FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

土中有效应力

总应力
σ = Σγi·hi
孔隙水压力
u = γw·(z − zw)
有效应力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最终应力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
超固结，σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
超固结比
OCR = σ′p/σ′0
固结时间
t = Tv·Hdr²/cv
排水路径
Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
水力半径
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形
A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流
R = D/4
所需坡度
S = (n·Q/(A·R2/3))²

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数
z = (x − μ)/σ
小于 x
P(X < x) = Φ(z)
大于 x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间
Φ(z2) − Φ(z1)
百分位数
x = μ + z·σ

方法

  1. 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
  3. 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
  4. 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 25 kNP2​ = 75 kNABCRB​ = ?3 m2 m3 m

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RB，以向上为正。

AB = 5 mAC = 8 mP1 = 25 kN 位于 3 mP2 = 75 kN 位于 8 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 8 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?RB​1 m0.5 m2.5 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RA。

L = 4 mP = 50 kN 位于 1.5 mw = 8 kN/m，从 1 到 4 m
RA = kN
3.桁架：节点法中等
ABBCACACB20 kN8 m7 m4 m

用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 7 m竖向荷载 = 20 kN
FAC = kN
4.桁架：节点法困难
ABBCACACB40 kN25 kN4 m1 m4 m

用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 40 kN水平荷载 = 25 kN ←
FAB = kN
5.剪力和弯矩中等
w = 4 kN/mAB截面6.5 m1.5 m

求距支座 A 为 x = 6.5 m 的截面处的剪力 Vx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mw = 4 kN/m，从 0 到 8 mx = 6.5 m
Vx = kN
6.剪力和弯矩困难
w = 2 kN/mP = 15 kNAB截面1 m0.5 m2.5 m

求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 4 mP = 15 kN 位于 1.5 mw = 2 kN/m，从 0 到 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.梁的挠度中等
P = 18 kNABδ2.5 m3.5 m

简支梁在距支座 A 为 a = 2.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δP。

P = 18 kNa = 2.5 mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
w = 1.5 kN/mABδ6 m

一根矩形截面的简支木梁，宽 75 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/300。求截面的最小高度 hreq。

w = 1.5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)b = 75 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
PL = 2.5 m50 × 100 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 50 × 100 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
P = 5 kNL = 3 md = ?横截面

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 5 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 5 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.形心和惯性矩中等
1604801212x尺寸单位为 mm

对称工字形截面的翼缘宽 160 mm、厚 12 mm，总高度 480 mm，腹板厚 12 mm。 求其对水平形心轴 x 的惯性矩 Ix。

B = 160 mmH = 480 mmtf = 12 mmtw = 12 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
1103002214xM = 100 kN·m尺寸单位为 mm

对称工字形截面的翼缘宽 110 mm、厚 22 mm，总高度 300 mm，腹板厚 14 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 100 kN·m。 求截面中最大弯曲应力 σmax 的大小。

B = 110 mmH = 300 mmtf = 22 mmtw = 14 mmM = 100 kN·m
σmax = MPa
13.土中有效应力中等
砂γd​ = 16 kN/m³γsat​ = 18.5 kN/m³11 m地下水位Xz = 7 m

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 7 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³
σ′ = kPa
14.土中有效应力困难
砂γd​ = 15 kN/m³γsat​ = 20 kN/m³5 m黏土γsat​ = 17 kN/m³5 m地下水位Xz = 7.5 m

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 7.5 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³黏土: γsat = 17 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
Δσ = 25 kPa砂黏土Cc​ = 0.25, Cr​ = 0.05e0​ = 0.9σ′0​ = 55 kPaσ′p​ = 85 kPa4 m地下水位

一层厚 4 m 的超固结黏土，Cc = 0.25，Cr = 0.05，e₀ = 0.9。其中点深度处的竖向有效应力为 55 kPa ，先期固结压力为 85 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 25 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 4 mCc = 0.25Cr = 0.05e0 = 0.9σ′0 = 55 kPaσ′p = 85 kPaΔσ = 25 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
砂黏土H = 2 mcv​ = 2.5 m²/年份2 m砂地下水位

一层厚 2 m 的黏土，固结系数 cv = 2.5 m²/year。 它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。 平均固结度为 50% 时，时间因数 Tv = 0.197。该土层需要多少年 t 才能达到 50% 固结度？

H = 2 mcv = 2.5 m²/年份U = 50%Tv = 0.197双面排水
t = 年
17.静水压力中等
闸门d = 2.5 mH = 2.5 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
闸门d = 2.5 mH = 2 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 2.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管道摩擦与水头损失中等
V = 2.9 m/sD = 75 mmL = 400 mf = 0.018

水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.9 m/s 的速度流过一根长 400 m、内径 75 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。

V = 2.9 m/sL = 400 mD = 75 mmf = 0.018ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管道摩擦与水头损失困难
K = 10Δz = 31 mL = 100 m, D = 150 mm, f = 0.0222× 弯头 (K = 0.3)

两个敞口水池由一根长 100 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 31 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 31 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
21.明渠流（曼宁公式）中等
D = 750 mmn = 0.013, S = 0.0008

一根内径 750 mm 的混凝土雨水管半满流。 曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.0008。求流量 Q，以 m³/s 计。

D = 750 mmn = 0.013S = 0.0008
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
b = 4 my = 1.3 m1.5 : 1n = 0.014, Q = 11 m³/s

一条底宽 4 m、边坡 1.5:1（水平:竖直）的梯形未抹面混凝土渠道 须以 1.3 m 的水深均匀输送 11 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.014。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 11 m³/sb = 4 my = 1.3 mz = 1.5n = 0.014
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
PQ = 10 L/sH = 26 m

一台水泵以 26 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 65%，驱动它的电动机效率为 95%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。

Q = 10 L/sH = 26 mηpump = 65%ηmotor = 95%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
24.水泵与泵功率困难
PQ = 100 L/sΔz = 8 mL = 600 m, D = 250 mm, f = 0.015, ΣK = 8

一台水泵把 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 8 m 的上游水箱。管道长 600 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。

Q = 100 L/sΔz = 8 mL = 600 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 8
H = m
25.货币的时间价值中等
年012345PV = ?€15 000

你在 5 年后需要 €15 000。某账户年利率 2%，按季度复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €15 0002% / 4n = 5
PV = €
26.货币的时间价值困难
年012345€6 000€6 000€6 000FV = ?

你在每年年初存入 €6 000，共 5 年，第一笔今天存入。账户年利率为 7%。第 5 年年末账户里有多少钱？求 FV。

A = €6 000i = 7%n = 5
FV = €
27.NPV 与 IRR中等
年0123−75 00022 00029 00019 000

一项 €75 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€22 000, €29 000, €19 000。资本成本为 15%。求净现值 NPV。

r = 15%CF0 = −75 000CF1 = 22 000CF2 = 29 000CF3 = 19 000
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
年0123…10−100 00012 000+4%+4%+4%r = 8%, NPV = ?

一个项目今天需投入 €100 000。其现金流在第 1 年年末为 €12 000，之后每年增长 4%，直到第 10 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。

C0 = €100 000CF1 = €12 000g = 4%n = 10r = 8%
NPV = €
29.正态分布中等
−3−2−10123zz 右侧的阴影面积 = 0.2843

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.2843。求 z，保留两位小数。

A = 0.2843
z =
30.正态分布困难
μ = 500x = ?20%

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。求数值 x，使得有 20% 的数据低于它（第 20 百分位数）。

μ = 500σ = 40P = 20%
x = h

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 135 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣMA = 0: RB·5 = 25·3 + 75·8
RB = 675/5 = 135 kN

竖向平衡

RA = 25 + 75 − 135 = −35 kN

答案

RB = 135 kN

RA 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

2.梁的支座反力

答案: RA = 40.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 8 kN/mP = 50 kNABRA​RB​1 m0.5 m2.5 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·3 = 24 kN，作用于 x̄ = 2.5 m
ΣMA = 0: RB·4 = 50·1.5 + 8·3·2.5
RB = 135/4 = 33.75 kN
ΣFy = 0: RA = 74 − 33.75 = 40.25 kN

答案

RA = 40.25 kN
3.桁架：节点法

答案: FAC = 4.375 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB20 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 20·7 → Cy = 17.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 20 − 17.5 = 2.5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/4.123 = 0.9701, cos γ = 1/4.123 = 0.2425
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −17.5/0.9701 = −18.04 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−18.04)·0.2425 = 4.375 kN

答案

FAC = 4.375 kN (受拉)
4.桁架：节点法

答案: FAB = −56.69 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB40 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·1 − 25·4 → Cy = −15 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − −15 = 55 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 4/4.123 = 0.9701
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −55/0.9701 = −56.69 kN

答案

FAB = −56.69 kN (受压)
5.剪力和弯矩

答案: Vx = −10 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 4·8·4
RB = 128/8 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 4 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16截面6.5 m1.5 m

在 x = 6.5 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = RA − （截面左侧所有向下荷载）
Vx = 16 − 4·6.5 = −10 kN

答案

Vx = −10 kN
6.剪力和弯矩

答案: Mx = 12.38 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·4 = 8 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 15·1.5 + 2·4·2
RB = 38.5/4 = 9.625 kN
ΣFy = 0: RA = 23 − 9.625 = 13.38 kN
w = 2 kN/mP = 15 kNABRA​ = 13.38RB​ = 9.625截面1 m0.5 m2.5 m

在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 13.38·1 − 2·1·0.5 = 12.38 kN·m

答案

Mx = 12.38 kN·m
7.梁的挠度

答案: δP = 4.557 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 18000 N, a = 2500 mm, b = 3500 mm, L = 6000 mm
EI = 1.68 × 10¹³ N·mm²

荷载作用处的挠度

δP = Pa²b²/(3EIL) = 18000·2500²·3500²/(3·1.68 × 10¹³·6000) = 4.557 mm

答案

δP = 4.557 mm
8.梁的挠度

答案: hreq = 264 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 1.5 N/mm, L = 6000 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δallow = L/300 = 6000/300 = 20 mm

所需惯性矩

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1.5·6000⁴/(384·11000·20) = 1.151 × 10⁸ mm⁴

所需高度

bh³/12 = Ireq → h = (12·1.151 × 10⁸/75)1/3 = 264 mm

答案

hreq = 264 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: Pcr = 329 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 100·50³/12 = 1.042 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·1.042 × 10⁶/2500² = 328987 N = 329 kN

答案

Pcr = 329 kN
10.柱的屈曲

答案: d = 23.21 mm

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

所需临界荷载

Pcr = n·P = 2.5·5000 = 12500 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·12500·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 23.21 mm

答案

d = 23.21 mm

校核：长细比 KL/r 为 258.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: Ix = 305.1 × 10⁶ mm⁴

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = Ic + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。

hw = 480 − 2·12 = 456 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (160·480³ − 148·456³)/12
Ix = 3.051 × 10⁸ mm⁴ = 305.1 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 305.1 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩

答案: σmax = 132.4 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

外矩形减去两侧的空缺部分

两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。

hw = 300 − 2·22 = 256 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (110·300³ − 96·256³)/12
Ix = 1.133 × 10⁸ mm⁴

弯曲应力

y = 150 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁸·150/1.133 × 10⁸ = 132.4 MPa

答案

σmax = 132.4 MPa
13.土中有效应力

答案: σ′ = 75.45 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·2 + 18.5·5 = 124.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 124.5 − 49.05 = 75.45 kPa

答案

σ′ = 75.45 kPa
14.土中有效应力

答案: σ′ = 73.73 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γd·1 + γsat,sand·4 + γsat,clay·2.5
σ = 15·1 + 20·4 + 17·2.5 = 137.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γw·(z − zw) = 9.81·6.5 = 63.77 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 137.5 − 63.77 = 73.73 kPa

答案

σ′ = 73.73 kPa
15.固结沉降

答案: S = 17.13 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′f = 55 + 25 = 80 kPa ≤ 85 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.05·4/(1 + 0.9)·log₁₀(80/55) = 17.13 mm

答案

S = 17.13 mm
16.固结沉降

答案: t = 0.0788 年

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

排水路径

Hdr = H/2 = 2/2 = 1 m

时间

t = Tv·Hdr²/cv = 0.197·1²/2.5 = 0.0788 年

答案

t = 0.0788 年
17.静水压力

答案: F = 275.9 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
闸门d = 2.5 mH = 2.5 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.75·7.5 = 275.9 kN

答案

F = 275.9 kN
18.静水压力

答案: ycp = 3.595 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 2.5 + 2/2 = 3.5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
闸门d = 2.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.5·6 = 206 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.5 + 2/(3.5·6) = 3.595 m

答案

ycp = 3.595 m
19.管道摩擦与水头损失

答案: Δp = 403.7 kPa

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

水头损失

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(400/0.075)·2.9²/(2·9.81) = 41.15 m

压降

管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。

Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·41.15 = 403680 Pa = 403.7 kPa

答案

Δp = 403.7 kPa
20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 84.24 L/s

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

损失系数

f·L/D = 0.022·100/0.15 = 14.67
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

31 = (14.67 + 12.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·31/26.77) = 4.767 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 4.767·0.01767 = 0.08424 m³/s = 84.24 L/s

答案

Q = 84.24 L/s
21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 0.1574 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = 0.2209 m², R = D/4 = 0.1875 m

速度

V = (1/0.013)·0.18752/3·0.00081/2 = 0.7127 m/s

流量

Q = A·V = 0.2209·0.7127 = 0.1574 m³/s

答案

Q = 0.1574 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0004628 m/m

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4 + 1.5·1.3)·1.3 = 7.735 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4 + 2·1.3·√(1 + 1.5²) = 8.687 m
R = A/P = 0.8904 m

由曼宁公式解 S

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.014·11/(7.735·0.9255) = 0.02151
S = 0.02151² = 0.0004628

答案

S = 0.0004628

即每千米下降 0.4628 m。

23.水泵与泵功率

答案: Pel = 4.131 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·26 = 2.551 kW

轴功率

Pshaft = 2.551/0.65 = 3.924 kW

电功率

Pel = 3.924/0.95 = 4.131 kW

答案

Pel = 4.131 kW
24.水泵与泵功率

答案: H = 17.31 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s
V²/(2g) = 0.2115 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0.2115 = 9.307 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + hL = 8 + 9.307 = 17.31 m

答案

H = 17.31 m
25.货币的时间价值

答案: PV = 13576 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.02/4 = 0.005
N = 4·5 = 20

现值

PV = FV/(1 + i)N = 15 000/1.105 = €13 575.94

答案

PV = €13 575.94
26.货币的时间价值

答案: FV = 36920 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

普通年金系数

((1 + 0.07)5 − 1)/0.07 = 5.751

先付年金

每笔存款都多投资一年。

FV = 6 000·5.751·1.07 = €36 919.74

答案

FV = €36 919.74
27.NPV 与 IRR

答案: NPV = −21449 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF0 = −75 000
CF1/(1 + 0.15)1 = 22 000/1.15 = 19 130.43
CF2/(1 + 0.15)2 = 29 000/1.322 = 21 928.17
CF3/(1 + 0.15)3 = 19 000/1.521 = 12 492.81

相加

NPV = €−21 448.59

答案

NPV = €−21 448.59

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: NPV = −5692 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

增长型年金的现值

((1.04)/(1.08))10 = 0.6856
PV = 12 000/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.6856) = 94 308.15

NPV

NPV = 94 308.15 − 100 000 = −€5 691.85

答案

NPV = −€5 691.85

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

29.正态分布

答案: z = 0.57

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.2843 = 0.7157

反向查 z 表

在表中找到 0.7157，读出 z。

z = 0.57

答案

z = 0.57
30.正态分布

答案: x = 466.3 h

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.2 → z = −0.8416

换算回 x

x = 500 + −0.8416·40 = 466.34 h

答案

x = 466.34 h

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