梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 5 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 2 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 RB，以向上为正。
L = 10 mP = 20 kN 位于 5 mM = 30 kN·m (逆时针) 位于 2 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。
L = 5 mP = 25 kN 位于 3.5 mw = 5 kN/m，从 2 到 4 m
RA = kN
3.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 20 kN ↓F: 25 kN ↓G: 40 kN ↓H: 30 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 10 kN水平荷载 = 10 kN ←
FBC = kN
5.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 3 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 10 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mM0 = 10 kN·m 顺时针，作用于 3 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mP = 60 kN 位于 2.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 6 mx = 2.5 m
Mx = kN·m
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 5 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 100 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 hreq。
w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)b = 100 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 80 mm
σcr = MPa
11.形心和惯性矩中等
槽形截面开口朝上：由宽 160 mm 的底板和两根竖直肢组成，总高 120 mm。底板和两肢厚度均为 18 mm。 求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
b = 160 mmh = 120 mmt = 18 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 30 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。
bf = 120 mmtf = 15 mmtw = 18 mmhw = 300 mmM = 30 kN·m
σ顶部 = MPa
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 6 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³
σ′ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 6 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³黏土: γsat = 18 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 3 m 的超固结黏土，Cc = 0.25，Cr = 0.06，e₀ = 0.85。其中点深度处的竖向有效应力为 75 kPa ，先期固结压力为 165 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 160 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 3 mCc = 0.25Cr = 0.06e0 = 0.85σ′0 = 75 kPaσ′p = 165 kPaΔσ = 160 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
在室内固结仪试验中，一个厚 20 mm、上下两面排水的黏土试样在 5 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 4 m 的土层。 它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。 现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？
hlab = 20 mmtlab = 5 minH = 4 m现场：双面排水
t = 天
17.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 4 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.3 m/s 的速度流过一根长 100 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 1.3 m/sL = 100 mD = 250 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 300 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.025 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 80 L/s？
Q = 80 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形抹面混凝土渠道底宽 1.5 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 1.2 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.005。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 1.5 my = 1.2 mz = 1.5n = 0.012S = 0.005
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一条底宽 3 m、边坡 1.5:1（水平:竖直）的梯形抹面混凝土渠道 须以 1.2 m 的水深均匀输送 12 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.012。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 12 m³/sb = 3 my = 1.2 mz = 1.5n = 0.012
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 38 m 的扬程输送 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 25.9 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 50 L/sH = 38 mPshaft = 25.9 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 13 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 80 L/sΔz = 13 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 8
H = m
25.货币的时间价值中等
你在 8 年后需要 €25 000。某账户年利率 5%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €25 0005% / 4n = 8
PV = €
26.货币的时间价值困难
一笔 €25 000 的贷款在 6 年内以等额月供偿还。年利率 6%，按月复利。求月供 A。
P = €25 0006% / 12N = 72
A = €
27.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €30 000。它在 3 年内每年年末产生 €11 000，之后可以以 €7 500 出售。资本成本为 12%。求净现值 NPV。
C0 = €30 000CF = €11 000S = €7 500n = 3r = 12%
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €6 000, €7 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −10 000CF1 = 6 000CF2 = 7 000
IRR = %
29.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 5 个的总质量超过 384.8 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 5> 384.8 kg
P =
30.正态分布困难
考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。
μ = 65σ = 10P = 10%
x = 分
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 7 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·10 − 20·5 + 30 = 0
RB = 70/10 = 7 kN
竖向平衡
RA = 20 − 7 = 13 kN
答案
RB = 7 kN
负的反力向下作用。
2.梁的支座反力
答案: RA = 11.5 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·2 = 10 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 25·3.5 + 5·2·3
RB = 117.5/5 = 23.5 kN
ΣFy = 0: RA = 35 − 23.5 = 11.5 kN
答案
RA = 11.5 kN
3.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 45.94 kN (T), BC: 58.12 kN (T), CD: 58.12 kN (T), DE: 40.31 kN (T), FG: 45.94 kN (C), GH: 40.31 kN (C), AF: 76.56 kN (C), HE: 67.19 kN (C), BF: 36.25 kN (T), CG: 0, DH: 23.75 kN (T), BG: 20.31 kN (C), DG: 29.69 kN (C)
答案
零杆: CG
4.桁架：节点法
答案: FBC = −4.714 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 10·4 − 10·2 → Cy = 3.333 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 3.333 = 6.667 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/2.828 = 0.7071, cos γ = 2/2.828 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3.333/0.7071 = −4.714 kN
答案
FBC = −4.714 kN (受压)
5.剪力和弯矩
答案: Mx = −6 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 10/5 = 2 kN (向上)
RA = −RB = −2 kN (向下)
在力偶左侧紧邻处截开
左侧部分只包含 RA。
Mx = RA·a = −2·3 = −6 kN·m
答案
Mx = −6 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 96.25 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·6 = 12 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 60·2.5 + 2·6·3
RB = 186/6 = 31 kN
ΣFy = 0: RA = 72 − 31 = 41 kN
在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 41·2.5 − 2·2.5·1.25 = 96.25 kN·m
答案
Mx = 96.25 kN·m
7.梁的挠度
答案: δmax = 4.117 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 5 N/mm, L = 2000 mm
EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·2000⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 4.117 mm
答案
δmax = 4.117 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 332.7 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/300 = 6000/300 = 20 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·20) = 3.068 × 10⁸ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·3.068 × 10⁸/100)1/3 = 332.7 mm
答案
hreq = 332.7 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 19.69 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2100² = 19687 N = 19.69 kN
答案
Pcr = 19.69 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 30.71 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·1500 = 3000 mm
KL/r = 3000/20 = 150
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/150² = 30.71 MPa
答案
σcr = 30.71 MPa
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 9.072 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成若干矩形
底板取全宽，两肢取其上方部分（高 h − t），这样没有重复计算。
基质: A1 = 160·18 = 2880 mm², y1 = 9 mm
两肢: A2 = 2·18·102 = 3672 mm², y2 = 18 + 102/2 = 69 mm
形心
ȳ = (2880·9 + 3672·69)/6552 = 42.63 mm
平行移轴定理
基质: 160·18³/12 + 2880·(9 − 42.63)² = 3.334 × 10⁶ mm⁴
两肢: 2·18·102³/12 + 3672·(69 − 42.63)² = 5.738 × 10⁶ mm⁴
Ix = 3.334 × 10⁶ + 5.738 × 10⁶
Ix = 9.072 × 10⁶ mm⁴ = 9.072 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 9.072 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: σ顶部 = 50.91 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 120·15 = 1800 mm², yf = 300 + 15/2 = 307.5 mm
腹板: Aw = 18·300 = 5400 mm², yw = 300/2 = 150 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (1800·307.5 + 5400·150)/7200 = 189.4 mm
平行移轴定理
翼缘: 120·15³/12 + 1800·(307.5 − 189.4)² = 2.515 × 10⁷ mm⁴
腹板: 18·300³/12 + 5400·(150 − 189.4)² = 4.887 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.515 × 10⁷ + 4.887 × 10⁷ = 7.402 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
顶边距中性轴 h − ȳ。
y = 315 − 189.4 = 125.6 mm
σ = M·y/I = 3 × 10⁷·125.6/7.402 × 10⁷ = 50.91 MPa
答案
σ顶部 = 50.91 MPa
13.土中有效应力
答案: σ′ = 72.57 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15.5·3 + 18.5·3 = 102 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·3 = 29.43 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 102 − 29.43 = 72.57 kPa
答案
σ′ = 72.57 kPa
14.土中有效应力
答案: σ′ = 74.57 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·3 + γsat,sand·1 + γsat,clay·2
σ = 16·3 + 20·1 + 18·2 = 104 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·3 = 29.43 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 104 − 29.43 = 74.57 kPa
答案
σ′ = 74.57 kPa
15.固结沉降
答案: S = 95.58 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 75 + 160 = 235 kPa > 165 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.06·3/(1 + 0.85)·log₁₀(165/75) + 0.25·3/(1 + 0.85)·log₁₀(235/165)
S = 33.32 + 62.26 = 95.58 mm
答案
S = 95.58 mm
16.固结沉降
答案: t = 138.9 天
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr,lab = 20/2 = 10 mm = 0.01 m
Hdr,field = 4/2 = 2 m
换算时间
t = Tv·Hdr²/cv，室内和现场的 T_v 和 cv 相同。
tfield = 5·(2/0.01)² = 200000 min
tfield = 200000/1440 = 138.9 天
答案
t = 138.9 天
17.静水压力
答案: F = 55.18 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.25·4.5 = 55.18 kN
答案
F = 55.18 kN
18.静水压力
答案: F = 226.6 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 880·9.81·5.25·5 = 226.6 kN
答案
F = 226.6 kN
19.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 6.084 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(100/0.25)·1.3²/(2·9.81) = 0.6202 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·0.6202 = 6084 Pa = 6.084 kPa
答案
Δp = 6.084 kPa
20.管道摩擦与水头损失
答案: Δz = 1.939 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s
V²/(2g) = 0.06529 m
损失系数
f·L/D = 0.025·300/0.3 = 25
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7
总水头损失
hf = 25·0.06529 = 1.632 m
hm = 4.7·0.06529 = 0.3068 m
Δz = hf + hm = 1.939 m
答案
Δz = 1.939 m
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 18.04 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (1.5 + 1.5·1.2)·1.2 = 3.96 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1.2·√(1 + 1.5²) = 5.827 m
R = A/P = 0.6796 m
速度
V = (1/0.012)·0.67962/3·0.0051/2 = 4.555 m/s
流量
Q = A·V = 3.96·4.555 = 18.04 m³/s
答案
Q = 18.04 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.0008614 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (3 + 1.5·1.2)·1.2 = 5.76 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1.2·√(1 + 1.5²) = 7.327 m
R = A/P = 0.7862 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.012·12/(5.76·0.8518) = 0.02935
S = 0.02935² = 0.0008614
答案
S = 0.0008614
即每千米下降 0.8614 m。
23.水泵与泵功率
答案: η = 71.97 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·38 = 18.64 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 18.64/25.9 = 71.97%
答案
η = 71.97%
24.水泵与泵功率
答案: H = 25.56 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0.3305 = 12.56 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 13 + 12.56 = 25.56 m
答案
H = 25.56 m
25.货币的时间价值
答案: PV = 16800 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.05/4 = 0.0125
N = 4·8 = 32
现值
PV = FV/(1 + i)N = 25 000/1.488 = €16 799.60
答案
PV = €16 799.60
26.货币的时间价值
答案: A = 414.3 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.06/12 = 0.005
N = 12·6 = 72
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.6983
A = 25 000·0.005/(1 − 0.6983) = €414.32
答案
A = €414.32
27.NPV 与 IRR
答案: NPV = 1758 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
每年现金流的现值
11 000·2.402 = 26 420.14
残值的现值
7 500/1.405 = 5 338.35
NPV
NPV = −30 000 + 26 420.14 + 5 338.35 = €1 758.50
答案
NPV = €1 758.50
28.NPV 与 IRR
答案: IRR = 18.88 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(15%) = 510.40
NPV(20%) = −138.89
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 15 + 5·510.40/(510.40 − (−138.89)) = 18.93%
精确: NPV(18.88%) = 0 → IRR = 18.88%
答案
IRR = 18.88%
29.正态分布
答案: P = 0.9332
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 425 kg, σT = 12·√5 = 26.83 kg
标准化
z = (384.8 − 425)/26.83 = −1.5
概率
P = 1 − Φ(−1.5) = 0.9332
答案
P = 0.9332
30.正态分布
答案: x = 52.18 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.1 → z = −1.282
换算回 x
x = 65 + −1.282·10 = 52.18 分
答案
x = 52.18 分
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