FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁从墙到 6 m 承受均布荷载 w，并在距墙 10 m 处承受集中荷载 P。求墙处的竖向反力 R_A。

L = 10 mP = 40 kN 位于 10 mw = 12 kN/m，从 0 到 6 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 20 kN/m；另在距墙 3 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 5 mw₀ = 20 kN/mP = 20 kN 位于 3 m

M_A = kN·m

3.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 15 kN

F_AC = kN

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓F: 20 kN ↓F: 25 kN →H: 35 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

30 kN @ 4 m55 kN @ 5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 0 m50 kN @ 6 m10 kN @ 3 m6 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 10 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 5 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 50 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 140 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mm孔心: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

对称工字形截面的翼缘宽 100 mm、厚 18 mm，总高度 420 mm，腹板厚 8 mm。截面承受绕 x 轴的弯矩 40 kN·m。求截面中最大弯曲应力 σ_max 的大小。

B = 100 mmH = 420 mmt_f = 18 mmt_w = 8 mmM = 40 kN·m

σ_max = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 9 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³黏土: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 5 m 的超固结黏土，C_c = 0.45，C_r = 0.03，e₀ = 1.1。其中点深度处的竖向有效应力为 115 kPa ，超固结比 OCR = 2。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 170 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 5 mC_c = 0.45C_r = 0.03e₀ = 1.1σ′₀ = 115 kPaOCR = 2Δσ = 170 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 9.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 0.8 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 80% 时，时间因数 T_v = 0.567。该土层需要多少年 t 才能达到 80% 固结度？

H = 9.5 mc_v = 0.8 m²/年份U = 80%T_v = 0.567双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 2.4 m/s 的平均流速流过一根长 500 m、内径 150 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2.4 m/sL = 500 mD = 150 mmf = 0.02g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 100 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 10 L/s？

Q = 10 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形抹面混凝土渠道底宽 4 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 0.9 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 4 my = 0.9 mz = 1n = 0.012S = 0.0005

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 4 m、边坡 1.5:1（水平:竖直）的梯形砖砌渠道须以 2.4 m 的水深均匀输送 35 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.015。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 35 m³/sb = 4 my = 2.4 mz = 1.5n = 0.015

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 16 m 的扬程输送 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 11.2 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 50 L/sH = 16 mP_shaft = 11.2 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 20 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 120 L/sΔz = 20 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.022ΣK = 8

H = m

25.货币的时间价值中等

你以每年 4% 的利率连续复利投资 €10 000。求 18 年后的价值 FV。

PV = €10 000r = 4%t = 18

FV = €

26.货币的时间价值困难

你在 17 年内每月月末存入 €500。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €5004.8% / 12N = 204

FV = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€17 000, €21 000, €11 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF₀ = −45 000CF₁ = 17 000CF₂ = 21 000CF₃ = 11 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €18 500, €9 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 18 500CF₂ = 9 000

IRR = %

29.正态分布中等

水泥袋的质量相互独立，服从均值 25 kg、标准差 0.5 kg 的正态分布。求其中 5 个的总质量超过 123.9 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 25 kgσ = 0.5 kgn = 5> 123.9 kg

P =

30.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 70% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分70%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 112 kN

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 12·6 = 72 kN, x̄ = 3 m

竖向平衡

R_A = P + W = 40 + 72 = 112 kN

答案

R_A = 112 kN

2.梁的支座反力

答案: M_A = 226.7 kN·m

三角形荷载的合力

W = ½·20·5 = 50 kN

x̄ = 2L/3 = 3.333 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 50·3.333 + 20·3 = 226.7 kN·m

答案

M_A = 226.7 kN·m

3.桁架：节点法

答案: F_AC = 6.667 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·4 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 10 = 5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −10/0.8321 = −12.02 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−12.02)·0.5547 = 6.667 kN

答案

F_AC = 6.667 kN (受拉)

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 70.42 kN (T), BC: 62.5 kN (T), CD: 62.5 kN (T), DE: 54.58 kN (T), FG: 70.42 kN (C), GH: 54.58 kN (C), AF: 56.77 kN (C), HE: 68.23 kN (C), BF: 14.06 kN (T), CG: 0, DH: 5.938 kN (T), BG: 9.896 kN (T), DG: 9.896 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 19.17 kN, R₂ = 65.83 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 19.17, M_C = 38.33, M_D = 57.5, M_E = 76.67 kN·m, M_F = 65.83, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 76.67 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 45.67 kN, R₂ = 82.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −50, M_C = −57.33, M_D = −70.67, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −100 kN·m

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.01515 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1.76 × 10¹² N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 10·4000³/(24·1.76 × 10¹²) = 0.01515 rad

答案

θ_A = 0.01515 rad

即 0.8681°。

8.梁的挠度

答案: I_req = 25.31 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·5·6000⁴/(384·200000·16.67) = 2.531 × 10⁷ mm⁴

I_req = 25.31 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 25.31 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 14.69 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 50·25³/12 = 65104 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·65104/1750² = 14687 N = 14.69 kN

答案

P_cr = 14.69 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 17.27 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

回转半径和长细比

A = 706.9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

KL/r = 1500/7.5 = 200

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

答案

σ_cr = 17.27 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 60.76 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (20000·100 − 2827·140)/(20000 − 2827) = 93.41 mm

完整的板关于 ȳ

100·200³/12 + 20000·6.586² = 67.53 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·46.59² = 6.772 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 60.76 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 60.76 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_max = 45.83 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − t_w)，高 h_w = H − 2t_f，并共用轴 x。

h_w = 420 − 2·18 = 384 mm

I_x = (B·H³ − (B − t_w)·h_w³)/12 = (100·420³ − 92·384³)/12

I_x = 1.833 × 10⁸ mm⁴

弯曲应力

y = 210 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·210/1.833 × 10⁸ = 45.83 MPa

答案

σ_max = 45.83 MPa

13.土中有效应力

答案: u = 68.67 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·7 = 68.67 kPa

答案

u = 68.67 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 87.14 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·4 + γ_sat,clay·2

σ = 15·2 + 20.5·4 + 17·2 = 146 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 146 − 58.86 = 87.14 kPa

答案

σ′ = 87.14 kPa

15.固结沉降

答案: S = 121.3 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·115 = 230 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 115 + 170 = 285 kPa > 230 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.03·5/(1 + 1.1)·log₁₀(230/115) + 0.45·5/(1 + 1.1)·log₁₀(285/230)

S = 21.5 + 99.77 = 121.3 mm

答案

S = 121.3 mm

16.固结沉降

答案: t = 15.99 年

排水路径

H_dr = H/2 = 9.5/2 = 4.75 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.567·4.75²/0.8 = 15.99 年

答案

t = 15.99 年

17.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·6 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 2.333 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.25·1.5 = 33.94 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 0.2813/(2.25·1.5) = 2.333 m

答案

y_cp = 2.333 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 19.57 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.4²/(2·9.81) = 0.2936 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(500/0.15)·2.4²/(2·9.81) = 19.57 m

答案

h_f = 19.57 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 1.702 m

速度

V = Q/A = 0.01/0.007854 = 1.273 m/s

V²/(2g) = 0.08263 m

损失系数

f·L/D = 0.018·100/0.1 = 18

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.6

总水头损失

h_f = 18·0.08263 = 1.487 m

h_m = 2.6·0.08263 = 0.2148 m

Δz = h_f + h_m = 1.702 m

答案

Δz = 1.702 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 6.315 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4 + 1·0.9)·0.9 = 4.41 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·0.9·√(1 + 1²) = 6.546 m

R = A/P = 0.6737 m

速度

V = (1/0.012)·0.6737^2/3·0.0005^1/2 = 1.432 m/s

流量

Q = A·V = 4.41·1.432 = 6.315 m³/s

答案

Q = 6.315 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0005088 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4 + 1.5·2.4)·2.4 = 18.24 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·2.4·√(1 + 1.5²) = 12.65 m

R = A/P = 1.442 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.015·35/(18.24·1.276) = 0.02256

S = 0.02256² = 0.0005088

答案

S = 0.0005088

即每千米下降 0.5088 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 70.07 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·16 = 7.848 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 7.848/11.2 = 70.07%

答案

η = 70.07%

24.水泵与泵功率

答案: H = 27.8 m

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (17.6 + 8)·0.3046 = 7.798 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 20 + 7.798 = 27.8 m

答案

H = 27.8 m

25.货币的时间价值

答案: FV = 20544 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.04·18 = 0.72

e^0.72 = 2.054

终值

FV = 10 000·2.054 = €20 544.33

答案

FV = €20 544.33

26.货币的时间价值

答案: FV = 157220 €

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·17 = 204

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(2.258 − 1)/0.004 = €157 219.77

答案

FV = €157 219.77

你自己存入了 €102 000；其余是利息。

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = −259.7 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.05)¹ = 17 000/1.05 = 16 190.48

CF₂/(1 + 0.05)² = 21 000/1.103 = 19 047.62

CF₃/(1 + 0.05)³ = 11 000/1.158 = 9 502.21

相加

NPV = €−259.69

答案

NPV = €−259.69

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 7.491 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 782.31

NPV(10%) = −743.80

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·782.31/(782.31 − (−743.80)) = 7.563%

精确: NPV(7.491%) = 0 → IRR = 7.491%

答案

IRR = 7.491%

29.正态分布

答案: P = 0.8365

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 125 kg, σ_T = 0.5·√5 = 1.118 kg

标准化

z = (123.9 − 125)/1.118 = −0.98

概率

P = 1 − Φ(−0.98) = 0.8365

答案

P = 0.8365

30.正态分布

答案: x = 70.2 分

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.7

由表得到的 z

z ≈ 0.52

回到原来的单位

x = 65 + 0.52·10 = 70.2 分

答案

x = 70.2 分

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