FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

土中有效应力

总应力
σ = Σγi·hi
孔隙水压力
u = γw·(z − zw)
有效应力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最终应力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
超固结，σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
超固结比
OCR = σ′p/σ′0
固结时间
t = Tv·Hdr²/cv
排水路径
Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
水力半径
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形
A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流
R = D/4
所需坡度
S = (n·Q/(A·R2/3))²

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数
z = (x − μ)/σ
小于 x
P(X < x) = Φ(z)
大于 x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间
Φ(z2) − Φ(z1)
百分位数
x = μ + z·σ

方法

  1. 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
  3. 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
  4. 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等
w = 6 kN/mP = 10 kNABMA​ = ?2 m2 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 2 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 4 mP = 10 kN 位于 2 mw = 6 kN/m，从 0 到 4 m
MA = kN·m
2.梁的支座反力困难
w0​ = 10 kN/mP = 60 kNABMA​ = ?7 m1 m

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 10 kN/m；另在距墙 7 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。

L = 8 mw0 = 10 kN/mP = 60 kN 位于 7 m
MA = kN·m
3.桁架：节点法中等
ABBCACACB40 kN6 m5 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 4 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 40 kN
FBC = kN
4.桁架：节点法困难
ABCDEFGH15 kN40 kN25 kN10 kN4 × 3 m4 m

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓F: 40 kN →G: 25 kN ↓H: 10 kN ↓
  1. 1杆件 AB
  2. 2杆件 BC
  3. 3杆件 CD
  4. 4杆件 DE
  5. 5杆件 FG
  6. 6杆件 GH
  7. 7杆件 AF
  8. 8杆件 HE
  9. 9杆件 BF
  10. 10杆件 CG
  11. 11杆件 DH
  12. 12杆件 FC
  13. 13杆件 HC
5.剪力和弯矩中等
w = 5 kN/mAB截面0.5 m4.5 m

求距支座 A 为 x = 0.5 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 5 kN/m，从 0 到 5 mx = 0.5 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
45 kN55 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

45 kN @ 6 m55 kN @ 1 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
7.梁的挠度中等
w = 15 kN/mδL = 3 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 15 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
P = 12 kNP = 12 kNABδ1.333 m1.334 m1.333 m

简支梁在三分点处（距每个支座 L/3）承受两个相等的集中荷载 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。

P = 12 kNL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 1.5 m20 × 100 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 55 kNL = 1.5 md = ?横截面

一根长为 L 的铝实心圆柱，底部固定、顶部自由。它需承受 55 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 55 kNn = 2L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)
d = mm
11.形心和惯性矩中等
100 mm300 mm105 mmØ30xIx​ = ?

一块 100 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。

b = 100 mmh = 300 mmd = 30 mm孔心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
1002510014xM = 40 kN·m尺寸单位为 mm

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 40 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。

bf = 100 mmtf = 25 mmtw = 14 mmhw = 100 mmM = 40 kN·m
σ顶部 = MPa
13.土中有效应力中等
砂γd​ = 15 kN/m³γsat​ = 18.5 kN/m³13 m地下水位Xz = 11 m

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 11 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³
σ′ = kPa
14.土中有效应力困难
砂γd​ = 15.5 kN/m³γsat​ = 20 kN/m³6 m黏土γsat​ = 18.5 kN/m³6 m地下水位Xz = 9 m

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 9 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³黏土: γsat = 18.5 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
Δσ = 200 kPa砂黏土Cc​ = 0.35, Cr​ = 0.06e0​ = 1.2σ′0​ = 105 kPaσ′p​ = 185 kPa3 m地下水位

一层厚 3 m 的超固结黏土，Cc = 0.35，Cr = 0.06，e₀ = 1.2。其中点深度处的竖向有效应力为 105 kPa ，先期固结压力为 185 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 200 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 3 mCc = 0.35Cr = 0.06e0 = 1.2σ′0 = 105 kPaσ′p = 185 kPaΔσ = 200 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
砂黏土H = 5.5 mcv​ = 0.8 m²/年份5.5 m砂地下水位

一层厚 5.5 m 的黏土，固结系数 cv = 0.8 m²/year。 它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。 平均固结度为 90% 时，时间因数 Tv = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？

H = 5.5 mcv = 0.8 m²/年份U = 90%Tv = 0.848双面排水
t = 年
17.静水压力中等
闸门d = 4 mH = 2.5 m

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
闸门d = 0.5 mH = 2.5 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管道摩擦与水头损失中等
V = 2.1 m/sD = 75 mmL = 200 mf = 0.028

水以 2.1 m/s 的平均流速流过一根长 200 m、内径 75 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

V = 2.1 m/sL = 200 mD = 75 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
K = 10自由出流H = ?L = 150 m, D = 250 mm, f = 0.0222× 弯头 (K = 0.3)

一根长 150 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.022）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 10）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 100 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 100 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10
H = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
b = 3.5 my = 1.7 mn = 0.025, S = 0.0005

一条矩形砾石渠道宽 3.5 m。水以 1.7 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.025，底坡 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3.5 my = 1.7 mn = 0.025S = 0.0005
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
b = 6 my = 1 mn = 0.012, Q = 16 m³/s

一条宽 6 m 的矩形抹面混凝土渠道 须以 1 m 的水深均匀输送 16 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.012。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 16 m³/sb = 6 my = 1 mn = 0.012
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
PQ = 25 L/sH = 36 m

在一次试验中，水泵以 36 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 11 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 25 L/sH = 36 mPshaft = 11 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.水泵与泵功率困难
250 kPa (表压)PQ = 120 L/sΔz = 6 mL = 200 m, D = 250 mm, f = 0.025, ΣK = 2.5

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 2.5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 250 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 120 L/sΔz = 6 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.025ΣK = 2.5ptank = 250 kPa
H = m
25.货币的时间价值中等
年0123456€1 000FV = ?

你以名义年利率 2% 投资 €1 000，按月复利。求 6 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0002% / 12n = 6
FV = €
26.货币的时间价值困难
月0123…132€100€100€100FV = ?

你在 11 年内每月月末存入 €100。账户年利率 3.6%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €1003.6% / 12N = 132
FV = €
27.NPV 与 IRR中等
年0123−60 00021 00029 00019 000

一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€21 000, €29 000, €19 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。

r = 5%CF0 = −60 000CF1 = 21 000CF2 = 29 000CF3 = 19 000
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
年0123−20 00012 0008 0007 000

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €12 000, €8 000, €7 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF0 = −20 000CF1 = 12 000CF2 = 8 000CF3 = 7 000
IRR = %
29.正态分布中等
−3−2−10123zz 右侧的阴影面积 = 0.9750

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9750。求 z，保留两位小数。

A = 0.9750
z =
30.正态分布困难
10 cm0X − Y?

一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =

3溶液

1.梁的支座反力

答案: MA = 68 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 6·4 = 24 kN, x̄ = 2 m

对墙的力矩

MA = P·a + W·x̄ = 10·2 + 24·2 = 68 kN·m

答案

MA = 68 kN·m
2.梁的支座反力

答案: MA = 633.3 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·10·8 = 40 kN
x̄ = 2L/3 = 5.333 m

对墙的力矩

MA = W·x̄ + P·a = 40·5.333 + 60·7 = 633.3 kN·m

答案

MA = 633.3 kN·m
3.桁架：节点法

答案: FBC = −34.36 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·6 = 40·5 → Cy = 33.33 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 33.33 = 6.667 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33.33/0.9701 = −34.36 kN

答案

FBC = −34.36 kN (受压)
4.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 49.69 kN (T), BC: 49.69 kN (T), CD: 27.81 kN (T), DE: 27.81 kN (T), FG: 48.13 kN (C), GH: 48.13 kN (C), AF: 16.15 kN (C), HE: 46.35 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 2.604 kN (C), HC: 33.85 kN (T)

答案

零杆: DH
5.剪力和弯矩

答案: Mx = 5.625 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·5 = 25 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 5·5·2.5
RB = 62.5/5 = 12.5 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 12.5 = 12.5 kN
w = 5 kN/mABRA​ = 12.5RB​ = 12.5截面0.5 m4.5 m

在 x = 0.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 12.5·0.5 − 5·0.5·0.25 = 5.625 kN·m

答案

Mx = 5.625 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: F (x = 5 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 35 kN, R2 = 65 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 35, MC = 15, MD = −5, ME = −25, MF = −45 kN·m, MG = 0

答案

标记点 F: MF = −45 kN·m
7.梁的挠度

答案: δmax = 1.413 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 15 N/mm, L = 3000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·3000⁴/(384·1.12 × 10¹³) = 1.413 mm

答案

δmax = 1.413 mm
8.梁的挠度

答案: δmax = 29.5 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 12000 N, L = 4000 mm
EI = 9.24 × 10¹¹ N·mm²

一个荷载位于 L/3 处

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm
δ₁ = 14.75 mm

两个荷载相加

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 29.5 mm

答案

δmax = 29.5 mm
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 119.4 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·1500 = 1050 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1050² = 119360 N = 119.4 kN

答案

Pcr = 119.4 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 73.5 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2·55000 = 110000 N
KL = 2·1500 = 3000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·110000·3000²/(π³·70000))^(1/4) = 73.5 mm

答案

d = 73.5 mm

校核：长细比 KL/r 为 163.3，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: Ix = 223.5 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·150 − 706.9·105)/(30000 − 706.9) = 151.1 mm

完整的板关于 ȳ

100·300³/12 + 30000·−1.086² = 225 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−46.09² = 1.541 × 10⁶ mm⁴

相减

Ix = 223.5 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 223.5 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩

答案: σ顶部 = 291 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 100·25 = 2500 mm², yf = 100 + 25/2 = 112.5 mm
腹板: Aw = 14·100 = 1400 mm², yw = 100/2 = 50 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2500·112.5 + 1400·50)/3900 = 90.06 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·25³/12 + 2500·(112.5 − 90.06)² = 1.389 × 10⁶ mm⁴
腹板: 14·100³/12 + 1400·(50 − 90.06)² = 3.414 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.389 × 10⁶ + 3.414 × 10⁶ = 4.802 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 125 − 90.06 = 34.94 mm
σ = M·y/I = 4 × 10⁷·34.94/4.802 × 10⁶ = 291 MPa

答案

σ顶部 = 291 MPa
13.土中有效应力

答案: σ′ = 108.2 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15·2 + 18.5·9 = 196.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γw·(z − zw) = 9.81·9 = 88.29 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 196.5 − 88.29 = 108.2 kPa

答案

σ′ = 108.2 kPa
14.土中有效应力

答案: σ′ = 97.83 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γd·2 + γsat,sand·4 + γsat,clay·3
σ = 15.5·2 + 20·4 + 18.5·3 = 166.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γw·(z − zw) = 9.81·7 = 68.67 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 166.5 − 68.67 = 97.83 kPa

答案

σ′ = 97.83 kPa
15.固结沉降

答案: S = 123.8 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′f = 105 + 200 = 305 kPa > 185 kPa

沉降

σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.06·3/(1 + 1.2)·log₁₀(185/105) + 0.35·3/(1 + 1.2)·log₁₀(305/185)
S = 20.13 + 103.6 = 123.8 mm

答案

S = 123.8 mm
16.固结沉降

答案: t = 8.016 年

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

排水路径

Hdr = H/2 = 5.5/2 = 2.75 m

时间

t = Tv·Hdr²/cv = 0.848·2.75²/0.8 = 8.016 年

答案

t = 8.016 年
17.静水压力

答案: F = 257.5 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m
A = H·b = 2.5·2 = 5 m²
闸门d = 4 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·5.25·5 = 257.5 kN

答案

F = 257.5 kN
18.静水压力

答案: F = 132 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
闸门d = 0.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·1.75·7.5 = 132 kN

答案

F = 132 kN
19.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 16.78 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2.1²/(2·9.81) = 0.2248 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(200/0.075)·2.1²/(2·9.81) = 16.78 m

答案

hf = 16.78 m
20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 5.352 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m

损失系数

f·L/D = 0.022·150/0.25 = 13.2
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 = 11.1

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 13.2 + 11.1)·0.2115 = 5.352 m

答案

H = 5.352 m
21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 4.821 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 3.5·1.7 = 5.95 m²
P = b + 2y = 3.5 + 2·1.7 = 6.9 m
R = A/P = 0.8623 m

速度

V = (1/0.025)·0.86232/3·0.00051/2 = 0.8103 m/s

流量

Q = A·V = 5.95·0.8103 = 4.821 m³/s

答案

Q = 4.821 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001503 m/m

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 6·1 = 6 m²
P = b + 2y = 6 + 2·1 = 8 m
R = A/P = 0.75 m

由曼宁公式解 S

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.012·16/(6·0.8255) = 0.03877
S = 0.03877² = 0.001503

答案

S = 0.001503

即每千米下降 1.503 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 80.26 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·36 = 8.829 kW

效率

η = Ph/Pshaft = 8.829/11 = 80.26%

答案

η = 80.26%
24.水泵与泵功率

答案: H = 38.34 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s
V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 2.5)·0.3046 = 6.853 m

压力水头

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 6 + 25.48 + 6.853 = 38.34 m

答案

H = 38.34 m
25.货币的时间价值

答案: FV = 1127 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.02/12 = 0.001667
N = m·n = 12·6 = 72

终值

FV = 1 000·(1 + 0.001667)72 = 1 000·1.127 = €1 127.38

答案

FV = €1 127.38
26.货币的时间价值

答案: FV = 16166 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·11 = 132

存款的终值

FV = A·((1 + i)N − 1)/i = 100·(1.485 − 1)/0.003 = €16 166.29

答案

FV = €16 166.29

你自己存入了 €13 200；其余是利息。

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 2717 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 21 000/1.05 = 20 000.00
CF2/(1 + 0.05)2 = 29 000/1.103 = 26 303.85
CF3/(1 + 0.05)3 = 19 000/1.158 = 16 412.91

相加

NPV = €2 716.77

答案

NPV = €2 716.77

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 18.61 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(15%) = 1 086.55
NPV(20%) = −393.52

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 15 + 5·1 086.55/(1 086.55 − (−393.52)) = 18.67%
精确: NPV(18.61%) = 0 → IRR = 18.61%

答案

IRR = 18.61%
29.正态分布

答案: z = −1.96

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.9750 = 0.0250

反向查 z 表

在表中找到 0.0250，读出 z。

z = −1.96

答案

z = −1.96
30.正态分布

答案: P = 0.7389

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

标准化

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

概率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答案

P = 0.7389

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