FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 2.5 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 3 m 处承受一个顺时针力偶 M。求竖向反力 R_B，以向上为正。

L = 4 mP = 55 kN 位于 2.5 mM = 20 kN·m (顺时针) 位于 3 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP = 30 kN 位于 1.5 mw = 6 kN/m，从 1 到 2 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 60 kN

F_AC = kN

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓F: 20 kN →G: 10 kN ↓H: 10 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P₁，在 C 处承受集中荷载 P₂。求支座 B 左侧紧邻处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 7 mP₁ = 45 kN 位于 2 mP₂ = 25 kN 位于 7 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

25 kN @ 0 m35 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 10 kN/mL = 2.5 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 12 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (结构木材)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 70 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 200 mmd = 40 mm孔心: y = 70 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 240 mm 的板有一个宽 60 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 156 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 240 mm切口: 60 × 30 mm孔心: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 4 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 7 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³黏土: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 6.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.25，C_r = 0.04，e₀ = 0.95。其中点深度处的竖向有效应力为 70 kPa ，先期固结压力为 150 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 40 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 6.5 mC_c = 0.25C_r = 0.04e₀ = 0.95σ′₀ = 70 kPaσ′_p = 150 kPaΔσ = 40 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 4.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 2 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 50% 时，时间因数 T_v = 0.197。该土层需要多少年 t 才能达到 50% 固结度？

H = 4.5 mc_v = 2 m²/年份U = 50%T_v = 0.197双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 2.9 m/s 的平均流速流过一根长 300 m、内径 250 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2.9 m/sL = 300 mD = 250 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 9 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 9 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1.0

Q = L/s

21.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 750 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 750 mmn = 0.013S = 0.001

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 200 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 1.2 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 200 mmn = 0.013V = 1.2 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 72 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 17.2 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 20 L/sH = 72 mP_shaft = 17.2 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 17 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 82%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 80 L/sΔz = 17 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 5η = 82%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

你在 10 年后需要 €5 000。某账户年利率 2%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €5 0002% / 12n = 10

PV = €

26.货币的时间价值困难

你希望在 6 年后得到 €20 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 7.2%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €20 0007.2% / 12N = 72

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€20 000, €15 000, €15 000, €11 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −45 000CF₁ = 20 000CF₂ = 15 000CF₃ = 15 000CF₄ = 11 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €17 500, €18 500, €11 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 500CF₂ = 18 500CF₃ = 11 500

IRR = %

29.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.6480。求 z，保留两位小数。

A = 0.6480

z =

30.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 178σ = 7P = 80%

x = cm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 39.38 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·4 − 55·2.5 − 20 = 0

R_B = 157.5/4 = 39.38 kN

竖向平衡

R_A = 55 − 39.38 = 15.63 kN

答案

R_B = 39.38 kN

负的反力向下作用。

2.梁的支座反力

答案: R_A = 22.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·1 = 6 kN，作用于 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·1.5 + 6·1·1.5

R_B = 54/4 = 13.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 13.5 = 22.5 kN

答案

R_A = 22.5 kN

3.桁架：节点法

答案: F_AC = 18 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 60·3 → C_y = 36 kN

ΣF_y = 0: A_y = 60 − 36 = 24 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.472 = 0.8944, cos γ = 2/4.472 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −36/0.8944 = −40.25 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−40.25)·0.4472 = 18 kN

答案

F_AC = 18 kN (受拉)

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 31.87 kN (T), BC: 28.75 kN (T), CD: 28.75 kN (T), DE: 18.12 kN (T), FG: 31.87 kN (C), GH: 18.12 kN (C), AF: 19.79 kN (C), HE: 30.21 kN (C), BF: 15.83 kN (T), CG: 0, DH: 14.17 kN (T), BG: 5.208 kN (T), DG: 17.71 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: V_x = −19.17 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·2 + 25·7

R_B = 265/6 = 44.17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 44.17 = 25.83 kN

在 B 左侧紧邻处截开，保留左侧部分

V_x = R_A − P₁ = 25.83 − 45 = −19.17 kN

答案

V_x = −19.17 kN

6.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 10 kN, R₂ = 50 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −25, M_C = −40, M_D = −55, M_E = −70 kN·m, M_F = −35, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −70 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ = 30.33 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 2500 mm

EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 10·2500⁴/(8·1.61 × 10¹²) = 30.33 mm

答案

δ = 30.33 mm

8.梁的挠度

答案: I_req = 40.91 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·2000⁴/(384·11000·5.556) = 4.091 × 10⁷ mm⁴

I_req = 40.91 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 40.91 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 506.2 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2800² = 506225 N = 506.2 kN

答案

P_cr = 506.2 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 179 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

回转半径和长细比

A = 5027 mm²

r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/20 = 105

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/105² = 179 MPa

答案

σ_cr = 179 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 98.69 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·100 − 1257·70)/(30000 − 1257) = 101.3 mm

完整的板关于 ȳ

150·200³/12 + 30000·−1.312² = 100.1 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·40⁴/64 + 1257·−31.31² = 1.358 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 98.69 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 98.69 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 112.5 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (24000·120 − 1800·156)/(24000 − 1800) = 117.1 mm

完整的板关于 ȳ

100·240³/12 + 24000·2.919² = 115.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

60·30³/12 + 1800·38.92² = 2.861 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 112.5 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 112.5 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ′ = 57.19 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·3 + 19·1 = 67 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·1 = 9.81 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 67 − 9.81 = 57.19 kPa

答案

σ′ = 57.19 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 86.07 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2

σ = 15.5·4 + 18.5·1 + 17.5·2 = 115.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 115.5 − 29.43 = 86.07 kPa

答案

σ′ = 86.07 kPa

15.固结沉降

答案: S = 26.17 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 70 + 40 = 110 kPa ≤ 150 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.04·6.5/(1 + 0.95)·log₁₀(110/70) = 26.17 mm

答案

S = 26.17 mm

16.固结沉降

答案: t = 0.4987 年

排水路径

H_dr = H/2 = 4.5/2 = 2.25 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.197·2.25²/2 = 0.4987 年

答案

t = 0.4987 年

17.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN

18.静水压力

答案: F = 222.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 3/2 = 4 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·4·4.5 = 222.5 kN

答案

F = 222.5 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 9.259 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.9²/(2·9.81) = 0.4286 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(300/0.25)·2.9²/(2·9.81) = 9.259 m

答案

h_f = 9.259 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 83.33 L/s

损失系数

f·L/D = 0.018·200/0.2 = 18

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

9 = (18 + 7.1)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·9/25.1) = 2.652 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 2.652·0.03142 = 0.08333 m³/s = 83.33 L/s

答案

Q = 83.33 L/s

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.352 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.4418 m², R = D/4 = 0.1875 m

速度

V = (1/0.013)·0.1875^2/3·0.001^1/2 = 0.7969 m/s

流量

Q = A·V = 0.4418·0.7969 = 0.352 m³/s

答案

Q = 0.352 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.01321 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.2/4 = 0.05 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·1.2/0.1357)² = 0.01321

答案

S = 0.01321

即每千米下降 13.21 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 82.13 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·72 = 14.13 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 14.13/17.2 = 82.13%

答案

η = 82.13%

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 30.5 kW

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (40 + 5)·0.3305 = 14.87 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 17 + 14.87 = 31.87 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.08·31.87/0.82 = 30.5 kW

答案

P_shaft = 30.5 kW

25.货币的时间价值

答案: PV = 4094 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/12 = 0.001667

N = 12·10 = 120

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 5 000/1.221 = €4 094.34

答案

PV = €4 094.34

26.货币的时间价值

答案: A = 222.9 €

月利率和存款次数

i = 0.07200000000000001/12 = 0.006

N = 12·6 = 72

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0.006/(1.538 − 1) = €222.90

答案

A = €222.90

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 2482 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 20 000/1.12 = 17 857.14

CF₂/(1 + 0.12)² = 15 000/1.254 = 11 957.91

CF₃/(1 + 0.12)³ = 15 000/1.405 = 10 676.70

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 11 000/1.574 = 6 990.70

相加

NPV = €2 482.45

答案

NPV = €2 482.45

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 43.74 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(40%) = 1 129.74

NPV(45%) = −359.79

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 40 + 5·1 129.74/(1 129.74 − (−359.79)) = 43.79%

精确: NPV(43.74%) = 0 → IRR = 43.74%

答案

IRR = 43.74%

29.正态分布

答案: z = −0.38

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.6480 = 0.3520

反向查 z 表

在表中找到 0.3520，读出 z。

z = −0.38

答案

z = −0.38

30.正态分布

答案: x = 183.9 cm

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 178 + 0.8416·7 = 183.89 cm

答案

x = 183.89 cm

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