FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的 15 kN/m 减小到 B 处的零。距 A 为 2 m 处还作用一个集中荷载 P。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mw₀ = 15 kN/mP = 75 kN 位于 2 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 7 m 处的集中荷载 P 以及距 A 为 2 m 处的集中荷载 Q。求滚动支座处的反力 R_D。

AC = 3 mAD = 8 mP = 30 kN 位于 7 mQ = 50 kN 位于 2 m

R_D = kN

3.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 50 kN

F_AB = kN

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 40 kN ↓C: 40 kN ↓F: 35 kN ↓G: 35 kN ↓H: 10 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

15 kN @ 4 m6 kN/m, 2–6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

求距支座 A 为 x = 2 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mP = 40 kN 位于 2 mw = 3 kN/m，从 0 到 10 mx = 2 m

M_x = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 4 kN/mL = 2.5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

简支梁在距支座 B 为 b = 2.5 m 处承受集中荷载 P。求跨中挠度 δ_mid。

P = 14 kNb = 2.5 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_mid = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 110 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 110 kNn = 2L = 1 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 140 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 200 mmd = 60 mm孔心: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 200 mm 的板有一个宽 60 mm、高 20 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 140 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 200 mm切口: 60 × 20 mm孔心: y = 140 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 3 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 6 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³黏土: γ_sat = 17 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 2.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.45，C_r = 0.05，e₀ = 1.2。其中点深度处的竖向有效应力为 100 kPa ，先期固结压力为 190 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 190 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 2.5 mC_c = 0.45C_r = 0.05e₀ = 1.2σ′₀ = 100 kPaσ′_p = 190 kPaΔσ = 190 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 6.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 1.2 m²/year。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。平均固结度为 80% 时，时间因数 T_v = 0.567。该土层需要多少年 t 才能达到 80% 固结度？

H = 6.5 mc_v = 1.2 m²/年份U = 80%T_v = 0.567单面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 3 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 3 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.8 m/s 的速度流过一根长 300 m、内径 300 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.8 m/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 100 m、内径 150 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 0.2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 40 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 40 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 0.2

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 600 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 600 mmn = 0.013S = 0.0015

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 6 m 的矩形砾石渠道须以 2.4 m 的水深均匀输送 31 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 31 m³/sb = 6 my = 2.4 mn = 0.025

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 38 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 78%，驱动它的电动机效率为 94%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 20 L/sH = 38 mη_pump = 78%η_motor = 94%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 16 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 75 L/sΔz = 16 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 8

H = m

25.货币的时间价值中等

一张信用卡的名义年利率为 17.5%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 17.5%m = 2

EAR = %

26.货币的时间价值困难

一笔 €30 000 的贷款在 6 年内按月等额偿还，年利率 6%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €30 0006% / 12N = 72

I = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €30 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€11 000, €7 000, €14 000, €7 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −30 000CF₁ = 11 000CF₂ = 7 000CF₃ = 14 000CF₄ = 7 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €15 000, €19 500, €28 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 15 000CF₂ = 19 500CF₃ = 28 500

IRR = %

29.正态分布中等

X 服从均值 120 mm、标准差 0.3 mm 的正态分布；Y 独立，服从均值 80 mm、标准差 0.4 mm 的正态分布。求 X + Y 大于 199.6 mm 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 120, σ_X = 0.3μ_Y = 80, σ_Y = 0.4X + Y > 199.6 mm

P =

30.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 25% 的数据低于它（第 25 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 25%

x = min

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 38.75 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·15·8 = 60 kN

x̄ = L/3 = 2.667 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 60·2.667 + 75·2

R_B = 38.75 kN

R_A = 135 − 38.75 = 96.25 kN

答案

R_B = 38.75 kN

2.梁的支座反力

答案: R_D = 24 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。

CD 段

铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。

ΣM_C = 0: R_D·5 = 30·4

R_D = 24 kN

V_C = 30 − 24 = 6 kN

答案

R_D = 24 kN

3.桁架：节点法

答案: F_AB = −25 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 50·3 → C_y = 30 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 30 = 20 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/5 = 0.8

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −20/0.8 = −25 kN

答案

F_AB = −25 kN (受压)

4.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 117.5 kN (T), BC: 117.5 kN (T), CD: 72.5 kN (T), DE: 72.5 kN (T), FG: 155 kN (C), GH: 155 kN (C), AF: 159.4 kN (C), HE: 90.63 kN (C), BF: 40 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 34.38 kN (T), HC: 90.63 kN (T)

答案

零杆: DH

5.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 13 kN, R₂ = 26 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 13, M_C = 26, M_D = 36, M_E = 40 kN·m, M_F = 23, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 40 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_x = 88 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·10 = 30 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 40·2 + 3·10·5

R_B = 230/10 = 23 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 23 = 47 kN

在 x = 2 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 47·2 − 3·2·1 = 88 kN·m

答案

M_x = 88 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_max = 8.042 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 4 N/mm, L = 2500 mm

EI = 2.53 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·4·2500⁴/(384·2.53 × 10¹¹) = 8.042 mm

答案

δ_max = 8.042 mm

8.梁的挠度

答案: δ_mid = 7.205 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 14000 N, b = 2500 mm, L = 6000 mm

EI = 8.4 × 10¹² N·mm²

跨中挠度

δ_mid = Pb(3L² − 4b²)/(48EI) = 14000·2500·(3·6000² − 4·2500²)/(48·8.4 × 10¹²) = 7.205 mm

答案

δ_mid = 7.205 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 78.96 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

计算长度

KL = 1·1500 = 1500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1500² = 78957 N = 78.96 kN

答案

P_cr = 78.96 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 54.9 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2·110000 = 220000 N

KL = 2·1000 = 2000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·220000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 54.9 mm

答案

d = 54.9 mm

校核：长细比 KL/r 为 145.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 74.24 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (24000·100 − 2827·140)/(24000 − 2827) = 94.66 mm

完整的板关于 ȳ

120·200³/12 + 24000·5.342² = 80.68 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·60⁴/64 + 2827·45.34² = 6.449 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 74.24 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 74.24 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 64.58 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (20000·100 − 1200·140)/(20000 − 1200) = 97.45 mm

完整的板关于 ȳ

100·200³/12 + 20000·2.553² = 66.8 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

60·20³/12 + 1200·42.55² = 2.213 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 64.58 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 64.58 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ′ = 33.88 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·1 + 19·2 = 53.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 53.5 − 19.62 = 33.88 kPa

答案

σ′ = 33.88 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 61.95 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2

σ = 17·1 + 20·3 + 17·2 = 111 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5 = 49.05 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 111 − 49.05 = 61.95 kPa

答案

σ′ = 61.95 kPa

15.固结沉降

答案: S = 109.7 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 100 + 190 = 290 kPa > 190 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.05·2.5/(1 + 1.2)·log₁₀(190/100) + 0.45·2.5/(1 + 1.2)·log₁₀(290/190)

S = 15.84 + 93.91 = 109.7 mm

答案

S = 109.7 mm

16.固结沉降

答案: t = 19.96 年

排水路径

H_dr = H = 6.5 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.567·6.5²/1.2 = 19.96 年

答案

t = 19.96 年

17.静水压力

答案: F = 110.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·3 = 110.4 kN

答案

F = 110.4 kN

18.静水压力

答案: F = 427.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·5.5·9 = 427.3 kN

答案

F = 427.3 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 78.4 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(300/0.3)·2.8²/(2·9.81) = 7.992 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·7.992 = 78400 Pa = 78.4 kPa

答案

Δp = 78.4 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 3.29 m

速度

V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s

V²/(2g) = 0.2611 m

损失系数

f·L/D = 0.015·100/0.15 = 10

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 0.2 = 1.6

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 10 + 1.6)·0.2611 = 3.29 m

答案

H = 3.29 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.2378 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.2827 m², R = D/4 = 0.15 m

速度

V = (1/0.013)·0.15^2/3·0.0015^1/2 = 0.8411 m/s

流量

Q = A·V = 0.2827·0.8411 = 0.2378 m³/s

答案

Q = 0.2378 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001974 m/m

几何参数

A = b·y = 6·2.4 = 14.4 m²

P = b + 2y = 6 + 2·2.4 = 10.8 m

R = A/P = 1.333 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·31/(14.4·1.211) = 0.04443

S = 0.04443² = 0.001974

答案

S = 0.001974

即每千米下降 1.974 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 10.17 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·38 = 7.456 kW

轴功率

P_shaft = 7.456/0.78 = 9.558 kW

电功率

P_el = 9.558/0.94 = 10.17 kW

答案

P_el = 10.17 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 27.04 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 8)·0.2905 = 11.04 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 16 + 11.04 = 27.04 m

答案

H = 27.04 m

25.货币的时间价值

答案: EAR = 18.27 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.175/2 = 0.0875

复利一年

EAR = (1 + 0.0875)² − 1 = 1.183 − 1 = 18.27%

答案

EAR = 18.27%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

26.货币的时间价值

答案: I = 5797 €

月供

i = 0.005, N = 72

A = 30 000·0.005/(1 − (1 + 0.005)⁻⁷²) = €497.19

利息总额

I = N·A − P = 72·497.2 − 30 000 = €5 797.44

答案

I = €5 797.44

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 1753 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 11 000/1.09 = 10 091.74

CF₂/(1 + 0.09)² = 7 000/1.188 = 5 891.76

CF₃/(1 + 0.09)³ = 14 000/1.295 = 10 810.57

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 7 000/1.412 = 4 958.98

相加

NPV = €1 753.05

答案

NPV = €1 753.05

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 23.59 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 2 534.72

NPV(25%) = −928.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·2 534.72/(2 534.72 − (−928.00)) = 23.66%

精确: NPV(23.59%) = 0 → IRR = 23.59%

答案

IRR = 23.59%

29.正态分布

答案: P = 0.7881

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 200 mm, σ = √(0.3² + 0.4²) = 0.5 mm

标准化

z = (199.6 − 200)/0.5 = −0.8

上尾

P = 1 − Φ(−0.8) = 1 − 0.2119 = 0.7881

答案

P = 0.7881

30.正态分布

答案: x = 27.95 min

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.25 → z = −0.6745

换算回 x

x = 32 + −0.6745·6 = 27.95 min

答案

x = 27.95 min

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