FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 12 kN/m。距 A 为 3 m 处还作用一个集中荷载 P。求竖向支座反力 R_B。

L = 4 mw₀ = 12 kN/mP = 55 kN 位于 3 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP = 10 kN 位于 2 mw = 2 kN/m，从 5 到 7 m

R_B = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓C: 10 kN ↓D: 35 kN ↓H: 35 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 60 kN水平荷载 = 5 kN ←

F_BC = kN

5.剪力和弯矩中等

简支梁在距 A 为 x = 5 m 处承受一个顺时针力偶 M₀ = 10 kN·m，没有其他荷载。求力偶右侧紧邻处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mM₀ = 10 kN·m 顺时针，作用于 5 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 45 kN 位于 3 mw = 4 kN/m，从 0 到 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 20 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 10 kNw = 12 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 240 mmt_f = 15 mmt_w = 14 mmh_w = 200 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 260 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 100 mmM = 15 kN·m

σ_顶部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 9 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 7.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.45，C_r = 0.04，e₀ = 0.85。其中点深度处的竖向有效应力为 85 kPa ，超固结比 OCR = 2。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 130 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 7.5 mC_c = 0.45C_r = 0.04e₀ = 0.85σ′₀ = 85 kPaOCR = 2Δσ = 130 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 9.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 2.5 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 70% 时，时间因数 T_v = 0.403。该土层需要多少年 t 才能达到 70% 固结度？

H = 9.5 mc_v = 2.5 m²/年份U = 70%T_v = 0.403双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 2.3 m/s 的平均流速流过一根长 200 m、内径 75 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2.3 m/sL = 200 mD = 75 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 80 L/s？

Q = 80 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 300 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.005。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 300 mmn = 0.013S = 0.005

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 2 m、边坡 2:1（水平:竖直）的梯形清洁土渠渠道须以 2 m 的水深均匀输送 32 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.022。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 32 m³/sb = 2 my = 2 mz = 2n = 0.022

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 32 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 85%，驱动它的电动机效率为 92%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 25 L/sH = 32 mη_pump = 85%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 17 m 的上游水箱。管道长 500 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 85%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 80 L/sΔz = 17 mL = 500 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 6η = 85%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

你在 9 年后需要 €40 000。某账户年利率 6%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €40 0006% / 4n = 9

PV = €

26.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €5 000，共 23 年，第一笔今天存入。账户年利率为 7%。第 23 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €5 000i = 7%n = 23

FV = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€8 000, €8 000, €14 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 8 000CF₂ = 8 000CF₃ = 14 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €200 000。其现金流在第 1 年年末为 €22 000，之后每年增长 2%，直到第 10 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €200 000CF₁ = €22 000g = 2%n = 10r = 12%

NPV = €

29.正态分布中等

带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 9 个的总质量超过 801 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 9> 801 kg

P =

30.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.015 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 57.25 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·12·4 = 24 kN

x̄ = 2L/3 = 2.667 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 24·2.667 + 55·3

R_B = 57.25 kN

R_A = 79 − 57.25 = 21.75 kN

答案

R_B = 57.25 kN

2.梁的支座反力

答案: R_B = 4.4 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN，作用于 x̄ = 6 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·2 + 2·2·6

R_B = 44/10 = 4.4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 14 − 4.4 = 9.6 kN

答案

R_B = 4.4 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 G

FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 41.25 kN (T), BC: 41.25 kN (T), CD: 63.75 kN (T), DE: 63.75 kN (T), FG: 57.5 kN (C), GH: 57.5 kN (C), AF: 58.34 kN (C), HE: 90.16 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 22.98 kN (T), HC: 8.839 kN (C)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: F_BC = −29.7 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·2 − 5·3 → C_y = 21 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 21 = 39 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/4.243 = 0.7071, cos γ = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −21/0.7071 = −29.7 kN

答案

F_BC = −29.7 kN (受压)

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 3.75 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。

支座反力

对 A 取矩，逆时针为正：R_B·L − M₀ = 0。竖向平衡：R_A + R_B = 0。

R_B = M₀/L = 10/8 = 1.25 kN (向上)

R_A = −R_B = −1.25 kN (向下)

在力偶右侧紧邻处截开

左侧部分现在包含 R_A 和力偶。

M_x = R_A·a + M₀ = −1.25·5 + 10 = 3.75 kN·m

答案

M_x = 3.75 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 136.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 45·3 + 4·10·5

R_B = 335/10 = 33.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 33.5 = 51.5 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 51.5·3 − 4·3·1.5 = 136.5 kN·m

答案

M_x = 136.5 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_max = 1.256 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·3000⁴/(384·1.68 × 10¹³) = 1.256 mm

答案

δ_max = 1.256 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 26.89 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 10000 N, w = 12 N/mm, L = 5000 mm, EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 10000·5000³/(48·4.6 × 10¹²) = 5.661 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·5000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 21.23 mm

相加

δ_max = 5.661 + 21.23 = 26.89 mm

答案

δ_max = 26.89 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 34.88 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

计算长度

KL = 1·1500 = 1500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1500² = 34882 N = 34.88 kN

答案

P_cr = 34.88 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 79.31 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.7·2000 = 1400 mm

KL/r = 1400/15 = 93.33

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/93.33² = 79.31 MPa

答案

σ_cr = 79.31 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 27.6 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 240·15 = 3600 mm², y_f = 200 + 15/2 = 207.5 mm

腹板: A_w = 14·200 = 2800 mm², y_w = 200/2 = 100 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3600·207.5 + 2800·100)/6400 = 160.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 240·15³/12 + 3600·(207.5 − 160.5)² = 8.03 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·200³/12 + 2800·(100 − 160.5)² = 1.957 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.03 × 10⁶ + 1.957 × 10⁷ = 2.76 × 10⁷ mm⁴ = 27.6 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 27.6 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 58.89 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 260·25 = 6500 mm², y_f = 100 + 25/2 = 112.5 mm

腹板: A_w = 14·100 = 1400 mm², y_w = 100/2 = 50 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6500·112.5 + 1400·50)/7900 = 101.4 mm

平行移轴定理

翼缘: 260·25³/12 + 6500·(112.5 − 101.4)² = 1.136 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·100³/12 + 1400·(50 − 101.4)² = 4.869 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.136 × 10⁶ + 4.869 × 10⁶ = 6.005 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 125 − 101.4 = 23.58 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·23.58/6.005 × 10⁶ = 58.89 MPa

答案

σ_顶部 = 58.89 MPa

13.土中有效应力

答案: σ′ = 86.02 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16.5·1 + 18.5·8 = 164.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·8 = 78.48 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 164.5 − 78.48 = 86.02 kPa

答案

σ′ = 86.02 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 83.14 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·4

σ = 16.5·2 + 18.5·2 + 18·4 = 142 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 142 − 58.86 = 83.14 kPa

答案

σ′ = 83.14 kPa

15.固结沉降

答案: S = 234.9 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·85 = 170 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 85 + 130 = 215 kPa > 170 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.04·7.5/(1 + 0.85)·log₁₀(170/85) + 0.45·7.5/(1 + 0.85)·log₁₀(215/170)

S = 48.82 + 186.1 = 234.9 mm

答案

S = 234.9 mm

16.固结沉降

答案: t = 3.637 年

排水路径

H_dr = H/2 = 9.5/2 = 4.75 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.403·4.75²/2.5 = 3.637 年

答案

t = 3.637 年

17.静水压力

答案: F = 117.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·3 = 117.7 kN

答案

F = 117.7 kN

18.静水压力

答案: F = 35.19 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.5·1 = 35.19 kN

答案

F = 35.19 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 21.57 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.3²/(2·9.81) = 0.2696 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(200/0.075)·2.3²/(2·9.81) = 21.57 m

答案

h_f = 21.57 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 3.344 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.04909 = 1.63 m/s

V²/(2g) = 0.1354 m

损失系数

f·L/D = 0.022·200/0.25 = 17.6

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

总水头损失

h_f = 17.6·0.1354 = 2.383 m

h_m = 7.1·0.1354 = 0.9612 m

Δz = h_f + h_m = 3.344 m

答案

Δz = 3.344 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.06838 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.07069 m², R = D/4 = 0.075 m

速度

V = (1/0.013)·0.075^2/3·0.005^1/2 = 0.9673 m/s

流量

Q = A·V = 0.07069·0.9673 = 0.06838 m³/s

答案

Q = 0.06838 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.003044 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (2 + 2·2)·2 = 12 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2·√(1 + 2²) = 10.94 m

R = A/P = 1.096 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·32/(12·1.063) = 0.05517

S = 0.05517² = 0.003044

答案

S = 0.003044

即每千米下降 3.044 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 10.04 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·32 = 7.848 kW

轴功率

P_shaft = 7.848/0.85 = 9.233 kW

电功率

P_el = 9.233/0.92 = 10.04 kW

答案

P_el = 10.04 kW

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 28.97 kW

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (37.5 + 6)·0.3305 = 14.38 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 17 + 14.38 = 31.38 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·31.38/0.85 = 28.97 kW

答案

P_shaft = 28.97 kW

25.货币的时间价值

答案: PV = 23404 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.06/4 = 0.015

N = 4·9 = 36

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.709 = €23 403.59

答案

PV = €23 403.59

26.货币的时间价值

答案: FV = 285883 €

普通年金系数

((1 + 0.07)²³ − 1)/0.07 = 53.44

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 5 000·53.44·1.07 = €285 883.35

答案

FV = €285 883.35

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = −5117 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 8 000/1.09 = 7 339.45

CF₂/(1 + 0.09)² = 8 000/1.188 = 6 733.44

CF₃/(1 + 0.09)³ = 14 000/1.295 = 10 810.57

相加

NPV = €−5 116.54

答案

NPV = €−5 116.54

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: NPV = −66346 €

增长型年金的现值

((1.02)/(1.12))¹⁰ = 0.3925

PV = 22 000/(0.12 − 0.02)·(1 − 0.3925) = 133 653.61

NPV

NPV = 133 653.61 − 200 000 = −€66 346.39

答案

NPV = −€66 346.39

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

29.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 765 kg, σ_T = 12·√9 = 36 kg

标准化

z = (801 − 765)/36 = 1

概率

P = 1 − Φ(1) = 0.1587

答案

P = 0.1587

30.正态分布

答案: P = 0.9207

差的分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.02121 mm

标准化

z = (0 − 0.03)/0.02121 = −1.41

概率

P = 1 − Φ(−1.41) = 0.9207

答案

P = 0.9207

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