年。年利率为 10%。求该年金的现值 PV。

A = €1 000i = 10%n = 16

PV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €300 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 2.4%，按月复利。在第 10 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €300 0002.4% / 12N = 360k = 120

B = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€12 000, €21 000, €15 000。资本成本为 7.000000000000001%。求净现值 NPV。

r = 7.000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 21 000CF₃ = 15 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

一笔 €50 000 的投资在 8 年内每年年末回报 €10 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €50 000CF = €10 500n = 8

IRR = %

29.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 −z 与 z 之间的阴影面积为 0.6970。求 z，保留两位小数。

A = 0.6970

z =

30.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。

μ = 65σ = 10P = 97.5%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: M_A = 850 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 12·10 = 120 kN, x̄ = 5 m

对墙的力矩

M_A = P·a + W·x̄ = 25·10 + 120·5 = 850 kN·m

答案

M_A = 850 kN·m

2.梁的支座反力

答案: R_A = 27 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

分布荷载的合力

W = 8·3 = 24 kN, x̄ = (7 + 10)/2 = 8.5 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·7 = 75·4 + 24·8.5

R_B = 504/7 = 72 kN

R_A = 99 − 72 = 27 kN

答案

R_A = 27 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 12.5 kN (T), BC: 12.5 kN (T), CD: 17.5 kN (T), DE: 17.5 kN (T), FG: 15 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 17.68 kN (C), HE: 24.75 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 20 kN (T), FC: 3.536 kN (T), HC: 3.536 kN (C)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 68.33 kN (T), BC: 76.67 kN (T), CD: 76.67 kN (T), DE: 38.33 kN (T), FG: 88.33 kN (C), GH: 58.33 kN (C), AF: 110.4 kN (C), HE: 47.92 kN (C), BF: 36.25 kN (T), CG: 0, DH: 28.75 kN (T), BG: 10.42 kN (C), DG: 47.92 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: V_x = −2 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

在 x = 4.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 16 − 4·4.5 = −2 kN

答案

V_x = −2 kN

6.剪力和弯矩

答案: x₀ = 1.5 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 24·2 = 48 kN，作用于 x̄ = 1 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 24·2·1

R_B = 48/4 = 12 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 12 = 36 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 36/24 = 1.5 m

答案

x₀ = 1.5 m

7.梁的挠度

答案: δ_B = 51.29 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 10000 N, a = 2500 mm, L = 3000 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δ_P = Pa³/(3EI) = 39.46 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.02367 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 51.29 mm

答案

δ_B = 51.29 mm

8.梁的挠度

答案: I_req = 12.56 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 2500/360 = 6.944 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·2500⁴/(384·70000·6.944) = 1.256 × 10⁷ mm⁴

I_req = 12.56 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 12.56 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 32.75 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·6000 = 3000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/3000² = 32752 N = 32.75 kN

答案

P_cr = 32.75 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 100.7 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

回转半径和长细比

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/5 = 140

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa

答案

σ_cr = 100.7 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 50.63 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 300·30 = 9000 mm², y_f = 200 + 30/2 = 215 mm

腹板: A_w = 20·200 = 4000 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (9000·215 + 4000·100)/13000 = 179.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 300·30³/12 + 9000·(215 − 179.6)² = 1.194 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·200³/12 + 4000·(100 − 179.6)² = 3.869 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.194 × 10⁷ + 3.869 × 10⁷ = 5.063 × 10⁷ mm⁴ = 50.63 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 50.63 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 3.135 kN·m

形心

ȳ = (4500·112.5 + 2000·50)/6500 = 93.27 mm

上边缘: c = 125 − 93.27 = 31.73 mm

惯性矩

I = 180·25³/12 + 4500·19.23² + 20·100³/12 + 2000·43.27² = 7.31 × 10⁶ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 150·7.31 × 10⁶/31.73 = 34.55 kN·m

下边缘: M = 40·7.31 × 10⁶/93.27 = 3.135 kN·m

控制值

M_allow = min = 3.135 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 3.135 kN·m

13.土中有效应力

答案: σ′ = 83.38 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·4 + 20.5·2 = 103 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 103 − 19.62 = 83.38 kPa

答案

σ′ = 83.38 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 126.1 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·4

σ = 17·4 + 20.5·2 + 19·4 = 185 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 185 − 58.86 = 126.1 kPa

答案

σ′ = 126.1 kPa

15.固结沉降

答案: S = 260.3 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·70 = 140 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 70 + 170 = 240 kPa > 140 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.05·4/(1 + 0.85)·log₁₀(140/70) + 0.45·4/(1 + 0.85)·log₁₀(240/140)

S = 32.54 + 227.8 = 260.3 mm

答案

S = 260.3 mm

16.固结沉降

答案: t = 703.1 天

排水路径

H_dr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m

H_dr,field = 9/2 = 4.5 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 5·(4.5/0.01)² = 1.012 × 10⁶ min

t_field = 1.012 × 10⁶/1440 = 703.1 天

答案

t = 703.1 天

17.静水压力

答案: F = 206 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN

答案

F = 206 kN

18.静水压力

答案: F = 100.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.5·4 = 100.6 kN

答案

F = 100.6 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 9.89 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.1²/(2·9.81) = 0.2248 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(200/0.1)·2.1²/(2·9.81) = 9.89 m

答案

h_f = 9.89 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 2.223 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s

V²/(2g) = 0.08263 m

损失系数

f·L/D = 0.015·300/0.2 = 22.5

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 22.5 + 3.4)·0.08263 = 2.223 m

答案

H = 2.223 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 45.86 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 3·2.5)·2.5 = 25 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·2.5·√(1 + 3²) = 18.31 m

R = A/P = 1.365 m

速度

V = (1/0.03)·1.365^2/3·0.002^1/2 = 1.835 m/s

流量

Q = A·V = 25·1.835 = 45.86 m³/s

答案

Q = 45.86 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.003112 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.45/4 = 0.1125 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1/0.233)² = 0.003112

答案

S = 0.003112

即每千米下降 3.112 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 47.65 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·68 = 33.35 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 33.35/0.7 = 47.65 kW

答案

P_shaft = 47.65 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 75.46 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (100 + 8)·0.408 = 44.07 m

压力水头

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 11 + 20.39 + 44.07 = 75.46 m

答案

H = 75.46 m

25.货币的时间价值

答案: PV = 7824 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.2176)/0.1 = 7.824

现值

PV = 1 000·7.824 = €7 823.71

答案

PV = €7 823.71

26.货币的时间价值

答案: B = 222805 €

月供

i = 0.002, N = 360

A = 300 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)⁻³⁶⁰) = €1 169.82

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 360 − 120 = 240

B = 1170·(1 − (1 + 0.002)⁻²⁴⁰)/0.002 = €222 804.65

答案

B = €222 804.65

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = −3198 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.07)¹ = 12 000/1.07 = 11 214.95

CF₂/(1 + 0.07)² = 21 000/1.145 = 18 342.21

CF₃/(1 + 0.07)³ = 15 000/1.225 = 12 244.47

相加

NPV = €−3 198.37

答案

NPV = €−3 198.37

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 13.23 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁸)/i = 50 000/10 500 = 4.762

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 13%: 4.799

i = 14%: 4.639

IRR = 13.23%

答案

IRR = 13.23%

29.正态分布

答案: z = 1.03

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = (1 + 0.6970)/2 = 0.8485

反向查 z 表

在表中找到 0.8485，读出 z。

z = 1.03

答案

z = 1.03

30.正态分布

答案: x = 84.6 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

换算回 x

x = 65 + 1.96·10 = 84.6 分

答案

x = 84.6 分

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