FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

新题目返回课程

在打印窗口中选择“另存为 PDF”，即可在设备上保存一份副本。

1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁全长承受均布荷载 w，并在距墙 3.5 m 处承受集中荷载 P。求墙处的竖向反力 R_A。

L = 5 mP = 70 kN 位于 3.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP = 50 kN 位于 4.5 mw = 8 kN/m，从 2 到 5 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 20 kN ↓F: 35 kN ↓G: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 20 kN ↓F: 20 kN →G: 15 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 10 mP₁ = 35 kN 位于 1 mP₂ = 15 kN 位于 8 m

M_max = kN·m

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 6 mw = 24 kN/m，从 1 到 6 m

x₀ = m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 10 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

简支梁在距支座 B 为 b = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求梁的最大挠度 δ_max。

P = 2 kNb = 1.5 mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)b × h = 25 × 80 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，两端固定。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 120 mm，外高 H = 175 mm，壁厚均为 t = 12 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

B = 120 mmH = 175 mmt = 12 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 15 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 140 mmt_f = 30 mmt_w = 12 mmh_w = 120 mmM = 15 kN·m

σ_底部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³

σ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 7 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³黏土: γ_sat = 17.5 kN/m³

u = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 3 m 的超固结黏土，C_c = 0.4，C_r = 0.03，e₀ = 0.95。其中点深度处的竖向有效应力为 55 kPa ，先期固结压力为 175 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 220 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 3 mC_c = 0.4C_r = 0.03e₀ = 0.95σ′₀ = 55 kPaσ′_p = 175 kPaΔσ = 220 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 8.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 1.5 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 70% 时，时间因数 T_v = 0.403。该土层需要多少年 t 才能达到 70% 固结度？

H = 8.5 mc_v = 1.5 m²/年份U = 70%T_v = 0.403双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 2 m/s 的平均流速流过一根长 150 m、内径 300 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 2 m/sL = 150 mD = 300 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 15 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 15 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 10K_exit = 1.0

Q = L/s

21.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 1200 mm 的混凝土雨水管半满流。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.004。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 1200 mmn = 0.013S = 0.004

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 200 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.75 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 200 mmn = 0.013V = 0.75 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 34 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 8.9 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 20 L/sH = 34 mP_shaft = 8.9 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 16 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 65%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 75 L/sΔz = 16 mL = 150 mD = 200 mmf = 0.022ΣK = 4η = 65%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €12 000，按月复利。求 10 年后的投资价值 FV。

PV = €12 0003.6% / 12n = 10

FV = €

26.货币的时间价值困难

你以每年 4.8% 的利率借入 €8 000，按月复利，每月月末偿还 €375。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €8 000A = €3754.8% / 12

N = 次还款

27.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€9 000, €6 000, €6 000, €7 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −20 000CF₁ = 9 000CF₂ = 6 000CF₃ = 6 000CF₄ = 7 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €20 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €13 000, €9 000, €7 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 000CF₂ = 9 000CF₃ = 7 500

IRR = %

29.正态分布中等

X 服从均值 250 g、标准差 4 g 的正态分布；Y 独立，服从均值 500 g、标准差 9 g 的正态分布。求 X + Y 大于 745.1 g 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 745.1 g

P =

30.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 80% 的数据低于它（第 80 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 80%

x = h

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 80 kN

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

分布荷载的合力

W = 2·5 = 10 kN, x̄ = 2.5 m

竖向平衡

R_A = P + W = 70 + 10 = 80 kN

答案

R_A = 80 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 22.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 50·4.5 + 8·3·3.5

R_B = 309/6 = 51.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 74 − 51.5 = 22.5 kN

答案

R_A = 22.5 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 68.33 kN (T), BC: 90 kN (T), CD: 90 kN (T), DE: 58.33 kN (T), FG: 68.33 kN (C), GH: 58.33 kN (C), AF: 85.42 kN (C), HE: 72.92 kN (C), BF: 16.25 kN (T), CG: 0, DH: 43.75 kN (T), BG: 27.08 kN (C), DG: 39.58 kN (C)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 45 kN (T), BC: 43.33 kN (T), CD: 43.33 kN (T), DE: 21.67 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 21.67 kN (C), AF: 31.25 kN (C), HE: 27.08 kN (C), BF: 1.25 kN (C), CG: 0, DH: 16.25 kN (T), BG: 2.083 kN (T), DG: 27.08 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: M_max = 34.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·10 = 35·1 + 15·8

R_B = 155/10 = 15.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 50 − 15.5 = 34.5 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·1 = 34.5·1 = 34.5 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·2 = 15.5·2 = 31 kN·m

最大值

M_max = 34.5 kN·m (荷载点 P₁)

答案

M_max = 34.5 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: x₀ = 3.083 m

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 24·5 = 120 kN，作用于 x̄ = 3.5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 24·5·3.5

R_B = 420/6 = 70 kN

ΣF_y = 0: R_A = 120 − 70 = 50 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 50/24 = 3.083 m

答案

x₀ = 3.083 m

7.梁的挠度

答案: δ_max = 3.501 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 2000 mm

EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·2000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 3.501 mm

答案

δ_max = 3.501 mm

8.梁的挠度

答案: δ_max = 1.858 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 2000 N, b = 1500 mm, L = 4000 mm

EI = 1.32 × 10¹² N·mm²

最大值的位置

令较长段内的转角为零，即可得到该位置。

x = √((L² − b²)/3) = √((4000² − 1500²)/3) = 2141 mm

最大挠度

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 1.858 mm

答案

δ_max = 1.858 mm

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 46.06 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 80·25³/12 = 104167 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·2500 = 1250 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·104167/1250² = 46058 N = 46.06 kN

答案

P_cr = 46.06 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 17.27 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm

KL = 0.5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/12.5 = 200

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/200² = 17.27 MPa

答案

σ_cr = 17.27 MPa

11.形心和惯性矩

答案: r = 63.29 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

b = 96 mm, h = 151 mm

A = BH − bh = 120·175 − 96·151 = 6504 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 2.605 × 10⁷ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(2.605 × 10⁷/6504) = 63.29 mm

答案

r = 63.29 mm

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 215.2 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 140·30 = 4200 mm², y_f = 120 + 30/2 = 135 mm

腹板: A_w = 12·120 = 1440 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (4200·135 + 1440·60)/5640 = 115.9 mm

平行移轴定理

翼缘: 140·30³/12 + 4200·(135 − 115.9)² = 1.855 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·120³/12 + 1440·(60 − 115.9)² = 6.22 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.855 × 10⁶ + 6.22 × 10⁶ = 8.075 × 10⁶ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 115.9 mm

σ = M·y/I = 1.5 × 10⁷·115.9/8.075 × 10⁶ = 215.2 MPa

答案

σ_底部 = 215.2 MPa

13.土中有效应力

答案: σ = 86.5 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15.5·3 + 20·2 = 86.5 kPa

答案

σ = 86.5 kPa

14.土中有效应力

答案: u = 58.86 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

答案

u = 58.86 kPa

15.固结沉降

答案: S = 144 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 55 + 220 = 275 kPa > 175 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.03·3/(1 + 0.95)·log₁₀(175/55) + 0.4·3/(1 + 0.95)·log₁₀(275/175)

S = 23.2 + 120.8 = 144 mm

答案

S = 144 mm

16.固结沉降

答案: t = 4.853 年

排水路径

H_dr = H/2 = 8.5/2 = 4.25 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.403·4.25²/1.5 = 4.853 年

答案

t = 4.853 年

17.静水压力

答案: F = 147.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·3 = 147.2 kN

答案

F = 147.2 kN

18.静水压力

答案: F = 92.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.5·3 = 92.7 kN

答案

F = 92.7 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 1.835 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 2²/(2·9.81) = 0.2039 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(150/0.3)·2²/(2·9.81) = 1.835 m

答案

h_f = 1.835 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 158 L/s

损失系数

f·L/D = 0.02·200/0.25 = 16

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 10 + 1.0 = 12.4

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

15 = (16 + 12.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·15/28.4) = 3.219 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 3.219·0.04909 = 0.158 m³/s = 158 L/s

答案

Q = 158 L/s

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 1.233 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.5655 m², R = D/4 = 0.3 m

速度

V = (1/0.013)·0.3^2/3·0.004^1/2 = 2.18 m/s

流量

Q = A·V = 0.5655·2.18 = 1.233 m³/s

答案

Q = 1.233 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.005161 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.2/4 = 0.05 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.75/0.1357)² = 0.005161

答案

S = 0.005161

即每千米下降 5.161 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 74.95 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·34 = 6.671 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 6.671/8.9 = 74.95%

答案

η = 74.95%

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 24.85 kW

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (16.5 + 4)·0.2905 = 5.955 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 16 + 5.955 = 21.95 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·21.95/0.65 = 24.85 kW

答案

P_shaft = 24.85 kW

25.货币的时间价值

答案: FV = 17191 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·10 = 120

终值

FV = 12 000·(1 + 0.003)¹²⁰ = 12 000·1.433 = €17 190.69

答案

FV = €17 190.69

26.货币的时间价值

答案: N = 23 次还款

将年金公式变形

i = 0.004

(1 + i)^−N = 1 − 8 000·0.004/375 = 0.9147

用对数求解

N = −ln(0.9147)/ln(1.004) = 22.34

向上取整到整次还款

22 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 23

答案

N = 23 次还款

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 2899 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 9 000/1.09 = 8 256.88

CF₂/(1 + 0.09)² = 6 000/1.188 = 5 050.08

CF₃/(1 + 0.09)³ = 6 000/1.295 = 4 633.10

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 7 000/1.412 = 4 958.98

相加

NPV = €2 899.04

答案

NPV = €2 899.04

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 25 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(20%) = 1 423.61

NPV(25%) = 0.00

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 20 + 5·1 423.61/(1 423.61 − (0.00)) = 25%

精确: NPV(25%) = 0 → IRR = 25%

答案

IRR = 25%

29.正态分布

答案: P = 0.6915

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

和的分布

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9.849 g

标准化

z = (745.1 − 750)/9.849 = −0.5

上尾

P = 1 − Φ(−0.5) = 1 − 0.3085 = 0.6915

答案

P = 0.6915

30.正态分布

答案: x = 533.7 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.8 → z = 0.8416

换算回 x

x = 500 + 0.8416·40 = 533.66 h

答案

x = 533.66 h

ExamProblems · examproblems.com/courses/fe-exam-civil