FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mP₁ = 55 kN 位于 1.5 mP₂ = 45 kN 位于 3 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 10 mP = 30 kN 位于 5 mw = 5 kN/m，从 7 到 8 m

R_B = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓C: 40 kN ↓F: 20 kN ↓G: 30 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓D: 10 kN ↓F: 35 kN ↓H: 10 kN ↓H: 10 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 3.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 6 kN/m，从 0 到 5 mx = 3.5 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 8.5 mw = 4 kN/m，从 0 到 8.5 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m

M_max = kN·m

7.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 20 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。求固定端弯矩 M_A 的大小。

L = 3 mP = 70 kN 位于 1.5 m

M_A = kN·m

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 80 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 200 mmd = 50 mm孔心: y = 80 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 25 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 180 mmt_f = 25 mmt_w = 14 mmh_w = 180 mmM = 25 kN·m

σ_底部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 6 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 7.5 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 5 m 的超固结黏土，C_c = 0.5，C_r = 0.02，e₀ = 1.15。其中点深度处的竖向有效应力为 75 kPa ，超固结比 OCR = 2.5。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 110 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 5 mC_c = 0.5C_r = 0.02e₀ = 1.15σ′₀ = 75 kPaOCR = 2.5Δσ = 110 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 25 mm、上下两面排水的黏土试样在 12 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 4.5 m 的土层。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 25 mmt_lab = 12 minH = 4.5 m现场：单面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 0.9 m/s 的速度流过一根长 800 m、内径 250 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.02，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 0.9 m/sL = 800 mD = 250 mmf = 0.02ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 50 L/s？

Q = 50 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形植草土渠渠道底宽 3.5 m，边坡 1.5:1（水平:竖直）。水以 2 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.03，底坡 S = 0.005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3.5 my = 2 mz = 1.5n = 0.03S = 0.005

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 5.5 m、边坡 2:1（水平:竖直）的梯形砖砌渠道须以 1.2 m 的水深均匀输送 16 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.015。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 16 m³/sb = 5.5 my = 1.2 mz = 2n = 0.015

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 60 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 70%，驱动它的电动机效率为 92%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 20 L/sH = 60 mη_pump = 70%η_motor = 92%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 400 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 60 L/sΔz = 6 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.02ΣK = 5p_tank = 400 kPa

H = m

25.货币的时间价值中等

你在 5 年后需要 €15 000。某账户年利率 4.8%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €15 0004.8% / 4n = 5

PV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €25 000 的贷款在 5 年内以等额月供偿还。年利率 3%，按月复利。求月供 A。

P = €25 0003% / 12N = 60

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€7 000, €7 000, €4 000, €5 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 000CF₂ = 7 000CF₃ = 4 000CF₄ = 5 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €11 500, €11 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 11 500CF₂ = 11 500

IRR = %

29.正态分布中等

X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 759.8 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 759.8 g

P =

30.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 15% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h15%

x = h

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 43.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 55·1.5 + 45·3

R_B = 217.5/5 = 43.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 100 − 43.5 = 56.5 kN

答案

R_B = 43.5 kN

2.梁的支座反力

答案: R_B = 18.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN，作用于 x̄ = 7.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 30·5 + 5·1·7.5

R_B = 187.5/10 = 18.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 35 − 18.75 = 16.25 kN

答案

R_B = 18.75 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 54.38 kN (T), BC: 54.38 kN (T), CD: 35.62 kN (T), DE: 35.62 kN (T), FG: 71.25 kN (C), GH: 71.25 kN (C), AF: 90.63 kN (C), HE: 59.37 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 30 kN (C), DH: 0, FC: 28.13 kN (T), HC: 59.38 kN (T)

答案

零杆: DH

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 42.5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 27.5 kN (T), FG: 52.5 kN (C), GH: 37.5 kN (C), AF: 74.25 kN (C), HE: 38.89 kN (C), BF: 17.5 kN (T), CG: 0, DH: 17.5 kN (T), BG: 10.61 kN (T), DG: 10.61 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: V_x = −6 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·5 = 30 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·5·2.5

R_B = 75/5 = 15 kN

ΣF_y = 0: R_A = 30 − 15 = 15 kN

在 x = 3.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 15 − 6·3.5 = −6 kN

答案

V_x = −6 kN

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 12.29 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·8.5 = 34 kN，作用于 x̄ = 4.25 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 4·8.5·4.25

R_B = 144.5/6 = 24.08 kN

ΣF_y = 0: R_A = 34 − 24.08 = 9.917 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 9.917/4 = 2.479 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 9.917²/(2·4) = 12.29 kN·m

答案

M_max = 12.29 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ = 67.23 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 20·2000⁴/(8·5.95 × 10¹¹) = 67.23 mm

答案

δ = 67.23 mm

8.梁的挠度

答案: M_A = 39.38 kN·m

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·70/16 = 21.88 kN

固定端的弯矩

荷载和支撑力对 A 取矩。

M_A = P·L/2 − R_B·L = 105 − 65.63 = 39.38 kN·m

答案

M_A = 39.38 kN·m

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 170.5 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/1250² = 170547 N = 170.5 kN

答案

P_cr = 170.5 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 69.09 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

KL/r = 1250/12.5 = 100

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/100² = 69.09 MPa

答案

σ_cr = 69.09 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 65.49 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (20000·100 − 1963·80)/(20000 − 1963) = 102.2 mm

完整的板关于 ȳ

100·200³/12 + 20000·−2.177² = 66.76 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·−22.18² = 1.273 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 65.49 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 65.49 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 162.1 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 180·25 = 4500 mm², y_f = 180 + 25/2 = 192.5 mm

腹板: A_w = 14·180 = 2520 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4500·192.5 + 2520·90)/7020 = 155.7 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·25³/12 + 4500·(192.5 − 155.7)² = 6.327 × 10⁶ mm⁴

腹板: 14·180³/12 + 2520·(90 − 155.7)² = 1.768 × 10⁷ mm⁴

I_x = 6.327 × 10⁶ + 1.768 × 10⁷ = 2.401 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 155.7 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·155.7/2.401 × 10⁷ = 162.1 MPa

答案

σ_底部 = 162.1 MPa

13.土中有效应力

答案: u = 39.24 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

答案

u = 39.24 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 133.5 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·2.5

σ = 15·2 + 19.5·3 + 18·2.5 = 133.5 kPa

答案

σ = 133.5 kPa

15.固结沉降

答案: S = 18.24 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 2.5·75 = 187.5 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 75 + 110 = 185 kPa ≤ 187.5 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.02·5/(1 + 1.15)·log₁₀(185/75) = 18.24 mm

答案

S = 18.24 mm

16.固结沉降

答案: t = 1080 天

排水路径

H_dr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m

H_dr,field = 4.5 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 12·(4.5/0.0125)² = 1.555 × 10⁶ min

t_field = 1.555 × 10⁶/1440 = 1080 天

答案

t = 1080 天

17.静水压力

答案: F = 193.1 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·3.75 = 193.1 kN

答案

F = 193.1 kN

18.静水压力

答案: F = 59.35 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2.75·2.5 = 59.35 kN

答案

F = 59.35 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 25.92 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.02·(800/0.25)·0.9²/(2·9.81) = 2.642 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·2.642 = 25920 Pa = 25.92 kPa

答案

Δp = 25.92 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 0.9466 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.04909 = 1.019 m/s

V²/(2g) = 0.05288 m

损失系数

f·L/D = 0.018·150/0.25 = 10.8

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 5 + 1.0 = 7.1

总水头损失

h_f = 10.8·0.05288 = 0.5711 m

h_m = 7.1·0.05288 = 0.3755 m

Δz = h_f + h_m = 0.9466 m

答案

Δz = 0.9466 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 34.86 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1.5·2)·2 = 13 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·2·√(1 + 1.5²) = 10.71 m

R = A/P = 1.214 m

速度

V = (1/0.03)·1.214^2/3·0.005^1/2 = 2.682 m/s

流量

Q = A·V = 13·2.682 = 34.86 m³/s

答案

Q = 34.86 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0007689 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (5.5 + 2·1.2)·1.2 = 9.48 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·1.2·√(1 + 2²) = 10.87 m

R = A/P = 0.8724 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.015·16/(9.48·0.913) = 0.02773

S = 0.02773² = 0.0007689

答案

S = 0.0007689

即每千米下降 0.7689 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 18.28 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·60 = 11.77 kW

轴功率

P_shaft = 11.77/0.7 = 16.82 kW

电功率

P_el = 16.82/0.92 = 18.28 kW

答案

P_el = 18.28 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 48.07 m

速度

V = Q/A = 0.06/0.04909 = 1.222 m/s

V²/(2g) = 0.07615 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 5)·0.07615 = 1.295 m

压力水头

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 40.77 + 1.295 = 48.07 m

答案

H = 48.07 m

25.货币的时间价值

答案: PV = 11816 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.048/4 = 0.012

N = 4·5 = 20

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 15 000/1.269 = €11 816.29

答案

PV = €11 816.29

26.货币的时间价值

答案: A = 449.2 €

月利率和还款期数

i = 0.03/12 = 0.0025

N = 12·5 = 60

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8609

A = 25 000·0.0025/(1 − 0.8609) = €449.22

答案

A = €449.22

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = −2145 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 7 000/1.12 = 6 250.00

CF₂/(1 + 0.12)² = 7 000/1.254 = 5 580.36

CF₃/(1 + 0.12)³ = 4 000/1.405 = 2 847.12

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 5 000/1.574 = 3 177.59

相加

NPV = €−2 144.93

答案

NPV = €−2 144.93

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 9.846 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(5%) = 1 383.22

NPV(10%) = −41.32

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 5 + 5·1 383.22/(1 383.22 − (−41.32)) = 9.855%

精确: NPV(9.846%) = 0 → IRR = 9.846%

答案

IRR = 9.846%

29.正态分布

答案: P = 0.1587

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

标准化

z = (759.8 − 750)/9.849 = 1

上尾

P = 1 − Φ(1) = 1 − 0.8413 = 0.1587

答案

P = 0.1587

30.正态分布

答案: x = 458 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.15

由表得到的 z

z ≈ −1.04

回到原来的单位

x = 500 − 1.04·40 = 458 h

答案

x = 458 h

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