梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 8 mP1 = 35 kN 位于 4 mP2 = 45 kN 位于 6 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 6 mP = 50 kN 位于 2 mw = 10 kN/m，从 0 到 1 m
RB = kN
3.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
D: 15 kN ↓F: 20 kN ↓G: 40 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 15 kN水平荷载 = 10 kN ←
FAB = kN
5.剪力和弯矩中等
求距支座 A 为 x = 2.5 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mw = 8 kN/m，从 0 到 4 mx = 2.5 m
Vx = kN
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
30 kN @ 0 m30 kN @ 6 m35 kN @ 3 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 15 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 6 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 3 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
σcr = MPa
11.形心和惯性矩中等
求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
bf = 140 mmtf = 15 mmtw = 12 mmhw = 180 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 50 MPa，容许压应力为 100 MPa。 求梁能承受的最大正弯矩 Mallow。
bf = 260 mmtf = 20 mmtw = 20 mmhw = 100 mmσt,allow = 50 MPaσc,allow = 100 MPa
Mallow = kN·m
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。
z = 9 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³
σ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。
z = 6 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³黏土: γsat = 18 kN/m³
u = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 5.5 m 的超固结黏土，Cc = 0.25，Cr = 0.05，e₀ = 1.05。其中点深度处的竖向有效应力为 95 kPa ，超固结比 OCR = 2.5。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 150 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 5.5 mCc = 0.25Cr = 0.05e0 = 1.05σ′0 = 95 kPaOCR = 2.5Δσ = 150 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
一层厚 4 m 的黏土，固结系数 cv = 3 m²/year。 它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。 平均固结度为 90% 时，时间因数 Tv = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？
H = 4 mcv = 3 m²/年份U = 90%Tv = 0.848双面排水
t = 年
17.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 4 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管道摩擦与水头损失中等
水以 2.3 m/s 的平均流速流过一根长 1000 m、内径 300 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
V = 2.3 m/sL = 1000 mD = 300 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 200 m、内径 100 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 12 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 12 mL = 200 mD = 100 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×4)Kvalve = 5Kexit = 1.0
Q = L/s
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形抹面混凝土渠道底宽 2 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 1.3 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.0008。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 2 my = 1.3 mz = 2n = 0.012S = 0.0008
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一根内径 250 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.75 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。
D = 250 mmn = 0.013V = 0.75 m/s
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
一台水泵以 46 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 82%，驱动它的电动机效率为 95%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 10 L/sH = 46 mηpump = 82%ηmotor = 95%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 17 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 60 L/sΔz = 17 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 8
H = m
25.货币的时间价值中等
一张信用卡的名义年利率为 24%，每半年复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。
r = 24%m = 2
EAR = %
26.货币的时间价值困难
你在每年年初存入 €1 000，共 10 年，第一笔今天存入。账户年利率为 8%。第 10 年年末账户里有多少钱？求 FV。
A = €1 000i = 8%n = 10
FV = €
27.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €60 000，在第 1 年到第 6 年的每年年末回报 €13 500, €14 500, €20 500, €23 000, €20 500, €13 000。资本成本为 10%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 10%CF0 = −60 000CF1 = 13 500CF2 = 14 500CF3 = 20 500CF4 = 23 000CF5 = 20 500CF6 = 13 000
DPB = 年
28.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €19 000, €17 000, €24 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −40 000CF1 = 19 000CF2 = 17 000CF3 = 24 000
IRR = %
29.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9671。求 z，保留两位小数。
A = 0.9671
z =
30.正态分布困难
电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的前 20% 位于其右侧。求截断值 x。
μ = 500 hσ = 40 h20%
x = h
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 51.25 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·8 = 35·4 + 45·6
RB = 410/8 = 51.25 kN
ΣFy = 0: RA = 80 − 51.25 = 28.75 kN
答案
RB = 51.25 kN
2.梁的支座反力
答案: RB = 17.5 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·1 = 10 kN，作用于 x̄ = 0.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·2 + 10·1·0.5
RB = 105/6 = 17.5 kN
ΣFy = 0: RA = 60 − 17.5 = 42.5 kN
答案
RB = 17.5 kN
3.桁架：节点法
答案: 杆件 BF
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 B
AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 38.75 kN (T), BC: 38.75 kN (T), CD: 36.25 kN (T), DE: 36.25 kN (T), FG: 57.5 kN (C), GH: 57.5 kN (C), AF: 54.8 kN (C), HE: 51.27 kN (C), BF: 0, CG: 40 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 26.52 kN (T), HC: 30.05 kN (T)
答案
零杆: BF
4.桁架：节点法
答案: FAB = −20.62 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 15·1 − 10·4 → Cy = −5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − −5 = 20 kN
ΣFx = 0: Ax = 10 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −20/0.9701 = −20.62 kN
答案
FAB = −20.62 kN (受压)
5.剪力和弯矩
答案: Vx = −4 kN
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·4·2
RB = 64/4 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
在 x = 2.5 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 16 − 8·2.5 = −4 kN
答案
Vx = −4 kN
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 31.67 kN, R2 = 63.33 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −30, MC = −28.33, MD = −26.67, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −60 kN·m
7.梁的挠度
答案: δmax = 5.252 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 15 N/mm, L = 2000 mm
EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·5.95 × 10¹¹) = 5.252 mm
答案
δmax = 5.252 mm
8.梁的挠度
答案: Ireq = 69.03 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 3000/360 = 8.333 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·6·3000⁴/(384·11000·8.333) = 6.903 × 10⁷ mm⁴
Ireq = 69.03 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 69.03 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 4.284 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴
计算长度
KL = 2·3000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/6000² = 4284 N = 4.284 kN
答案
Pcr = 4.284 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 35.25 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/15 = 140
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa
答案
σcr = 35.25 MPa
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 15.99 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 140·15 = 2100 mm², yf = 180 + 15/2 = 187.5 mm
腹板: Aw = 12·180 = 2160 mm², yw = 180/2 = 90 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2100·187.5 + 2160·90)/4260 = 138.1 mm
平行移轴定理
翼缘: 140·15³/12 + 2100·(187.5 − 138.1)² = 5.172 × 10⁶ mm⁴
腹板: 12·180³/12 + 2160·(90 − 138.1)² = 1.082 × 10⁷ mm⁴
Ix = 5.172 × 10⁶ + 1.082 × 10⁷ = 1.599 × 10⁷ mm⁴ = 15.99 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 15.99 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: Mallow = 3.771 kN·m
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
形心
ȳ = (5200·110 + 2000·50)/7200 = 93.33 mm
上边缘: c = 120 − 93.33 = 26.67 mm
惯性矩
I = 260·20³/12 + 5200·16.67² + 20·100³/12 + 2000·43.33² = 7.04 × 10⁶ mm⁴
每个边缘允许的弯矩
正弯矩：上侧受压，下侧受拉。
上边缘: M = 100·7.04 × 10⁶/26.67 = 26.4 kN·m
下边缘: M = 50·7.04 × 10⁶/93.33 = 3.771 kN·m
控制值
Mallow = min = 3.771 kN·m (下边缘)
答案
Mallow = 3.771 kN·m
13.土中有效应力
答案: σ = 175.5 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·2 + 20.5·7 = 175.5 kPa
答案
σ = 175.5 kPa
14.土中有效应力
答案: u = 39.24 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·4 = 39.24 kPa
答案
u = 39.24 kPa
15.固结沉降
答案: S = 62.44 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
先期固结压力
σ′p = OCR·σ′0 = 2.5·95 = 237.5 kPa
与先期固结压力比较
σ′f = 95 + 150 = 245 kPa > 237.5 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.05·5.5/(1 + 1.05)·log₁₀(237.5/95) + 0.25·5.5/(1 + 1.05)·log₁₀(245/237.5)
S = 53.38 + 9.057 = 62.44 mm
答案
S = 62.44 mm
16.固结沉降
答案: t = 1.131 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H/2 = 4/2 = 2 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.848·2²/3 = 1.131 年
答案
t = 1.131 年
17.静水压力
答案: F = 132.4 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·4.5·3 = 132.4 kN
答案
F = 132.4 kN
18.静水压力
答案: F = 301.7 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·5·6 = 301.7 kN
答案
F = 301.7 kN
19.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 19.77 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度水头
V²/(2g) = 2.3²/(2·9.81) = 0.2696 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(1000/0.3)·2.3²/(2·9.81) = 19.77 m
答案
hf = 19.77 m
20.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 19.63 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.015·200/0.1 = 30
ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 5 + 1.0 = 7.7
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
12 = (30 + 7.7)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·12/37.7) = 2.499 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 2.499·0.007854 = 0.01963 m³/s = 19.63 L/s
答案
Q = 19.63 L/s
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 11.79 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (2 + 2·1.3)·1.3 = 5.98 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·1.3·√(1 + 2²) = 7.814 m
R = A/P = 0.7653 m
速度
V = (1/0.012)·0.76532/3·0.00081/2 = 1.972 m/s
流量
Q = A·V = 5.98·1.972 = 11.79 m³/s
答案
Q = 11.79 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.003833 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
水力半径
R = D/4 = 0.25/4 = 0.0625 m
由曼宁公式解 S
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.75/0.1575)² = 0.003833
答案
S = 0.003833
即每千米下降 3.833 m。
23.水泵与泵功率
答案: Pel = 5.793 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·46 = 4.513 kW
轴功率
Pshaft = 4.513/0.82 = 5.503 kW
电功率
Pel = 5.503/0.95 = 5.793 kW
答案
Pel = 5.793 kW
24.水泵与泵功率
答案: H = 20.16 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s
V²/(2g) = 0.1859 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (9 + 8)·0.1859 = 3.16 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 17 + 3.16 = 20.16 m
答案
H = 20.16 m
25.货币的时间价值
答案: EAR = 25.44 %
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
每期利率
r/m = 0.24/2 = 0.12
复利一年
EAR = (1 + 0.12)2 − 1 = 1.254 − 1 = 25.44%
答案
EAR = 25.44%
当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。
26.货币的时间价值
答案: FV = 15645 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
普通年金系数
((1 + 0.08)10 − 1)/0.08 = 14.49
先付年金
每笔存款都多投资一年。
FV = 1 000·14.49·1.08 = €15 645.49
答案
FV = €15 645.49
27.NPV 与 IRR
答案: DPB = 4.364 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 13 500/1.1 = 12 272.73 → Σ = 12 272.73
年份 2: 14 500/1.21 = 11 983.47 → Σ = 24 256.20
年份 3: 20 500/1.331 = 15 401.95 → Σ = 39 658.15
年份 4: 23 000/1.464 = 15 709.31 → Σ = 55 367.46
年份 5: 20 500/1.611 = 12 728.89 → Σ = 68 096.35
最后一年的分数
DPB = 4 + 4 632.54/12 728.89 = 4.364
答案
DPB = 4.364 年
折现回收期总是长于简单回收期（3.5 年）。
28.NPV 与 IRR
答案: IRR = 22.33 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(20%) = 1 527.78
NPV(25%) = −1 632.00
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 20 + 5·1 527.78/(1 527.78 − (−1 632.00)) = 22.42%
精确: NPV(22.33%) = 0 → IRR = 22.33%
答案
IRR = 22.33%
29.正态分布
答案: z = −1.84
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9671 = 0.0329
反向查 z 表
在表中找到 0.0329，读出 z。
z = −1.84
答案
z = −1.84
30.正态分布
答案: x = 534 h
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
左侧的面积
Φ(z) = 0.8
由表得到的 z
z ≈ 0.84
回到原来的单位
x = 500 + 0.84·40 = 534 h
答案
x = 534 h
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