FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
均布荷载
合力 w·L 作用在荷载中点
力矩
M = F·d

方法

  1. 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
  2. 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
  3. 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
  4. 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
截面法
ΣM = 0 about a cut point
杆件内力
正 = 拉，负 = 压

方法

  1. 求整个桁架的支座反力。
  2. 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
  3. 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
  4. 假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩
V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力
σ = M·y/I
矩形
I = bh³/12
抗弯截面系数
W = I/ymax
简支梁，均布荷载
Mmax = wL²/8

方法

  1. 由整根梁的平衡求支座反力。
  2. 在所需截面处截开梁，保留一侧。
  3. 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
  4. 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载
δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支
δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载
δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载
δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理
δ = δ1 + δ2

柱的屈曲

欧拉临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)²
计算长度系数
K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力
σcr = Pcr/A
长细比
λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心
ȳ = ΣAiyi/ΣAi
矩形
I = bh³/12
平行移轴定理
I = Ic + A·d²
组合截面
I = Σ(Ic,i + Aidi²)

土中有效应力

总应力
σ = Σγi·hi
孔隙水压力
u = γw·(z − zw)
有效应力
σ′ = σ − u
水
γw = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结
S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
最终应力
σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′f ≤ σ′p
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
超固结，σ′f > σ′p
S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
超固结比
OCR = σ′p/σ′0
固结时间
t = Tv·Hdr²/cv
排水路径
Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数
U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强
p = ρgh
竖直壁面上的力
F = ρg·hc·A
压力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
矩形
Ic = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数
Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态
Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速
V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失
hm = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值
进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降
Δp = ρ·g·hf
两个敞口水池
Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流
H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式
V = (1/n)·R2/3·S1/2
流量
Q = A·V
水力半径
R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形
A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）
A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流
R = D/4
所需坡度
S = (n·Q/(A·R2/3))²

水泵与泵功率

水功率
Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率
Pshaft = Ph/ηpump
电功率
Pel = Pshaft/ηmotor
泵扬程
H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
系统损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值
FV = PV·(1 + i)n
现值
PV = FV/(1 + i)n
每年多个计息期
i = r/m, N = m·n
年金现值
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
年金终值
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

方法

  1. 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
  2. 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
  3. 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
  4. 检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
等额现金流
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
内部收益率
使 NPV = 0 的 r
决策
NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

  1. 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
  2. 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
  3. 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
  4. 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数
z = (x − μ)/σ
小于 x
P(X < x) = Φ(z)
大于 x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间
Φ(z2) − Φ(z1)
百分位数
x = μ + z·σ

方法

  1. 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
  2. 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
  3. 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
  4. 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等
P1​ = 40 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​ = ?5 m2 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 8 mP1 = 40 kN 位于 5 mP2 = 60 kN 位于 7 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
w = 3 kN/mP = 15 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m2 m1 m

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。

L = 5 mP = 15 kN 位于 1 mw = 3 kN/m，从 2 到 4 m
RB = kN
3.桁架：节点法中等
ABBCACACB25 kN4 m1 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 25 kN
FBC = kN
4.桁架：节点法困难
ABBCACACB55 kN25 kN8 m1 m4 m

用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 1 m竖向荷载 = 55 kN水平荷载 = 25 kN ←
FBC = kN
5.剪力和弯矩中等
4 kN/m35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

35 kN @ 4 m4 kN/m, 0–12 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
6.剪力和弯矩困难
w = 8 kN/mP = 60 kNAB3 m5 m

简支梁全跨承受均布荷载 w，并承受一个集中荷载 P。求梁中的最大弯矩 Mmax。

L = 8 mP = 60 kN 位于 3 mw = 8 kN/m，从 0 到 8 m
Mmax = kN·m
7.梁的挠度中等
w = 12 kN/mδL = 2 m

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。

w = 12 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
w = 20 kN/mδL = 2 m

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。

w = 20 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (钢)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
PL = 3 m50 × 80 mm横截面

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。

L = 3 mE = 70 GPa (铝)b × h = 50 × 80 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
PL = 6 md = 50 mm横截面

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。

L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 50 mm
σcr = MPa
11.形心和惯性矩中等
180151408x尺寸单位为 mm

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。

bf = 180 mmtf = 15 mmtw = 8 mmhw = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
150 mm150 mm105 mm30 × 30xIx​ = ?

一块 150 mm × 150 mm 的板有一个宽 30 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。

b = 150 mmh = 150 mm切口: 30 × 30 mm孔心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力中等
砂γd​ = 15.5 kN/m³γsat​ = 19.5 kN/m³7 m地下水位Xz = 7 m

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 7 mzw = 4 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³
u = kPa
14.土中有效应力困难
砂γd​ = 15.5 kN/m³γsat​ = 18.5 kN/m³6 m黏土γsat​ = 18 kN/m³7 m地下水位Xz = 9.5 m

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 9.5 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³黏土: γsat = 18 kN/m³
σ = kPa
15.固结沉降中等
Δσ = 30 kPa砂黏土Cc​ = 0.25, Cr​ = 0.02e0​ = 0.75σ′0​ = 90 kPaσ′p​ = 180 kPa6.5 m地下水位

一层厚 6.5 m 的超固结黏土，Cc = 0.25，Cr = 0.02，e₀ = 0.75。其中点深度处的竖向有效应力为 90 kPa ，先期固结压力为 180 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 30 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 6.5 mCc = 0.25Cr = 0.02e0 = 0.75σ′0 = 90 kPaσ′p = 180 kPaΔσ = 30 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
砂黏土H = 4 mcv​ = 1.2 m²/年份4 m不透水岩层地下水位

一层厚 4 m 的黏土，固结系数 cv = 1.2 m²/year。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 平均固结度为 70% 时，时间因数 Tv = 0.403。该土层需要多少年 t 才能达到 70% 固结度？

H = 4 mcv = 1.2 m²/年份U = 70%Tv = 0.403单面排水
t = 年
17.静水压力中等
闸门d = 1.5 mH = 2 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
闸门d = 1 mH = 1 m

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管道摩擦与水头损失中等
Q = 4 L/sD = 75 mmL = 50 mf = 0.03

水以 4 L/s 的流量流过一根长 50 m、内径 75 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。

Q = 4 L/sL = 50 mD = 75 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
K = 2自由出流H = ?L = 300 m, D = 300 mm, f = 0.0153× 弯头 (K = 0.3)

一根长 300 m、内径 300 mm（达西摩擦系数 f = 0.015）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 80 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 80 L/sL = 300 mD = 300 mmf = 0.015Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2
H = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
b = 3.5 my = 2.1 m2 : 1n = 0.012, S = 0.0005

一条梯形抹面混凝土渠道底宽 3.5 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 2.1 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3.5 my = 2.1 mz = 2n = 0.012S = 0.0005
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
b = 5 my = 2.3 m1 : 1n = 0.022, Q = 54 m³/s

一条底宽 5 m、边坡 1:1（水平:竖直）的梯形清洁土渠渠道 须以 2.3 m 的水深均匀输送 54 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.022。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 54 m³/sb = 5 my = 2.3 mz = 1n = 0.022
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
PQ = 50 L/sH = 24 m

在一次试验中，水泵以 24 m 的扬程输送 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 13.8 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 50 L/sH = 24 mPshaft = 13.8 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.水泵与泵功率困难
400 kPa (表压)PQ = 80 L/sΔz = 28 mL = 200 m, D = 200 mm, f = 0.018, ΣK = 8

一台水泵把 80 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 28 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 400 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 80 L/sΔz = 28 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.018ΣK = 8ptank = 400 kPa
H = m
25.货币的时间价值中等
期数0123411 + EAR = ?19.5% / 4

一张信用卡的名义年利率为 19.5%，按季度复利。求实际年利率 EAR，以百分比表示。

r = 19.5%m = 4
EAR = %
26.货币的时间价值困难
月0123…204A?AA€10 000

你希望在 17 年后得到 €10 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 4.8%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €10 0004.8% / 12N = 204
A = €
27.NPV 与 IRR中等
年012345−20 0008 5005 5007 0004 0008 500

一个项目今天需投入 €20 000，在第 1 年到第 5 年的每年年末回报 €8 500, €5 500, €7 000, €4 000, €8 500。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。

r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 8 500CF2 = 5 500CF3 = 7 000CF4 = 4 000CF5 = 8 500
DPB = 年
28.NPV 与 IRR困难
r (%)NPVABr* = ?0

项目 A 需投入 €10 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €5 500, €3 500, €2 500。项目 B 需投入 €15 000，回报为 €4 000, €5 500, €8 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −10 000, 5 500, 3 500, 2 500B: −15 000, 4 000, 5 500, 8 000
r* = %
29.正态分布中等
169.6185P = ?

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。介于 169.6 和 185 cm 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 178σ = 7x1 = 169.6x2 = 185
P =
30.正态分布困难
380420460500540580620h底部 85%

电池寿命 服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。拖动截断值，使阴影的后 85% 位于其左侧。求截断值 x。

μ = 500 hσ = 40 h85%
x = h

3溶液

1.梁的支座反力

答案: RB = 77.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

P1​ = 40 kNP2​ = 60 kNABRA​RB​5 m2 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣMA = 0: RB·8 = 40·5 + 60·7
RB = 620/8 = 77.5 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 77.5 = 22.5 kN

答案

RB = 77.5 kN
2.梁的支座反力

答案: RB = 6.6 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

w = 3 kN/mP = 15 kNABRA​RB​1 m1 m2 m1 m

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 3·2 = 6 kN，作用于 x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·1 + 3·2·3
RB = 33/5 = 6.6 kN
ΣFy = 0: RA = 21 − 6.6 = 14.4 kN

答案

RB = 6.6 kN
3.桁架：节点法

答案: FBC = −7.813 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB25 kNAy​Cy​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·4 = 25·1 → Cy = 6.25 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 6.25 = 18.75 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −6.25/0.8 = −7.813 kN

答案

FBC = −7.813 kN (受压)
4.桁架：节点法

答案: FBC = 11.34 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

ABBCACACB55 kN25 kNAy​Cy​Ax​

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣMA = 0: Cy·8 = 55·1 − 25·4 → Cy = −5.625 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − −5.625 = 60.63 kN
ΣFx = 0: Ax = 25 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 4/8.062 = 0.4961, cos γ = 7/8.062 = 0.8682
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −−5.625/0.4961 = 11.34 kN

答案

FBC = 11.34 kN (受拉)
5.剪力和弯矩

答案: C (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R1 = 47.33 kN, R2 = 35.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

MA = 0, MB = 86.67, MC = 157.3 kN·m, MD = 142, ME = 110.7, MF = 63.33, MG = 0

答案

标记点 C: MC = 157.3 kN·m
6.剪力和弯矩

答案: Mmax = 172.5 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·8 = 64 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·3 + 8·8·4
RB = 436/8 = 54.5 kN
ΣFy = 0: RA = 124 − 54.5 = 69.5 kN

V = 0 在哪里？

V(3⁻) = RA − w·3 = 45.5 kN
V(3⁺) = 45.5 − 60 = −14.5 kN
剪力在荷载处变号，所以最大值在荷载处。

最大弯矩

Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 69.5·3 − 8·3²/2 = 172.5 kN·m

答案

Mmax = 172.5 kN·m

它出现在距 A 为 x = 3 m 处。

7.梁的挠度

答案: δmax = 1.553 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 12 N/mm, L = 2000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²

挠度

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2000⁴/(384·1.61 × 10¹²) = 1.553 mm

答案

δmax = 1.553 mm
8.梁的挠度

答案: Ireq = 3.75 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δallow = L/360 = 2000/360 = 5.556 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·20·2000⁴/(384·200000·5.556) = 3.75 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 3.75 × 10⁶ mm⁴

答案

Ireq = 3.75 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲

答案: Pcr = 255.9 kN

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

Imin = h·b³/12 = 80·50³/12 = 833333 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

临界荷载

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·833333/1500² = 255879 N = 255.9 kN

答案

Pcr = 255.9 kN
10.柱的屈曲

答案: σcr = 17.48 MPa

欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

回转半径和长细比

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12.5 mm
KL = 0.7·6000 = 4200 mm
KL/r = 4200/12.5 = 336

临界应力

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/336² = 17.48 MPa

答案

σcr = 17.48 MPa
11.形心和惯性矩

答案: Ix = 6.635 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: Af = 180·15 = 2700 mm², yf = 140 + 15/2 = 147.5 mm
腹板: Aw = 8·140 = 1120 mm², yw = 140/2 = 70 mm

形心

ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (2700·147.5 + 1120·70)/3820 = 124.8 mm

平行移轴定理

翼缘: 180·15³/12 + 2700·(147.5 − 124.8)² = 1.445 × 10⁶ mm⁴
腹板: 8·140³/12 + 1120·(70 − 124.8)² = 5.19 × 10⁶ mm⁴
Ix = 1.445 × 10⁶ + 5.19 × 10⁶ = 6.635 × 10⁶ mm⁴ = 6.635 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 6.635 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩

答案: Ix = 41.28 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。

形心

ȳ = (22500·75 − 900·105)/(22500 − 900) = 73.75 mm

完整的板关于 ȳ

150·150³/12 + 22500·1.25² = 42.22 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

30·30³/12 + 900·31.25² = 0.9464 × 10⁶ mm⁴

相减

Ix = 41.28 × 10⁶ mm⁴

答案

Ix = 41.28 × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力

答案: u = 29.43 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γw·(z − zw) = 9.81·3 = 29.43 kPa

答案

u = 29.43 kPa
14.土中有效应力

答案: σ = 171 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γd·1 + γsat,sand·5 + γsat,clay·3.5
σ = 15.5·1 + 18.5·5 + 18·3.5 = 171 kPa

答案

σ = 171 kPa
15.固结沉降

答案: S = 9.281 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′f = 90 + 30 = 120 kPa ≤ 180 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.02·6.5/(1 + 0.75)·log₁₀(120/90) = 9.281 mm

答案

S = 9.281 mm
16.固结沉降

答案: t = 5.373 年

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

排水路径

Hdr = H = 4 m

时间

t = Tv·Hdr²/cv = 0.403·4²/1.2 = 5.373 年

答案

t = 5.373 年
17.静水压力

答案: F = 147.2 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1.5 + 2/2 = 2.5 m
A = H·b = 2·3 = 6 m²
闸门d = 1.5 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·6 = 147.2 kN

答案

F = 147.2 kN
18.静水压力

答案: ycp = 1.556 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

yc = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
闸门d = 1 mH = 1 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·1.5·3 = 55.62 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

Ic = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 1.5 + 0.25/(1.5·3) = 1.556 m

答案

ycp = 1.556 m
19.管道摩擦与水头损失

答案: hf = 0.8357 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²
V = Q/A = 0.004/0.004418 = 0.9054 m/s

速度水头

V²/(2g) = 0.9054²/(2·9.81) = 0.04178 m

达西–魏斯巴赫公式

hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(50/0.075)·0.9054²/(2·9.81) = 0.8357 m

答案

hf = 0.8357 m
20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 1.267 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。

速度

V = Q/A = 0.08/0.07069 = 1.132 m/s
V²/(2g) = 0.06529 m

损失系数

f·L/D = 0.015·300/0.3 = 15
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 = 3.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 15 + 3.4)·0.06529 = 1.267 m

答案

H = 1.267 m
21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 35.04 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3.5 + 2·2.1)·2.1 = 16.17 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·2.1·√(1 + 2²) = 12.89 m
R = A/P = 1.254 m

速度

V = (1/0.012)·1.2542/3·0.00051/2 = 2.167 m/s

流量

Q = A·V = 16.17·2.167 = 35.04 m³/s

答案

Q = 35.04 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.003025 m/m

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (5 + 1·2.3)·2.3 = 16.79 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5 + 2·2.3·√(1 + 1²) = 11.51 m
R = A/P = 1.459 m

由曼宁公式解 S

S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.022·54/(16.79·1.287) = 0.055
S = 0.055² = 0.003025

答案

S = 0.003025

即每千米下降 3.025 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 85.3 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·24 = 11.77 kW

效率

η = Ph/Pshaft = 11.77/13.8 = 85.3%

答案

η = 85.3%
24.水泵与泵功率

答案: H = 77.37 m

水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

速度

V = Q/A = 0.08/0.03142 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 8)·0.3305 = 8.593 m

压力水头

p/(ρ·g) = 400000/(1000·9.81) = 40.77 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 28 + 40.77 + 8.593 = 77.37 m

答案

H = 77.37 m
25.货币的时间价值

答案: EAR = 20.97 %

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

每期利率

r/m = 0.195/4 = 0.04875

复利一年

EAR = (1 + 0.04875)4 − 1 = 1.21 − 1 = 20.97%

答案

EAR = 20.97%

当一年内复利多于一次时，实际年利率总是高于名义利率。

26.货币的时间价值

答案: A = 31.8 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·17 = 204

存款额

A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 10 000·0.004/(2.258 − 1) = €31.80

答案

A = €31.80
27.NPV 与 IRR

答案: DPB = 3.382 年

回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。

折现现金流和累计现金流

年份 1: 8 500/1.06 = 8 018.87 → Σ = 8 018.87
年份 2: 5 500/1.124 = 4 894.98 → Σ = 12 913.85
年份 3: 7 000/1.191 = 5 877.33 → Σ = 18 791.18
年份 4: 4 000/1.262 = 3 168.37 → Σ = 21 959.56

最后一年的分数

DPB = 3 + 1 208.82/3 168.37 = 3.382

答案

DPB = 3.382 年

折现回收期总是长于简单回收期（2.857 年）。

28.NPV 与 IRR

答案: r* = 5.886 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF0 = −15 000 − (−10 000) = −5 000
ΔCF1 = 4 000 − 5 500 = −1 500
ΔCF2 = 5 500 − 3 500 = 2 000
ΔCF3 = 8 000 − 2 500 = 5 500

差额的 IRR

NPVΔ(5%) = 136.59
NPVΔ(6%) = −17.20
r* = 5.886%

答案

r* = 5.886%

校核：在 5.886% 时两个 NPV 都是 €421.75。

29.正态分布

答案: P = 0.7263

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (169.6 − 178)/7 = −1.2
z₂ = (185 − 178)/7 = 1

中间面积

P = Φ(1) − Φ(−1.2) = 0.8413 − 0.1151 = 0.7263

答案

P = 0.7263
30.正态分布

答案: x = 542 h

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.85

由表得到的 z

z ≈ 1.04

回到原来的单位

x = 500 + 1.04·40 = 542 h

答案

x = 542 h

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