FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 6 mP₁ = 30 kN 位于 3.5 mP₂ = 40 kN 位于 4.5 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为 6 kN/m，到自由端 B 减小到零；另在距墙 5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 8 mw₀ = 6 kN/mP = 10 kN 位于 5 m

M_A = kN·m

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 30 kN ↓G: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 5 m高度 = 2 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 30 kN ←

F_AB = kN

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 4.5 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 6 kN/m，从 0 到 8 mx = 4.5 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

55 kN @ 0 m25 kN @ 12 m60 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.梁的挠度中等

长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 3 kNa = 2 mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁在跨中承受集中荷载 P。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 6 mP = 35 kN 位于 3 m

R_B = kN

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1 mE = 200 GPa (钢)d = 25 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端铰接。它需承受 75 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 75 kNn = 3L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 195 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 300 mmd = 30 mm孔心: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 300 mm 的板有一个宽 80 mm、高 40 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 210 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 300 mm切口: 80 × 40 mm孔心: y = 210 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 2 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 20 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 8 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³黏土: γ_sat = 19 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 2.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.5，C_r = 0.03，e₀ = 0.65。其中点深度处的竖向有效应力为 80 kPa ，先期固结压力为 190 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 220 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 2.5 mC_c = 0.5C_r = 0.03e₀ = 0.65σ′₀ = 80 kPaσ′_p = 190 kPaΔσ = 220 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 19 mm、上下两面排水的黏土试样在 6 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 2 m 的土层。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 19 mmt_lab = 6 minH = 2 m现场：双面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 1 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 75 L/s 的流量流过一根长 500 m、内径 300 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.028，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 75 L/sL = 500 mD = 300 mmf = 0.028g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 18 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 18 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 2K_exit = 1.0

Q = L/s

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条矩形清洁土渠渠道宽 4.5 m。水以 1.2 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.022，底坡 S = 0.001。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 4.5 my = 1.2 mn = 0.022S = 0.001

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 600 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.9 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 600 mmn = 0.013V = 0.9 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 68 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 8.1 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 10 L/sH = 68 mP_shaft = 8.1 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 10 m 的上游水箱。管道长 150 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 82%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 75 L/sΔz = 10 mL = 150 mD = 250 mmf = 0.018ΣK = 5η = 82%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

你以每年 2% 的利率连续复利投资 €20 000。求 9 年后的价值 FV。

PV = €20 000r = 2%t = 9

FV = €

26.货币的时间价值困难

你以每年 3.6% 的利率借入 €25 000，按月复利，每月月末偿还 €575。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €25 000A = €5753.6% / 12

N = 次还款

27.NPV 与 IRR中等

一个项目今天需投入 €60 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €14 500, €24 500, €12 500, €15 500, €14 500。资本成本为 8%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 14 500CF₂ = 24 500CF₃ = 12 500CF₄ = 15 500CF₅ = 14 500

DPB = 年

28.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €22 500，之后每年增长 4%，直到第 6 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

C₀ = €150 000CF₁ = €22 500g = 4%n = 6r = 12%

NPV = €

29.正态分布中等

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 166.8 和 190.6 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x₁ = 166.8x₂ = 190.6

P =

30.正态分布困难

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 25% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h25%

x = h

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 22.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·3.5 + 40·4.5

R_B = 285/6 = 47.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 47.5 = 22.5 kN

答案

R_A = 22.5 kN

2.梁的支座反力

答案: M_A = 114 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·6·8 = 24 kN

x̄ = L/3 = 2.667 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 24·2.667 + 10·5 = 114 kN·m

答案

M_A = 114 kN·m

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 32.5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 17.5 kN (T), FG: 32.5 kN (C), GH: 17.5 kN (C), AF: 45.96 kN (C), HE: 24.75 kN (C), BF: 32.5 kN (T), CG: 0, DH: 17.5 kN (T), BG: 3.536 kN (C), DG: 24.75 kN (C)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: F_AB = −35.78 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·5 = 25·1 − 30·2 → C_y = −7 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −7 = 32 kN

ΣF_x = 0: A_x = 30 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 2/2.236 = 0.8944

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −32/0.8944 = −35.78 kN

答案

F_AB = −35.78 kN (受压)

5.剪力和弯矩

答案: V_x = −3 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN，作用于 x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 6·8·4

R_B = 192/8 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 48 − 24 = 24 kN

在 x = 4.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 24 − 6·4.5 = −3 kN

答案

V_x = −3 kN

6.剪力和弯矩

答案: B (x = 2 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 76.67 kN, R₂ = 63.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −110 kN·m, M_C = −66.67, M_D = −23.33, M_E = −100, M_F = −50, M_G = 0

答案

标记点 B: M_B = −110 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_P = 13.45 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 3000 N, a = 2000 mm, L = 6000 mm

EI = 5.95 × 10¹¹ N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa³/(3EI) = 3000·2000³/(3·5.95 × 10¹¹) = 13.45 mm

答案

δ_P = 13.45 mm

8.梁的挠度

答案: R_B = 10.94 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → R_B = 5P/16 = 5·35/16 = 10.94 kN

答案

R_B = 10.94 kN

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 37.85 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

计算长度

KL = 1·1000 = 1000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/1000² = 37849 N = 37.85 kN

答案

P_cr = 37.85 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 80.25 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·75000 = 225000 N

KL = 1·2500 = 2500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·2500²/(π³·70000))^(1/4) = 80.25 mm

答案

d = 80.25 mm

校核：长细比 KL/r 为 124.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 336 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (45000·150 − 706.9·195)/(45000 − 706.9) = 149.3 mm

完整的板关于 ȳ

150·300³/12 + 45000·0.7181² = 337.5 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·45.72² = 1.517 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 336 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 336 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 256.9 × 10⁶ mm⁴

形心

ȳ = (36000·150 − 3200·210)/(36000 − 3200) = 144.1 mm

完整的板关于 ȳ

120·300³/12 + 36000·5.854² = 271.2 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

80·40³/12 + 3200·65.85² = 14.3 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 256.9 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 256.9 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ′ = 26.19 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·1 + 20·1 = 36 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·1 = 9.81 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 36 − 9.81 = 26.19 kPa

答案

σ′ = 26.19 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 87.64 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·2 + γ_sat,sand·3 + γ_sat,clay·3

σ = 15.5·2 + 19.5·3 + 19·3 = 146.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 146.5 − 58.86 = 87.64 kPa

答案

σ′ = 87.64 kPa

15.固结沉降

答案: S = 167.4 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 80 + 220 = 300 kPa > 190 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.03·2.5/(1 + 0.65)·log₁₀(190/80) + 0.5·2.5/(1 + 0.65)·log₁₀(300/190)

S = 17.08 + 150.3 = 167.4 mm

答案

S = 167.4 mm

16.固结沉降

答案: t = 46.17 天

排水路径

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 2/2 = 1 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 6·(1/0.0095)² = 66482 min

t_field = 66482/1440 = 46.17 天

答案

t = 46.17 天

17.静水压力

答案: F = 137.3 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·4 = 137.3 kN

答案

F = 137.3 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 2.042 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2·2 = 40.22 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2 + 0.1667/(2·2) = 2.042 m

答案

y_cp = 2.042 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 2.678 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.3²/4 = 0.07069 m²

V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.061²/(2·9.81) = 0.05738 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.028·(500/0.3)·1.061²/(2·9.81) = 2.678 m

答案

h_f = 2.678 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 125.6 L/s

损失系数

f·L/D = 0.018·200/0.2 = 18

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

18 = (18 + 4.1)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·18/22.1) = 3.998 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 3.998·0.03142 = 0.1256 m³/s = 125.6 L/s

答案

Q = 125.6 L/s

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 6.592 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = b·y = 4.5·1.2 = 5.4 m²

P = b + 2y = 4.5 + 2·1.2 = 6.9 m

R = A/P = 0.7826 m

速度

V = (1/0.022)·0.7826^2/3·0.001^1/2 = 1.221 m/s

流量

Q = A·V = 5.4·1.221 = 6.592 m³/s

答案

Q = 6.592 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001718 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.9/0.2823)² = 0.001718

答案

S = 0.001718

即每千米下降 1.718 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 82.36 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·68 = 6.671 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 6.671/8.1 = 82.36%

答案

η = 82.36%

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 10.66 kW

速度

V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s

V²/(2g) = 0.119 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (10.8 + 5)·0.119 = 1.88 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 10 + 1.88 = 11.88 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·11.88/0.82 = 10.66 kW

答案

P_shaft = 10.66 kW

25.货币的时间价值

答案: FV = 23944 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

指数

r·t = 0.02·9 = 0.18

e^0.18 = 1.197

终值

FV = 20 000·1.197 = €23 944.35

答案

FV = €23 944.35

26.货币的时间价值

答案: N = 47 次还款

将年金公式变形

i = 0.003

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0.003/575 = 0.8696

用对数求解

N = −ln(0.8696)/ln(1.003) = 46.66

向上取整到整次还款

46 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 47

答案

N = 47 次还款

27.NPV 与 IRR

答案: DPB = 4.431 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 14 500/1.08 = 13 425.93 → Σ = 13 425.93

年份 2: 24 500/1.166 = 21 004.80 → Σ = 34 430.73

年份 3: 12 500/1.26 = 9 922.90 → Σ = 44 353.63

年份 4: 15 500/1.36 = 11 392.96 → Σ = 55 746.59

年份 5: 14 500/1.469 = 9 868.46 → Σ = 65 615.05

最后一年的分数

DPB = 4 + 4 253.41/9 868.46 = 4.431

答案

DPB = 4.431 年

折现回收期总是长于简单回收期（3.548 年）。

28.NPV 与 IRR

答案: NPV = −49045 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.04)/(1.12))⁶ = 0.641

PV = 22 500/(0.12 − 0.04)·(1 − 0.641) = 100 954.69

NPV

NPV = 100 954.69 − 150 000 = −€49 045.31

答案

NPV = −€49 045.31

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

29.正态分布

答案: P = 0.9093

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (166.8 − 178)/7 = −1.6

z₂ = (190.6 − 178)/7 = 1.8

中间面积

P = Φ(1.8) − Φ(−1.6) = 0.9641 − 0.0548 = 0.9093

答案

P = 0.9093

30.正态分布

答案: x = 473 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.25

由表得到的 z

z ≈ −0.67

回到原来的单位

x = 500 − 0.67·40 = 473 h

答案

x = 473 h

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