FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP₁ = 20 kN 位于 3 mP₂ = 35 kN 位于 4.5 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 10 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 5 mw₀ = 10 kN/mP = 60 kN 位于 5 m

M_A = kN·m

3.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 60 kN

F_BC = kN

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓G: 20 kN ↓H: 30 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 6.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 4 kN/m，从 0 到 8 mx = 6.5 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 6 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 40 kN 位于 7 mw = 4 kN/m，从 0 到 10 mx = 6 m

M_x = kN·m

7.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，并在跨中受集中力 P。用叠加法求跨中挠度 δ_max。

P = 3 kNw = 15 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 80 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 240 mm，外高 H = 350 mm，壁厚均为 t = 10 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

B = 240 mmH = 350 mmt = 10 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 40 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 260 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 240 mmM = 40 kN·m

σ_底部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 4 m 的超固结黏土，C_c = 0.25，C_r = 0.05，e₀ = 0.65。其中点深度处的竖向有效应力为 90 kPa ，超固结比 OCR = 1.5。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 70 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 4 mC_c = 0.25C_r = 0.05e₀ = 0.65σ′₀ = 90 kPaOCR = 1.5Δσ = 70 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 2 m 的黏土，固结系数 c_v = 1 m²/year。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。平均固结度为 80% 时，时间因数 T_v = 0.567。该土层需要多少年 t 才能达到 80% 固结度？

H = 2 mc_v = 1 m²/年份U = 80%T_v = 0.567单面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.2 m/s 的速度流过一根长 200 m、内径 50 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.2 m/sL = 200 mD = 50 mmf = 0.03ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 100 m、内径 150 mm（达西摩擦系数 f = 0.025）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 20 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 20 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形未抹面混凝土渠道宽 6 m。水以 1.7 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.014，底坡 S = 0.003。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 6 my = 1.7 mn = 0.014S = 0.003

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 5 m、边坡 3:1（水平:竖直）的梯形清洁土渠渠道须以 1.2 m 的水深均匀输送 18 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.022。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 18 m³/sb = 5 my = 1.2 mz = 3n = 0.022

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 65% 的水泵以 68 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 20 L/sH = 68 mη = 65%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 9 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 65%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 100 L/sΔz = 9 mL = 400 mD = 250 mmf = 0.025ΣK = 8η = 65%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €40 000。某账户年利率 4.8%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €40 0004.8% / 12n = 4

PV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €200 000 的抵押贷款在 25 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在第 14 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。

P = €200 0004.8% / 12N = 300k = 168

B = €

27.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €30 000，在 4 年内每年年末回报 €10 000。资本成本为 8%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 8%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 000CF₂ = 10 000CF₃ = 10 000CF₄ = 10 000

DPB = 年

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €11 000, €10 000, €14 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 000CF₂ = 10 000CF₃ = 14 500

IRR = %

29.正态分布中等

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 22.4 和 33.2 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 32σ = 6x₁ = 22.4x₂ = 33.2

P =

30.正态分布困难

运动员 A 的单圈时间 X 与运动员 B 的单圈时间 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 52 s，标准差为 4 s，Y 的均值为 48 s，标准差为 3 s。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 36.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 20·3 + 35·4.5

R_B = 217.5/6 = 36.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 36.25 = 18.75 kN

答案

R_B = 36.25 kN

2.梁的支座反力

答案: M_A = 341.7 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·10·5 = 25 kN

x̄ = L/3 = 1.667 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 25·1.667 + 60·5 = 341.7 kN·m

答案

M_A = 341.7 kN·m

3.桁架：节点法

答案: F_BC = −28.28 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 60·2 → C_y = 20 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 20 = 40 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −20/0.7071 = −28.28 kN

答案

F_BC = −28.28 kN (受压)

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 6.563 kN (C), BC: 5.625 kN (T), CD: 5.625 kN (T), DE: 2.812 kN (T), FG: 23.44 kN (C), GH: 32.81 kN (C), AF: 39.06 kN (C), HE: 4.687 kN (C), BF: 31.25 kN (T), CG: 0, DH: 3.75 kN (T), BG: 20.31 kN (C), DG: 4.687 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: V_x = −10 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 4·8·4

R_B = 128/8 = 16 kN

ΣF_y = 0: R_A = 32 − 16 = 16 kN

在 x = 6.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 16 − 4·6.5 = −10 kN

答案

V_x = −10 kN

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 120 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·10 = 40 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·7 + 4·10·5

R_B = 480/10 = 48 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 48 = 32 kN

在 x = 6 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 32·6 − 4·6·3 = 120 kN·m

答案

M_x = 120 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ = 46.02 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 3000 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 6·3000⁴/(8·1.32 × 10¹²) = 46.02 mm

答案

δ = 46.02 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 40.91 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 3000 N, w = 15 N/mm, L = 4000 mm, EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

各荷载单独作用

δ_P = PL³/(48EI) = 3000·4000³/(48·1.32 × 10¹²) = 3.03 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·4000⁴/(384·1.32 × 10¹²) = 37.88 mm

相加

δ_max = 3.03 + 37.88 = 40.91 mm

答案

δ_max = 40.91 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 116 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/1750² = 116018 N = 116 kN

答案

P_cr = 116 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 71.06 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 1·2500 = 2500 mm

KL/r = 2500/15 = 166.7

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/166.7² = 71.06 MPa

答案

σ_cr = 71.06 MPa

11.形心和惯性矩

答案: r = 132 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

b = 220 mm, h = 330 mm

A = BH − bh = 240·350 − 220·330 = 11400 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1.987 × 10⁸ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(1.987 × 10⁸/11400) = 132 mm

答案

r = 132 mm

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 114.9 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 260·30 = 7800 mm², y_f = 240 + 30/2 = 255 mm

腹板: A_w = 18·240 = 4320 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7800·255 + 4320·120)/12120 = 206.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 260·30³/12 + 7800·(255 − 206.9)² = 1.865 × 10⁷ mm⁴

腹板: 18·240³/12 + 4320·(120 − 206.9)² = 5.334 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.865 × 10⁷ + 5.334 × 10⁷ = 7.199 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 206.9 mm

σ = M·y/I = 4 × 10⁷·206.9/7.199 × 10⁷ = 114.9 MPa

答案

σ_底部 = 114.9 MPa

13.土中有效应力

答案: σ′ = 88.07 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·4 + 18.5·3 = 117.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 117.5 − 29.43 = 88.07 kPa

答案

σ′ = 88.07 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 85.14 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·4

σ = 16.5·2 + 18.5·2 + 18.5·4 = 144 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 144 − 58.86 = 85.14 kPa

答案

σ′ = 85.14 kPa

15.固结沉降

答案: S = 66.06 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 1.5·90 = 135 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 90 + 70 = 160 kPa > 135 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.05·4/(1 + 0.65)·log₁₀(135/90) + 0.25·4/(1 + 0.65)·log₁₀(160/135)

S = 21.34 + 44.72 = 66.06 mm

答案

S = 66.06 mm

16.固结沉降

答案: t = 2.268 年

排水路径

H_dr = H = 2 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.567·2²/1 = 2.268 年

答案

t = 2.268 年

17.静水压力

答案: F = 202.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·7.5 = 202.3 kN

答案

F = 202.3 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 2.633 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.5·4 = 100.6 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·2³/12 = 1.333 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.5 + 1.333/(2.5·4) = 2.633 m

答案

y_cp = 2.633 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 290.4 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(200/0.05)·2.2²/(2·9.81) = 29.6 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·29.6 = 290400 Pa = 290.4 kPa

答案

Δp = 290.4 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 1.552 m

速度

V = Q/A = 0.02/0.01767 = 1.132 m/s

V²/(2g) = 0.06529 m

损失系数

f·L/D = 0.025·100/0.15 = 16.67

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 = 6.1

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 16.67 + 6.1)·0.06529 = 1.552 m

答案

H = 1.552 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 42.14 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 6·1.7 = 10.2 m²

P = b + 2y = 6 + 2·1.7 = 9.4 m

R = A/P = 1.085 m

速度

V = (1/0.014)·1.085^2/3·0.003^1/2 = 4.131 m/s

流量

Q = A·V = 10.2·4.131 = 42.14 m³/s

答案

Q = 42.14 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001919 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (5 + 3·1.2)·1.2 = 10.32 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·1.2·√(1 + 3²) = 12.59 m

R = A/P = 0.8197 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·18/(10.32·0.8759) = 0.04381

S = 0.04381² = 0.001919

答案

S = 0.001919

即每千米下降 1.919 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 20.53 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·68 = 13.34 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 13.34/0.65 = 20.53 kW

答案

P_shaft = 20.53 kW

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 28.91 kW

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 8)·0.2115 = 10.15 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 9 + 10.15 = 19.15 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.1·19.15/0.65 = 28.91 kW

答案

P_shaft = 28.91 kW

25.货币的时间价值

答案: PV = 33025 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·4 = 48

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1.211 = €33 024.92

答案

PV = €33 024.92

26.货币的时间价值

答案: B = 117348 €

月供

i = 0.004, N = 300

A = 200 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)⁻³⁰⁰) = €1 145.99

剩余还款的现值

尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。

N − k = 300 − 168 = 132

B = 1146·(1 − (1 + 0.004)⁻¹³²)/0.004 = €117 348.39

答案

B = €117 348.39

27.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.575 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 10 000/1.08 = 9 259.26 → Σ = 9 259.26

年份 2: 10 000/1.166 = 8 573.39 → Σ = 17 832.65

年份 3: 10 000/1.26 = 7 938.32 → Σ = 25 770.97

年份 4: 10 000/1.36 = 7 350.30 → Σ = 33 121.27

最后一年的分数

DPB = 3 + 4 229.03/7 350.30 = 3.575

答案

DPB = 3.575 年

折现回收期总是长于简单回收期（3 年）。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 33.31 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(30%) = 978.61

NPV(35%) = −471.47

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 30 + 5·978.61/(978.61 − (−471.47)) = 33.37%

精确: NPV(33.31%) = 0 → IRR = 33.31%

答案

IRR = 33.31%

29.正态分布

答案: P = 0.5245

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (22.4 − 32)/6 = −1.6

z₂ = (33.2 − 32)/6 = 0.2

中间面积

P = Φ(0.2) − Φ(−1.6) = 0.5793 − 0.0548 = 0.5245

答案

P = 0.5245

30.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

标准化

z = (0 − 4)/5 = −0.8

概率

P = 1 − Φ(−0.8) = 0.7881

答案

P = 0.7881

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