FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 5 mP₁ = 50 kN 位于 2 mP₂ = 55 kN 位于 2.5 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 2 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 60°；距 A 为 3.5 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处的总反力与水平方向的夹角 α。

L = 5 mP = 55 kN 位于 2 m, θ = 60°Q = 15 kN 位于 3.5 m

α = °

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓C: 25 kN ↓G: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 10 kN ↓H: 25 kN ↓H: 20 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 4 m 处承受集中荷载 P。求在距固定端 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 35 kN 位于 4 mw = 12 kN/m，从 0 到 4 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 0 m55 kN @ 12 m20 kN @ 4 m15 kN/m, 2–10 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 8 mP = 40 kN 位于 4 m

R_B = kN

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 3 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 180 mm，外高 H = 250 mm，壁厚均为 t = 16 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

B = 180 mmH = 250 mmt = 16 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 20 kN·m 的正弯矩。求底边的弯曲应力 σ_底部。

b_f = 260 mmt_f = 15 mmt_w = 20 mmh_w = 280 mmM = 20 kN·m

σ_底部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 8 mz_w = 5 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³黏土: γ_sat = 17 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 5.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.45，C_r = 0.02，e₀ = 1.05。其中点深度处的竖向有效应力为 40 kPa ，先期固结压力为 80 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 25 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 5.5 mC_c = 0.45C_r = 0.02e₀ = 1.05σ′₀ = 40 kPaσ′_p = 80 kPaΔσ = 25 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 8.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 0.5 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 50% 时，时间因数 T_v = 0.197。该土层需要多少年 t 才能达到 50% 固结度？

H = 8.5 mc_v = 0.5 m²/年份U = 50%T_v = 0.197双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 1.2 m/s 的平均流速流过一根长 1000 m、内径 200 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

V = 1.2 m/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 25 L/s？

Q = 25 L/sL = 100 mD = 150 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一根内径 750 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.005。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 750 mmn = 0.013S = 0.005

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 300 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.6 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 300 mmn = 0.013V = 0.6 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 44 m 的扬程输送 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 75%，驱动它的电动机效率为 90%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 50 L/sH = 44 mη_pump = 75%η_motor = 90%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 300 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 3（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 250 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 50 L/sΔz = 6 mL = 300 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 3p_tank = 250 kPa

H = m

25.货币的时间价值中等

你在 4 年后需要 €50 000。某账户年利率 4%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €50 0004% / 12n = 4

PV = €

26.货币的时间价值困难

你在 7 年内每月月末存入 €300。账户年利率 4.8%，按月复利。期末共存了多少？求 FV。

A = €3004.8% / 12N = 84

FV = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€19 000, €15 000, €10 000, €21 000。资本成本为 9%。求净现值 NPV。

r = 9%CF₀ = −45 000CF₁ = 19 000CF₂ = 15 000CF₃ = 10 000CF₄ = 21 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €25 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €9 000, €8 000, €9 500, €12 000。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 10%CF₀ = −25 000CF₁ = 9 000CF₂ = 8 000CF₃ = 9 500CF₄ = 12 000

MIRR = %

29.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 171.35 和 190.6 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 171.35x₂ = 190.6

P =

30.正态分布困难

一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 180 cm, σ_X = 10 cmμ_Y = 170 cm, σ_Y = 12 cm

P =

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 57.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·2 + 55·2.5

R_B = 237.5/5 = 47.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 47.5 = 57.5 kN

答案

R_A = 57.5 kN

2.梁的支座反力

答案: α = 50.26 °

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 55·sin 60° = 47.63 kN

P_h = 55·cos 60° = 27.5 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·5 = 47.63·2 + 15·3.5 → R_B = 29.55 kN

A_y = 47.63 + 15 − 29.55 = 33.08 kN

A_x = P_h = 27.5 kN

A 处的方向

α = atan(A_y/A_x) = atan(33.08/27.5) = 50.26°

答案

α = 50.26°

3.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 51.25 kN (T), BC: 51.25 kN (T), CD: 33.75 kN (T), DE: 33.75 kN (T), FG: 67.5 kN (C), GH: 67.5 kN (C), AF: 72.48 kN (C), HE: 47.73 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 22.98 kN (T), HC: 47.73 kN (T)

答案

零杆: DH

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 3.333 kN (T), BC: 13.33 kN (T), CD: 13.33 kN (T), DE: 23.33 kN (T), FG: 23.33 kN (C), GH: 43.33 kN (C), AF: 29.17 kN (C), HE: 29.17 kN (C), BF: 7.5 kN (T), CG: 0, DH: 7.5 kN (C), BG: 12.5 kN (C), DG: 12.5 kN (T)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: M_x = −41 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

保留自由端部分

P: −35·1 = −35 kN·m

w: −12·1²/2 = −6 kN·m

M_x = −35 − 6 = −41 kN·m

答案

M_x = −41 kN·m

负号表示负弯矩：上表面受拉。

6.剪力和弯矩

答案: F (x = 10 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 123.8 kN, R₂ = 121.3 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −100, M_C = 17.5, M_D = 35, M_E = −7.5, M_F = −110 kN·m, M_G = 0

答案

标记点 F: M_F = −110 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_max = 73.37 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 6000 mm

EI = 4.6 × 10¹² N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·6000⁴/(384·4.6 × 10¹²) = 73.37 mm

答案

δ_max = 73.37 mm

8.梁的挠度

答案: R_B = 12.5 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·40/16 = 12.5 kN

答案

R_B = 12.5 kN

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 195.3 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

计算长度

KL = 1·1500 = 1500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1500² = 195340 N = 195.3 kN

答案

P_cr = 195.3 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 100.7 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

回转半径和长细比

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 0.7·3000 = 2100 mm

KL/r = 2100/15 = 140

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/140² = 100.7 MPa

答案

σ_cr = 100.7 MPa

11.形心和惯性矩

答案: r = 91.49 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

b = 148 mm, h = 218 mm

A = BH − bh = 180·250 − 148·218 = 12736 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1.066 × 10⁸ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(1.066 × 10⁸/12736) = 91.49 mm

答案

r = 91.49 mm

12.形心和惯性矩

答案: σ_底部 = 46.28 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 260·15 = 3900 mm², y_f = 280 + 15/2 = 287.5 mm

腹板: A_w = 20·280 = 5600 mm², y_w = 280/2 = 140 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (3900·287.5 + 5600·140)/9500 = 200.6 mm

平行移轴定理

翼缘: 260·15³/12 + 3900·(287.5 − 200.6)² = 2.956 × 10⁷ mm⁴

腹板: 20·280³/12 + 5600·(140 − 200.6)² = 5.712 × 10⁷ mm⁴

I_x = 2.956 × 10⁷ + 5.712 × 10⁷ = 8.668 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

底边距中性轴 ȳ。

y = 200.6 mm

σ = M·y/I = 2 × 10⁷·200.6/8.668 × 10⁷ = 46.28 MPa

答案

σ_底部 = 46.28 MPa

13.土中有效应力

答案: u = 19.62 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·2 = 19.62 kPa

答案

u = 19.62 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 138 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·5 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2

σ = 17·5 + 19·1 + 17·2 = 138 kPa

答案

σ = 138 kPa

15.固结沉降

答案: S = 11.31 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 40 + 25 = 65 kPa ≤ 80 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.02·5.5/(1 + 1.05)·log₁₀(65/40) = 11.31 mm

答案

S = 11.31 mm

16.固结沉降

答案: t = 7.117 年

排水路径

H_dr = H/2 = 8.5/2 = 4.25 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.197·4.25²/0.5 = 7.117 年

答案

t = 7.117 年

17.静水压力

答案: F = 73.58 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·3 = 73.58 kN

答案

F = 73.58 kN

18.静水压力

答案: F = 243.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·5.25·3.75 = 243.3 kN

答案

F = 243.3 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 9.174 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

速度水头

V²/(2g) = 1.2²/(2·9.81) = 0.07339 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(1000/0.2)·1.2²/(2·9.81) = 9.174 m

答案

h_f = 9.174 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 2.254 m

速度

V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

损失系数

f·L/D = 0.015·100/0.15 = 10

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1

总水头损失

h_f = 10·0.102 = 1.02 m

h_m = 12.1·0.102 = 1.234 m

Δz = h_f + h_m = 2.254 m

答案

Δz = 2.254 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.7872 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.4418 m², R = D/4 = 0.1875 m

速度

V = (1/0.013)·0.1875^2/3·0.005^1/2 = 1.782 m/s

流量

Q = A·V = 0.4418·1.782 = 0.7872 m³/s

答案

Q = 0.7872 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001924 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.3/4 = 0.075 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.6/0.1778)² = 0.001924

答案

S = 0.001924

即每千米下降 1.924 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 31.97 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·44 = 21.58 kW

轴功率

P_shaft = 21.58/0.75 = 28.78 kW

电功率

P_el = 28.78/0.9 = 31.97 kW

答案

P_el = 31.97 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 44.95 m

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (30 + 3)·0.408 = 13.47 m

压力水头

p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 6 + 25.48 + 13.47 = 44.95 m

答案

H = 44.95 m

25.货币的时间价值

答案: PV = 42619 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.04/12 = 0.003333

N = 12·4 = 48

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 50 000/1.173 = €42 618.53

答案

PV = €42 618.53

26.货币的时间价值

答案: FV = 29880 €

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·7 = 84

存款的终值

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1.398 − 1)/0.004 = €29 880.11

答案

FV = €29 880.11

你自己存入了 €25 200；其余是利息。

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 7655 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.09)¹ = 19 000/1.09 = 17 431.19

CF₂/(1 + 0.09)² = 15 000/1.188 = 12 625.20

CF₃/(1 + 0.09)³ = 10 000/1.295 = 7 721.83

CF₄/(1 + 0.09)⁴ = 21 000/1.412 = 14 876.93

相加

NPV = €7 655.16

答案

NPV = €7 655.16

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 15.25 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

9 000·1.1³ = 11 979.00

8 000·1.1² = 9 680.00

9 500·1.1¹ = 10 450.00

12 000·1.1⁰ = 12 000.00

TV = 44 109.00

MIRR

MIRR = (44 109.00/25 000)^1/4 − 1 = 15.25%

答案

MIRR = 15.25%

29.正态分布

答案: P = 0.793

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (171.35 − 178)/7 = −0.95

z₂ = (190.6 − 178)/7 = 1.8

中间面积

P = Φ(1.8) − Φ(−0.95) = 0.9641 − 0.1711 = 0.793

答案

P = 0.793

30.正态分布

答案: P = 0.7389

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm

标准化

z = (0 − 10)/15.62 = −0.64

概率

P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389

答案

P = 0.7389

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