FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 3.5 m 处承受集中荷载 P。求墙处的竖向反力 R_A。

L = 6 mP = 70 kN 位于 3.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 6 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 5 m 处的集中荷载 P。求滚动支座处的反力 R_D。

AC = 3 mAD = 8 mP = 15 kN 位于 5 m

R_D = kN

3.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 10 kN

F_AC = kN

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 10 kN →

F_BC = kN

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

20 kN @ 4 m10 kN @ 10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 4 mw = 24 kN/m，从 1 到 3 m

x₀ = m

7.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 10 kN/mL = 1.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 57 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 6 mw = 4 kN/m

R_B = kN

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 280 mmt_f = 10 mmt_w = 20 mmh_w = 240 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 300 mmt_f = 25 mmt_w = 16 mmh_w = 300 mmM = 20 kN·m

σ_顶部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 4 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 6.5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 6.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.4，C_r = 0.03，e₀ = 1.1。其中点深度处的竖向有效应力为 45 kPa ，超固结比 OCR = 2。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 150 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 6.5 mC_c = 0.4C_r = 0.03e₀ = 1.1σ′₀ = 45 kPaOCR = 2Δσ = 150 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 19 mm、上下两面排水的黏土试样在 4 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 10 m 的土层。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 19 mmt_lab = 4 minH = 10 m现场：双面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2 mb = 2 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.8 m/s 的速度流过一根长 300 m、内径 300 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.8 m/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 20 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 20 mL = 100 mD = 300 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 2K_exit = 1.0

Q = L/s

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砾石渠道底宽 4.5 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 2.2 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.025，底坡 S = 0.005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 4.5 my = 2.2 mz = 1.5n = 0.025S = 0.005

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 1 m、边坡 1:1（水平:竖直）的梯形砾石渠道须以 1.3 m 的水深均匀输送 2.8 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 2.8 m³/sb = 1 my = 1.3 mz = 1n = 0.025

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 10 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 75%，驱动它的电动机效率为 94%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 30 L/sH = 10 mη_pump = 75%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 5 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 5 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 5

H = m

25.货币的时间价值中等

你在 2 年后需要 €5 000。某账户年利率 4.8%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0004.8% / 12n = 2

PV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €8 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 2.4%，按月复利。求月供 A。

P = €8 0002.4% / 12N = 36

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €30 000，在 5 年内每年年末回报 €11 000。资本成本为 12%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 11 000CF₃ = 11 000CF₄ = 11 000CF₅ = 11 000

DPB = 年

28.NPV 与 IRR困难

一笔 €50 000 的投资在 4 年内每年年末回报 €16 500。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €50 000CF = €16 500n = 4

IRR = %

29.正态分布中等

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 440 和 574 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 500σ = 40x₁ = 440x₂ = 574

P =

30.正态分布困难

袋装重量服从正态分布，均值为 250 g，标准差为 5 g。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 250σ = 5P = 80%

x = g

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 94 kN

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 4·6 = 24 kN, x̄ = 3 m

竖向平衡

R_A = P + W = 70 + 24 = 94 kN

答案

R_A = 94 kN

2.梁的支座反力

答案: R_D = 6 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣM_C = 0: R_D·5 = 15·2

R_D = 6 kN

V_C = 15 − 6 = 9 kN

答案

R_D = 6 kN

3.桁架：节点法

答案: F_AC = 4.444 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·4 → C_y = 6.667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 6.667 = 3.333 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −6.667/0.8321 = −8.012 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−8.012)·0.5547 = 4.444 kN

答案

F_AC = 4.444 kN (受拉)

4.桁架：节点法

答案: F_BC = −39.13 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·6 + 10·4 → C_y = 35 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 35 = 5 kN

ΣF_x = 0: A_x = −10 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −35/0.8944 = −39.13 kN

答案

F_BC = −39.13 kN (受压)

5.剪力和弯矩

答案: C (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 15 kN, R₂ = 15 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 30, M_C = 60 kN·m, M_D = 50, M_E = 40, M_F = 30, M_G = 0

答案

标记点 C: M_C = 60 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: x₀ = 2 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 24·2 = 48 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 24·2·2

R_B = 96/4 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 24/24 = 2 m

答案

x₀ = 2 m

7.梁的挠度

答案: δ = 10.09 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 1500 mm

EI = 6.27 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 10·1500⁴/(8·6.27 × 10¹¹) = 10.09 mm

答案

δ = 10.09 mm

8.梁的挠度

答案: R_B = 9 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·4·6/8 = 9 kN

答案

R_B = 9 kN

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 110.2 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 1·6000 = 6000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/6000² = 110245 N = 110.2 kN

答案

P_cr = 110.2 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 34.27 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

回转半径和长细比

A = 490.9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490.9) = 6.25 mm

KL = 1·1500 = 1500 mm

KL/r = 1500/6.25 = 240

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/240² = 34.27 MPa

答案

σ_cr = 34.27 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 50.69 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 280·10 = 2800 mm², y_f = 240 + 10/2 = 245 mm

腹板: A_w = 20·240 = 4800 mm², y_w = 240/2 = 120 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2800·245 + 4800·120)/7600 = 166.1 mm

平行移轴定理

翼缘: 280·10³/12 + 2800·(245 − 166.1)² = 1.747 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·240³/12 + 4800·(120 − 166.1)² = 3.322 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.747 × 10⁷ + 3.322 × 10⁷ = 5.069 × 10⁷ mm⁴ = 50.69 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 50.69 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 13.36 MPa

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 300·25 = 7500 mm², y_f = 300 + 25/2 = 312.5 mm

腹板: A_w = 16·300 = 4800 mm², y_w = 300/2 = 150 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (7500·312.5 + 4800·150)/12300 = 249.1 mm

平行移轴定理

翼缘: 300·25³/12 + 7500·(312.5 − 249.1)² = 3.055 × 10⁷ mm⁴

腹板: 16·300³/12 + 4800·(150 − 249.1)² = 8.313 × 10⁷ mm⁴

I_x = 3.055 × 10⁷ + 8.313 × 10⁷ = 1.137 × 10⁸ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 325 − 249.1 = 75.91 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·75.91/1.137 × 10⁸ = 13.36 MPa

答案

σ_顶部 = 13.36 MPa

13.土中有效应力

答案: σ′ = 54.38 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·2 + 20·2 = 74 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 74 − 19.62 = 54.38 kPa

答案

σ′ = 54.38 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 67.79 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2.5

σ = 17·1 + 19.5·3 + 18.5·2.5 = 121.8 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5.5 = 53.96 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 121.8 − 53.96 = 67.79 kPa

答案

σ′ = 67.79 kPa

15.固结沉降

答案: S = 443.7 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2·45 = 90 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 45 + 150 = 195 kPa > 90 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.03·6.5/(1 + 1.1)·log₁₀(90/45) + 0.4·6.5/(1 + 1.1)·log₁₀(195/90)

S = 27.95 + 415.7 = 443.7 mm

答案

S = 443.7 mm

16.固结沉降

答案: t = 769.5 天

排水路径

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 10/2 = 5 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 4·(5/0.0095)² = 1.108 × 10⁶ min

t_field = 1.108 × 10⁶/1440 = 769.5 天

答案

t = 769.5 天

17.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN

18.静水压力

答案: F = 247.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·5·4 = 247.2 kN

答案

F = 247.2 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 109.8 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(300/0.3)·2.8²/(2·9.81) = 11.19 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·11.19 = 109760 Pa = 109.8 kPa

答案

Δp = 109.8 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 403.6 L/s

损失系数

f·L/D = 0.022·100/0.3 = 7.333

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 2 + 1.0 = 4.7

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

20 = (7.333 + 4.7)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·20/12.03) = 5.71 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.71·0.07069 = 0.4036 m³/s = 403.6 L/s

答案

Q = 403.6 L/s

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 60.17 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4.5 + 1.5·2.2)·2.2 = 17.16 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4.5 + 2·2.2·√(1 + 1.5²) = 12.43 m

R = A/P = 1.38 m

速度

V = (1/0.025)·1.38^2/3·0.005^1/2 = 3.506 m/s

流量

Q = A·V = 17.16·3.506 = 60.17 m³/s

答案

Q = 60.17 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0009952 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1 + 1·1.3)·1.3 = 2.99 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·1.3·√(1 + 1²) = 4.677 m

R = A/P = 0.6393 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·2.8/(2.99·0.7421) = 0.03155

S = 0.03155² = 0.0009952

答案

S = 0.0009952

即每千米下降 0.9952 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 4.174 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·10 = 2.943 kW

轴功率

P_shaft = 2.943/0.75 = 3.924 kW

电功率

P_el = 3.924/0.94 = 4.174 kW

答案

P_el = 4.174 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 7.969 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.03142 = 1.592 m/s

V²/(2g) = 0.1291 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 5)·0.1291 = 2.969 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 5 + 2.969 = 7.969 m

答案

H = 7.969 m

25.货币的时间价值

答案: PV = 4543 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·2 = 24

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.101 = €4 543.19

答案

PV = €4 543.19

26.货币的时间价值

答案: A = 230.5 €

月利率和还款期数

i = 0.024/12 = 0.002

N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.9306

A = 8 000·0.002/(1 − 0.9306) = €230.54

答案

A = €230.54

27.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.512 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 11 000/1.12 = 9 821.43 → Σ = 9 821.43

年份 2: 11 000/1.254 = 8 769.13 → Σ = 18 590.56

年份 3: 11 000/1.405 = 7 829.58 → Σ = 26 420.14

年份 4: 11 000/1.574 = 6 990.70 → Σ = 33 410.84

最后一年的分数

DPB = 3 + 3 579.86/6 990.70 = 3.512

答案

DPB = 3.512 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.727 年）。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 12.11 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻⁴)/i = 50 000/16 500 = 3.03

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 12%: 3.037

i = 13%: 2.974

IRR = 12.11%

答案

IRR = 12.11%

29.正态分布

答案: P = 0.901

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (440 − 500)/40 = −1.5

z₂ = (574 − 500)/40 = 1.85

中间面积

P = Φ(1.85) − Φ(−1.5) = 0.9678 − 0.06681 = 0.901

答案

P = 0.901

30.正态分布

答案: x = 254.2 g

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 250 + 0.8416·5 = 254.21 g

答案

x = 254.21 g

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