FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP₁ = 35 kN 位于 4 mP₂ = 40 kN 位于 5 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 12 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 2 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 4 mw₀ = 12 kN/mP = 55 kN 位于 2 m

M_A = kN·m

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 40 kN ↓D: 20 kN ↓G: 15 kN ↓H: 20 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 6 kN/m，从 0 到 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求从 A 到两支座之间反弯点（弯矩变号处）的距离 x_c。

L = 7.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 7.5 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m

x_c = m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 12 kN/mL = 8 mE = 200 GPa (钢)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 h_req。

w = 1.5 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm

h_req = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 25 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 25 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 130 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 200 mmd = 60 mm孔心: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 60 MPa，容许压应力为 150 MPa。求梁能承受的最大负弯矩 M_allow（给出其大小）。

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 16 mmh_w = 180 mmσ_t,allow = 60 MPaσ_c,allow = 150 MPa

M_allow = kN·m

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 12 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 8.5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³黏土: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 2 m 的超固结黏土，C_c = 0.3，C_r = 0.03，e₀ = 0.7。其中点深度处的竖向有效应力为 115 kPa ，先期固结压力为 185 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 110 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 2 mC_c = 0.3C_r = 0.03e₀ = 0.7σ′₀ = 115 kPaσ′_p = 185 kPaΔσ = 110 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 3 m 的黏土，固结系数 c_v = 2.5 m²/year。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。平均固结度为 80% 时，时间因数 T_v = 0.567。该土层需要多少年 t 才能达到 80% 固结度？

H = 3 mc_v = 2.5 m²/年份U = 80%T_v = 0.567单面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.9 m/s 的速度流过一根长 200 m、内径 50 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.9 m/sL = 200 mD = 50 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 5 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 5 mL = 200 mD = 300 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1.0

Q = L/s

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形植草土渠渠道底宽 3 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 0.5 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.03，底坡 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3 my = 0.5 mz = 1.5n = 0.03S = 0.001

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 2.5 m 的矩形抹面混凝土渠道须以 1.5 m 的水深均匀输送 9.4 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.012。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 9.4 m³/sb = 2.5 my = 1.5 mn = 0.012

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 16 m 的扬程输送 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 7.4 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 40 L/sH = 16 mP_shaft = 7.4 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 22 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 80 L/sΔz = 22 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.015ΣK = 5

H = m

25.货币的时间价值中等

你以每年 3% 的利率连续复利投资 €5 000。求 13 年后的价值 FV。

PV = €5 000r = 3%t = 13

FV = €

26.货币的时间价值困难

你在每年年初存入 €6 000，共 5 年，第一笔今天存入。账户年利率为 3%。第 5 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €6 000i = 3%n = 5

FV = €

27.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €20 000，在 5 年内每年年末回报 €7 000。资本成本为 10%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 10%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 7 000CF₃ = 7 000CF₄ = 7 000CF₅ = 7 000

DPB = 年

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €5 500, €6 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 5 500CF₂ = 6 500

IRR = %

29.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 20 和 44.3 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 20x₂ = 44.3

P =

30.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 99% 的数据低于它（第 99 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 99%

x = h

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 32.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 35·4 + 40·5

R_B = 340/8 = 42.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 75 − 42.5 = 32.5 kN

答案

R_A = 32.5 kN

2.梁的支座反力

答案: M_A = 142 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·12·4 = 24 kN

x̄ = L/3 = 1.333 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 24·1.333 + 55·2 = 142 kN·m

答案

M_A = 142 kN·m

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 5 kN (T), BC: 10 kN (T), CD: 10 kN (T), DE: 15 kN (T), FG: 5 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 7.071 kN (C), HE: 21.21 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), BG: 7.071 kN (C), DG: 7.071 kN (T)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 27.5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 27.5 kN (T), FG: 47.5 kN (C), GH: 47.5 kN (C), AF: 67.18 kN (C), HE: 38.89 kN (C), BF: 47.5 kN (T), CG: 0, DH: 27.5 kN (T), BG: 10.61 kN (C), DG: 10.61 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 21 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 24·1 − 6·1·0.5 = 21 kN·m

答案

M_x = 21 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: x_c = 3.75 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·7.5 = 15 kN，作用于 x̄ = 3.75 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·7.5·3.75

R_B = 56.25/5 = 11.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 15 − 11.25 = 3.75 kN

弯矩为零

两支座之间 M(x) = R_A·x − w·x²/2。除 x = 0 外，它在 x = 2R_A/w 处为零。

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·3.75/2 = 3.75 m

答案

x_c = 3.75 m

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.02246 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 8000 mm

EI = 1.14 × 10¹³ N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 12·8000³/(24·1.14 × 10¹³) = 0.02246 rad

答案

θ_A = 0.02246 rad

即 1.287°。

8.梁的挠度

答案: h_req = 174.6 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 1.5 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·1.5·5000⁴/(384·11000·20) = 5.549 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·5.549 × 10⁷/125)^1/3 = 174.6 mm

答案

h_req = 174.6 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 8.721 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

计算长度

KL = 2·1500 = 3000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/3000² = 8721 N = 8.721 kN

答案

P_cr = 8.721 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 56.68 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·25000 = 62500 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 56.68 mm

答案

d = 56.68 mm

校核：长细比 KL/r 为 282.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 96.55 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·100 − 2827·130)/(30000 − 2827) = 96.88 mm

完整的板关于 ȳ

150·200³/12 + 30000·3.122² = 100.3 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·33.12² = 3.738 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 96.55 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 96.55 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 27.94 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (6600·195 + 2880·90)/9480 = 163.1 mm

上边缘: c = 210 − 163.1 = 46.9 mm

惯性矩

I = 220·30³/12 + 6600·31.9² + 16·180³/12 + 2880·73.1² = 3.038 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

负弯矩：上侧受拉，下侧受压。

上边缘: M = 60·3.038 × 10⁷/46.9 = 38.86 kN·m

下边缘: M = 150·3.038 × 10⁷/163.1 = 27.94 kN·m

控制值

M_allow = min = 27.94 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 27.94 kN·m

13.土中有效应力

答案: σ = 229.5 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·3 + 20.5·9 = 229.5 kPa

答案

σ = 229.5 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 86.73 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·2.5

σ = 16·2 + 19·4 + 17·2.5 = 150.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6.5 = 63.77 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 150.5 − 63.77 = 86.73 kPa

答案

σ′ = 86.73 kPa

15.固结沉降

答案: S = 37.29 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 115 + 110 = 225 kPa > 185 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.03·2/(1 + 0.7)·log₁₀(185/115) + 0.3·2/(1 + 0.7)·log₁₀(225/185)

S = 7.287 + 30 = 37.29 mm

答案

S = 37.29 mm

16.固结沉降

答案: t = 2.041 年

排水路径

H_dr = H = 3 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.567·3²/2.5 = 2.041 年

答案

t = 2.041 年

17.静水压力

答案: F = 44.15 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

答案

F = 44.15 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 2.8 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.5·3 = 64.75 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·3³/12 = 2.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 2.25/(2.5·3) = 2.8 m

答案

y_cp = 2.8 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 130 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(200/0.05)·1.9²/(2·9.81) = 13.25 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·13.25 = 129960 Pa = 130 kPa

答案

Δp = 130 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 174.5 L/s

损失系数

f·L/D = 0.018·200/0.3 = 12

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

5 = (12 + 4.1)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·5/16.1) = 2.468 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 2.468·0.07069 = 0.1745 m³/s = 174.5 L/s

答案

Q = 174.5 L/s

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 1.056 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3 + 1.5·0.5)·0.5 = 1.875 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·0.5·√(1 + 1.5²) = 4.803 m

R = A/P = 0.3904 m

速度

V = (1/0.03)·0.3904^2/3·0.001^1/2 = 0.5631 m/s

流量

Q = A·V = 1.875·0.5631 = 1.056 m³/s

答案

Q = 1.056 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001508 m/m

几何参数

A = b·y = 2.5·1.5 = 3.75 m²

P = b + 2y = 2.5 + 2·1.5 = 5.5 m

R = A/P = 0.6818 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.012·9.4/(3.75·0.7747) = 0.03883

S = 0.03883² = 0.001508

答案

S = 0.001508

即每千米下降 1.508 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 84.84 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.04·16 = 6.278 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 6.278/7.4 = 84.84%

答案

η = 84.84%

24.水泵与泵功率

答案: H = 28.61 m

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (15 + 5)·0.3305 = 6.61 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 22 + 6.61 = 28.61 m

答案

H = 28.61 m

25.货币的时间价值

答案: FV = 7385 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.03·13 = 0.39

e^0.39 = 1.477

终值

FV = 5 000·1.477 = €7 384.90

答案

FV = €7 384.90

26.货币的时间价值

答案: FV = 32810 €

普通年金系数

((1 + 0.03)⁵ − 1)/0.03 = 5.309

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 6 000·5.309·1.03 = €32 810.46

答案

FV = €32 810.46

27.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.542 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 7 000/1.1 = 6 363.64 → Σ = 6 363.64

年份 2: 7 000/1.21 = 5 785.12 → Σ = 12 148.76

年份 3: 7 000/1.331 = 5 259.20 → Σ = 17 407.96

年份 4: 7 000/1.464 = 4 781.09 → Σ = 22 189.06

最后一年的分数

DPB = 3 + 2 592.04/4 781.09 = 3.542

答案

DPB = 3.542 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.857 年）。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 12.68 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(10%) = 371.90

NPV(15%) = −302.46

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 10 + 5·371.90/(371.90 − (−302.46)) = 12.76%

精确: NPV(12.68%) = 0 → IRR = 12.68%

答案

IRR = 12.68%

29.正态分布

答案: P = 0.9571

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (20 − 32)/6 = −2

z₂ = (44.3 − 32)/6 = 2.05

中间面积

P = Φ(2.05) − Φ(−2) = 0.9798 − 0.02275 = 0.9571

答案

P = 0.9571

30.正态分布

答案: x = 593.1 h

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.99 → z = 2.326

换算回 x

x = 500 + 2.326·40 = 593.05 h

答案

x = 593.05 h

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