FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 4 kN/m。求竖向支座反力 R_B。

L = 5 mw₀ = 4 kN/m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 6 kN/m；另在距墙 3 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 10 mw₀ = 6 kN/mP = 35 kN 位于 3 m

M_A = kN·m

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

D: 15 kN ↓H: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 10 kN水平荷载 = 15 kN ←

F_AB = kN

5.剪力和弯矩中等

简支梁承受两个集中荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mP₁ = 10 kN 位于 2 mP₂ = 70 kN 位于 2.5 m

M_max = kN·m

6.剪力和弯矩困难

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 4 mP = 75 kN 位于 2.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 4 m

M_max = kN·m

7.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。求自由端 B 处的挠度 δ_B。

P = 14 kNa = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_B = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 4 mP = 25 kN 位于 2 m

R_B = kN

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 20 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 40 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 180 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 300 mmd = 40 mm孔心: y = 180 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 100 mm × 150 mm 的板有一个宽 30 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 45 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 150 mm切口: 30 × 30 mm孔心: y = 45 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 10 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 6.5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³黏土: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 3 m 的超固结黏土，C_c = 0.45，C_r = 0.04，e₀ = 0.9。其中点深度处的竖向有效应力为 100 kPa ，超固结比 OCR = 3。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 30 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 3 mC_c = 0.45C_r = 0.04e₀ = 0.9σ′₀ = 100 kPaOCR = 3Δσ = 30 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 25 mm、上下两面排水的黏土试样在 5 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 8 m 的土层。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 25 mmt_lab = 5 minH = 8 m现场：单面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 4 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水（ρ = 1000 kg/m³）以 1.5 m/s 的速度流过一根长 1000 m、内径 50 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 1.5 m/sL = 1000 mD = 50 mmf = 0.028ρ = 1000 kg/m³

Δp = kPa

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.02 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 24 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 24 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Q = L/s

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形清洁土渠渠道底宽 4.5 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 0.6 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.022，底坡 S = 0.004。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 4.5 my = 0.6 mz = 3n = 0.022S = 0.004

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 375 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.9 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 375 mmn = 0.013V = 0.9 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 54 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 96.9 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 150 L/sH = 54 mP_shaft = 96.9 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 8 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.022；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 65%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 25 L/sΔz = 8 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.022ΣK = 5η = 65%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3.6% 投资 €2 000，按月复利。求 5 年后的投资价值 FV。

PV = €2 0003.6% / 12n = 5

FV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €8 000 的贷款在 4 年内以等额月供偿还。年利率 5.4%，按月复利。求月供 A。

P = €8 0005.4% / 12N = 48

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €500 000。它在第一年年末产生 €44 000，之后现金流每年永久增长 3%。资本成本为 11%。求净现值 NPV。

C₀ = €500 000CF₁ = €44 000g = 3%r = 11%

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €7 000, €3 500, €5 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −10 000CF₁ = 7 000CF₂ = 3 500CF₃ = 5 500

IRR = %

29.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.3085。求 z，保留两位小数。

A = 0.3085

z =

30.正态分布困难

孔径 D 服从均值 25.03 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.015 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。

孔: μ = 25.03 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.015 mm

P =

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 6.667 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·4·5 = 10 kN

x̄ = 2L/3 = 3.333 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3.333

R_B = 6.667 kN

R_A = 10 − 6.667 = 3.333 kN

答案

R_B = 6.667 kN

2.梁的支座反力

答案: M_A = 305 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·6·10 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 6.667 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 30·6.667 + 35·3 = 305 kN·m

答案

M_A = 305 kN·m

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 13.75 kN (T), BC: 27.5 kN (T), CD: 27.5 kN (T), DE: 41.25 kN (T), FG: 13.75 kN (C), GH: 41.25 kN (C), AF: 19.45 kN (C), HE: 58.34 kN (C), BF: 13.75 kN (T), CG: 0, DH: 1.25 kN (T), BG: 19.45 kN (C), DG: 19.45 kN (T)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: F_AB = −20.19 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·5 − 15·2 → C_y = 2.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 2.5 = 7.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 15 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/5.385 = 0.3714

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −7.5/0.3714 = −20.19 kN

答案

F_AB = −20.19 kN (受压)

5.剪力和弯矩

答案: M_max = 73.13 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2 + 70·2.5

R_B = 195/4 = 48.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 80 − 48.75 = 31.25 kN

各荷载处的弯矩

保留每个荷载左侧的部分。

荷载点 P₁: M = R_A·2 = 31.25·2 = 62.5 kN·m

荷载点 P₂: M = R_B·1.5 = 48.75·1.5 = 73.13 kN·m

最大值

M_max = 73.13 kN·m (荷载点 P₂)

答案

M_max = 73.13 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 74.06 kN·m

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN，作用于 x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 75·2.5 + 2·4·2

R_B = 203.5/4 = 50.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 83 − 50.88 = 32.13 kN

V = 0 在哪里？

V(2.5⁻) = R_A − w·2.5 = 27.13 kN

V(2.5⁺) = 27.13 − 75 = −47.88 kN

剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

M_max = R_A·2.5 − w·2.5²/2 = 32.13·2.5 − 2·2.5²/2 = 74.06 kN·m

答案

M_max = 74.06 kN·m

它出现在距 A 为 x = 2.5 m 处。

7.梁的挠度

答案: δ_B = 13.33 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 14000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

自由端的挠度

荷载处的挠度加上荷载处的转角乘以剩余长度。

δ_P = Pa³/(3EI) = 3.333 mm

θ_P = Pa²/(2EI) = 0.0025 rad

δ_B = δ_P + θ_P·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 13.33 mm

答案

δ_B = 13.33 mm

8.梁的挠度

答案: R_B = 7.813 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·25/16 = 7.813 kN

答案

R_B = 7.813 kN

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 12.28 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 60·20³/12 = 40000 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·40000/1500² = 12282 N = 12.28 kN

答案

P_cr = 12.28 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 25.18 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1257 mm²

r = √(I/A) = √(125664/1257) = 10 mm

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

KL/r = 2800/10 = 280

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/280² = 25.18 MPa

答案

σ_cr = 25.18 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 268.7 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (36000·150 − 1257·180)/(36000 − 1257) = 148.9 mm

完整的板关于 ȳ

120·300³/12 + 36000·1.085² = 270 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·40⁴/64 + 1257·31.09² = 1.34 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 268.7 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 268.7 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 27.2 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (15000·75 − 900·45)/(15000 − 900) = 76.91 mm

完整的板关于 ȳ

100·150³/12 + 15000·−1.915² = 28.18 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·30³/12 + 900·−31.91² = 0.9842 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 27.2 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 27.2 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ′ = 113.2 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 17·1 + 20.5·9 = 201.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·9 = 88.29 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 201.5 − 88.29 = 113.2 kPa

答案

σ′ = 113.2 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 109.8 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·2.5

σ = 15.5·3 + 19.5·1 + 17.5·2.5 = 109.8 kPa

答案

σ = 109.8 kPa

15.固结沉降

答案: S = 7.196 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

先期固结压力

σ′_p = OCR·σ′₀ = 3·100 = 300 kPa

与先期固结压力比较

σ′_f = 100 + 30 = 130 kPa ≤ 300 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.04·3/(1 + 0.9)·log₁₀(130/100) = 7.196 mm

答案

S = 7.196 mm

16.固结沉降

答案: t = 1422 天

排水路径

H_dr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m

H_dr,field = 8 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 5·(8/0.0125)² = 2.048 × 10⁶ min

t_field = 2.048 × 10⁶/1440 = 1422 天

答案

t = 1422 天

17.静水压力

答案: F = 294.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 4 + 2/2 = 5 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5·6 = 294.3 kN

答案

F = 294.3 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 1.4 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.25·2.25 = 34.76 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.25 + 0.4219/(1.25·2.25) = 1.4 m

答案

y_cp = 1.4 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 630 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(1000/0.05)·1.5²/(2·9.81) = 64.22 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·h_f。

Δp = ρ·g·h_f = 1000·9.81·64.22 = 630000 Pa = 630 kPa

答案

Δp = 630 kPa

20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 95.18 L/s

损失系数

f·L/D = 0.02·100/0.15 = 13.33

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

24 = (13.33 + 2.9)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·24/16.23) = 5.386 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 5.386·0.01767 = 0.09518 m³/s = 95.18 L/s

答案

Q = 95.18 L/s

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 6.435 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4.5 + 3·0.6)·0.6 = 3.78 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4.5 + 2·0.6·√(1 + 3²) = 8.295 m

R = A/P = 0.4557 m

速度

V = (1/0.022)·0.4557^2/3·0.004^1/2 = 1.702 m/s

流量

Q = A·V = 3.78·1.702 = 6.435 m³/s

答案

Q = 6.435 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.003214 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.375/4 = 0.09375 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.9/0.2064)² = 0.003214

答案

S = 0.003214

即每千米下降 3.214 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 82 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·54 = 79.46 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 79.46/96.9 = 82%

答案

η = 82%

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 3.775 kW

速度

V = Q/A = 0.025/0.01767 = 1.415 m/s

V²/(2g) = 0.102 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (14.67 + 5)·0.102 = 2.006 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 8 + 2.006 = 10.01 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.025·10.01/0.65 = 3.775 kW

答案

P_shaft = 3.775 kW

25.货币的时间价值

答案: FV = 2394 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = m·n = 12·5 = 60

终值

FV = 2 000·(1 + 0.003)⁶⁰ = 2 000·1.197 = €2 393.79

答案

FV = €2 393.79

26.货币的时间价值

答案: A = 185.7 €

月利率和还款期数

i = 0.054000000000000006/12 = 0.0045

N = 12·4 = 48

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8061

A = 8 000·0.0045/(1 − 0.8061) = €185.69

答案

A = €185.69

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 50000 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

现金流的价值

PV = 44 000/(0.11 − 0.03) = 550 000.00

NPV

NPV = 550 000.00 − 500 000 = €50 000.00

答案

NPV = €50 000.00

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 29.69 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 656.00

NPV(30%) = −40.96

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·656.00/(656.00 − (−40.96)) = 29.71%

精确: NPV(29.69%) = 0 → IRR = 29.69%

答案

IRR = 29.69%

29.正态分布

答案: z = 0.5

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.3085 = 0.6915

反向查 z 表

在表中找到 0.6915，读出 z。

z = 0.50

答案

z = 0.50

30.正态分布

答案: P = 0.8849

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 25.03 − 25 = 0.03 mm, σ = 0.025 mm

标准化

z = (0 − 0.03)/0.025 = −1.2

概率

P = 1 − Φ(−1.2) = 0.8849

答案

P = 0.8849

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