梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 6 mP1 = 10 kN 位于 1.5 mP2 = 20 kN 位于 3 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 4 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 5 m 处的集中荷载 P, 整个 CD 段上的均布荷载 w 以及距 A 为 3 m 处的集中荷载 Q。 求滚动支座处的反力 RD。
AC = 4 mAD = 8 mP = 20 kN 位于 5 mw = 6 kN/m，从 4 到 8 mQ = 70 kN 位于 3 m
RD = kN
3.桁架：节点法中等
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 15 kN
FBC = kN
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 10 kN →
FBC = kN
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mw = 12 kN/m，从 0 到 5 mx = 1 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 8 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 10 mP = 50 kN 位于 3 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 mx = 8 m
Mx = kN·m
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 6 kN/mL = 3 mE = 200 GPa (钢)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
简支梁在距支座 B 为 b = 1 m 处承受集中荷载 P。 求梁的最大挠度 δmax。
P = 15 kNb = 1 mL = 8 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 135 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 135 kNn = 2.5L = 3 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.形心和惯性矩中等
一块 150 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 150 mmd = 40 mm孔心: y = 60 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。
bf = 220 mmtf = 30 mmtw = 16 mmhw = 100 mmM = 15 kN·m
σ顶部 = MPa
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。
z = 10 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³
u = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 6.5 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³黏土: γsat = 18 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 4.5 m 的超固结黏土，Cc = 0.4，Cr = 0.02，e₀ = 0.65。其中点深度处的竖向有效应力为 55 kPa ，超固结比 OCR = 1.5。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 130 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 4.5 mCc = 0.4Cr = 0.02e0 = 0.65σ′0 = 55 kPaOCR = 1.5Δσ = 130 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
一层厚 4 m 的黏土，固结系数 cv = 1.2 m²/year。 它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。 平均固结度为 50% 时，时间因数 Tv = 0.197。该土层需要多少年 t 才能达到 50% 固结度？
H = 4 mcv = 1.2 m²/年份U = 50%Tv = 0.197双面排水
t = 年
17.静水压力中等
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2.5 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 1.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.8 m/s 的速度流过一根长 1000 m、内径 75 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 2.8 m/sL = 1000 mD = 75 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管道摩擦与水头损失困难
一根长 400 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.018）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 10）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 200 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 200 L/sL = 400 mD = 300 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10
H = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形清洁土渠渠道底宽 2 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 2.2 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.022，底坡 S = 0.005。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 2 my = 2.2 mz = 3n = 0.022S = 0.005
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一条底宽 1.5 m、边坡 1:1（水平:竖直）的梯形抹面混凝土渠道 须以 0.6 m 的水深均匀输送 3.1 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.012。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 3.1 m³/sb = 1.5 my = 0.6 mz = 1n = 0.012
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
一台效率为 70% 的水泵以 10 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 150 L/sH = 10 mη = 70%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 10 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 6（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 85%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 40 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 6η = 85%
Pshaft = kW
25.货币的时间价值中等
你在 8 年后需要 €40 000。某账户年利率 4%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €40 0004% / 12n = 8
PV = €
26.货币的时间价值困难
一笔 €15 000 的贷款在 7 年内按月等额偿还，年利率 3%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？
P = €15 0003% / 12N = 84
I = €
27.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €200 000。它在第一年年末产生 €18 000，之后现金流每年永久增长 4%。资本成本为 12%。求净现值 NPV。
C0 = €200 000CF1 = €18 000g = 4%r = 12%
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €50 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €21 500, €24 000, €29 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −50 000CF1 = 21 500CF2 = 24 000CF3 = 29 000
IRR = %
29.正态分布中等
螺栓的质量相互独立，服从均值 40 g、标准差 1.2 g 的正态分布。求其中 12 个的总质量低于 482.1 g 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 40 gσ = 1.2 gn = 12< 482.1 g
P =
30.正态分布困难
考试成绩 服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的后 15% 位于其左侧。求截断值 x。
μ = 65 分σ = 10 分15%
x = 分
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 12.5 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·6 = 10·1.5 + 20·3
RB = 75/6 = 12.5 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 12.5 = 17.5 kN
答案
RB = 12.5 kN
2.梁的支座反力
答案: RD = 17 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。
CD 段
铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。
W = 6·4 = 24 kN 位于 2 m ，量自 C
ΣMC = 0: RD·4 = 20·1 + 24·2
RD = 17 kN
VC = 44 − 17 = 27 kN
答案
RD = 17 kN
3.桁架：节点法
答案: FBC = −4.243 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 15·1 → Cy = 3 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 3 = 12 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 4/5.657 = 0.7071, cos γ = 4/5.657 = 0.7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −3/0.7071 = −4.243 kN
答案
FBC = −4.243 kN (受压)
4.桁架：节点法
答案: FBC = −27.3 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 40·1 + 10·2 → Cy = 7.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 7.5 = 32.5 kN
ΣFx = 0: Ax = −10 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/7.28 = 0.2747, cos γ = 7/7.28 = 0.9615
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −7.5/0.2747 = −27.3 kN
答案
FBC = −27.3 kN (受压)
5.剪力和弯矩
答案: Mx = 24 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 12·5·2.5
RB = 150/5 = 30 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 30 = 30 kN
在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 30·1 − 12·1·0.5 = 24 kN·m
答案
Mx = 24 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 46 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·3 + 2·10·5
RB = 250/10 = 25 kN
ΣFy = 0: RA = 70 − 25 = 45 kN
在 x = 8 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 45·8 − 50·(8 − 3) − 2·8·4 = 46 kN·m
答案
Mx = 46 kN·m
7.梁的挠度
答案: δmax = 3.722 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 6 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.7 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·6·3000⁴/(384·1.7 × 10¹²) = 3.722 mm
答案
δmax = 3.722 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 15.07 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 15000 N, b = 1000 mm, L = 8000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
最大值的位置
令较长段内的转角为零，即可得到该位置。
x = √((L² − b²)/3) = √((8000² − 1000²)/3) = 4583 mm
最大挠度
δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 15.07 mm
答案
δmax = 15.07 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 6.229 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·39761/2100² = 6229 N = 6.229 kN
答案
Pcr = 6.229 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 137.6 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·135000 = 337500 N
KL = 2·3000 = 6000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·337500·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 137.6 mm
答案
d = 137.6 mm
校核：长细比 KL/r 为 174.4，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 41.76 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (22500·75 − 1257·60)/(22500 − 1257) = 75.89 mm
完整的板关于 ȳ
150·150³/12 + 22500·−0.8873² = 42.21 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·40⁴/64 + 1257·−15.89² = 0.4428 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 41.76 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 41.76 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: σ顶部 = 57.12 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 220·30 = 6600 mm², yf = 100 + 30/2 = 115 mm
腹板: Aw = 16·100 = 1600 mm², yw = 100/2 = 50 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (6600·115 + 1600·50)/8200 = 102.3 mm
平行移轴定理
翼缘: 220·30³/12 + 6600·(115 − 102.3)² = 1.557 × 10⁶ mm⁴
腹板: 16·100³/12 + 1600·(50 − 102.3)² = 5.713 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.557 × 10⁶ + 5.713 × 10⁶ = 7.269 × 10⁶ mm⁴
弯曲应力
顶边距中性轴 h − ȳ。
y = 130 − 102.3 = 27.68 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·27.68/7.269 × 10⁶ = 57.12 MPa
答案
σ顶部 = 57.12 MPa
13.土中有效应力
答案: u = 68.67 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·7 = 68.67 kPa
答案
u = 68.67 kPa
14.土中有效应力
答案: σ′ = 67.85 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·2 + γsat,sand·1 + γsat,clay·3.5
σ = 15·2 + 19·1 + 18·3.5 = 112 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·4.5 = 44.15 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 112 − 44.15 = 67.85 kPa
答案
σ′ = 67.85 kPa
15.固结沉降
答案: S = 392.2 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
先期固结压力
σ′p = OCR·σ′0 = 1.5·55 = 82.5 kPa
与先期固结压力比较
σ′f = 55 + 130 = 185 kPa > 82.5 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.02·4.5/(1 + 0.65)·log₁₀(82.5/55) + 0.4·4.5/(1 + 0.65)·log₁₀(185/82.5)
S = 9.605 + 382.6 = 392.2 mm
答案
S = 392.2 mm
16.固结沉降
答案: t = 0.6567 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H/2 = 4/2 = 2 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.197·2²/1.2 = 0.6567 年
答案
t = 0.6567 年
17.静水压力
答案: F = 68.67 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·2 = 68.67 kN
答案
F = 68.67 kN
18.静水压力
答案: ycp = 2.042 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2·3 = 74.16 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2 + 0.25/(2·3) = 2.042 m
答案
ycp = 2.042 m
19.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 1045 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(1000/0.075)·2.8²/(2·9.81) = 106.6 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·106.6 = 1.045 × 10⁶ Pa = 1045 kPa
答案
Δp = 1045 kPa
20.管道摩擦与水头损失
答案: H = 14.73 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.2/0.07069 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
损失系数
f·L/D = 0.018·400/0.3 = 24
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 = 11.1
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 24 + 11.1)·0.408 = 14.73 m
答案
H = 14.73 m
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 68.25 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (2 + 3·2.2)·2.2 = 18.92 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·2.2·√(1 + 3²) = 15.91 m
R = A/P = 1.189 m
速度
V = (1/0.022)·1.1892/3·0.0051/2 = 3.607 m/s
流量
Q = A·V = 18.92·3.607 = 68.25 m³/s
答案
Q = 68.25 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.003017 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (1.5 + 1·0.6)·0.6 = 1.26 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·0.6·√(1 + 1²) = 3.197 m
R = A/P = 0.3941 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.012·3.1/(1.26·0.5375) = 0.05492
S = 0.05492² = 0.003017
答案
S = 0.003017
即每千米下降 3.017 m。
23.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 21.02 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·10 = 14.71 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 14.71/0.7 = 21.02 kW
答案
Pshaft = 21.02 kW
24.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 7.992 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (22 + 6)·0.2611 = 7.312 m
泵扬程
H = Δz + hL = 10 + 7.312 = 17.31 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.04·17.31/0.85 = 7.992 kW
答案
Pshaft = 7.992 kW
25.货币的时间价值
答案: PV = 29061 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.04/12 = 0.003333
N = 12·8 = 96
现值
PV = FV/(1 + i)N = 40 000/1.376 = €29 061.42
答案
PV = €29 061.42
26.货币的时间价值
答案: I = 1649 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.0025, N = 84
A = 15 000·0.0025/(1 − (1 + 0.0025)−84) = €198.20
利息总额
I = N·A − P = 84·198.2 − 15 000 = €1 648.76
答案
I = €1 648.76
27.NPV 与 IRR
答案: NPV = 25000 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
现金流的价值
PV = 18 000/(0.12 − 0.04) = 225 000.00
NPV
NPV = 225 000.00 − 200 000 = €25 000.00
答案
NPV = €25 000.00
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
28.NPV 与 IRR
答案: IRR = 21.65 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 1 365.74
NPV(25%) = −2 592.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·1 365.74/(1 365.74 − (−2 592.00)) = 21.73%
精确: NPV(21.65%) = 0 → IRR = 21.65%
答案
IRR = 21.65%
29.正态分布
答案: P = 0.695
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 480 g, σT = 1.2·√12 = 4.157 g
标准化
z = (482.1 − 480)/4.157 = 0.51
概率
P = Φ(0.51) = 0.695
答案
P = 0.695
30.正态分布
答案: x = 54.6 分
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.15
由表得到的 z
z ≈ −1.04
回到原来的单位
x = 65 − 1.04·10 = 54.6 分
答案
x = 54.6 分
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