梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 6 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RA，以向上为正。
AB = 6 mAC = 8 mP1 = 50 kN 位于 4 mP2 = 35 kN 位于 8 m
RA = kN
2.梁的支座反力困难
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 8 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。梁在距 A 为 6 m 处承受集中荷载 P，并从 4 m 到位于 10 m 的自由端承受均布荷载 w。求竖向反力 RA，以向上为正。
AB = 8 mAC = 10 mP = 65 kN 位于 6 mw = 3 kN/m，从 4 到 10 m
RA = kN
3.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
F: 25 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 20 kN ←
FAB = kN
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
50 kN @ 8 m4 kN/m, 4–12 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
6.剪力和弯矩困难
简支梁在部分跨度上承受均布荷载。 求梁中的最大弯矩 Mmax。
L = 6 mw = 8 kN/m，从 2 到 6 m
Mmax = kN·m
7.梁的挠度中等
简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δmax。
w = 2 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.梁的挠度困难
简支梁在三分点处（距每个支座 L/3）承受两个相等的集中荷载 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 24 kNL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 5 mE = 70 GPa (铝)d = 50 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 140 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。
P = 140 kNn = 2.5L = 4 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.形心和惯性矩中等
一块 100 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 120 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 100 mmh = 200 mmd = 60 mm孔心: y = 120 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
一块 200 mm × 240 mm 的板有一个宽 30 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 144 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 240 mm切口: 30 × 30 mm孔心: y = 144 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。
z = 5 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³
σ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 6.5 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³黏土: γsat = 18.5 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 5 m 的超固结黏土，Cc = 0.3，Cr = 0.02，e₀ = 1.2。其中点深度处的竖向有效应力为 80 kPa ，超固结比 OCR = 1.5。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 90 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 5 mCc = 0.3Cr = 0.02e0 = 1.2σ′0 = 80 kPaOCR = 1.5Δσ = 90 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
一层厚 3 m 的黏土，固结系数 cv = 1.5 m²/year。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 平均固结度为 90% 时，时间因数 Tv = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？
H = 3 mcv = 1.5 m²/年份U = 90%Tv = 0.848单面排水
t = 年
17.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管道摩擦与水头损失中等
水以 4 L/s 的流量流过一根长 100 m、内径 100 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 4 L/sL = 100 mD = 100 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 400 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 150 L/s？
Q = 150 L/sL = 400 mD = 250 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Δz = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形砖砌渠道底宽 5.5 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 2.5 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.015，底坡 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 5.5 my = 2.5 mz = 1n = 0.015S = 0.0015
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一条底宽 4.5 m、边坡 2:1（水平:竖直）的梯形砾石渠道 须以 2.4 m 的水深均匀输送 36 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 36 m³/sb = 4.5 my = 2.4 mz = 2n = 0.025
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
一台效率为 80% 的水泵以 16 m 的扬程输送 25 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 25 L/sH = 16 mη = 80%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 40 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 7 m 的上游水箱。管道长 500 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 200 kPa。求水泵须提供的扬程 H。
Q = 40 L/sΔz = 7 mL = 500 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 5ptank = 200 kPa
H = m
25.货币的时间价值中等
一处房产预计明年获得 €2 000 的净租金。租金预计每年永久增长 3%。要求回报率为每年 5%。求该房产今天的价值 PV。
C1 = €2 000g = 3%r = 5%
PV = €
26.货币的时间价值困难
一笔 €200 000 的抵押贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 2.4%，按月复利。在第 5 年年末那次还款之后，还欠多少？求未偿余额 B。
P = €200 0002.4% / 12N = 360k = 60
B = €
27.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €60 000，使用 8 年，每年运行费用为 €5 000（每年年末支付）。资本成本为 6%。求其等值年成本 EAC。
C0 = €60 000M = €5 000n = 8r = 6%
EAC = €
28.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €23 500, €19 500, €26 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −40 000CF1 = 23 500CF2 = 19 500CF3 = 26 500
IRR = %
29.正态分布中等
拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.9306。求 z，保留两位小数。
A = 0.9306
z =
30.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.04 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.04 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RA = 5 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·6 = 50·4 + 35·8
RB = 480/6 = 80 kN
竖向平衡
RA = 50 + 35 − 80 = 5 kN
答案
RA = 5 kN
2.梁的支座反力
答案: RA = 18.5 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
分布荷载的合力
W = 3·6 = 18 kN, x̄ = (4 + 10)/2 = 7 m
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·8 = 65·6 + 18·7
RB = 516/8 = 64.5 kN
RA = 83 − 64.5 = 18.5 kN
答案
RA = 18.5 kN
3.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 18.75 kN (T), BC: 12.5 kN (T), CD: 12.5 kN (T), DE: 6.25 kN (T), FG: 18.75 kN (C), GH: 6.25 kN (C), AF: 26.52 kN (C), HE: 8.839 kN (C), BF: 6.25 kN (C), CG: 0, DH: 6.25 kN (T), BG: 8.839 kN (T), DG: 8.839 kN (C)
答案
零杆: CG
4.桁架：节点法
答案: FAB = −40.56 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 50·6 − 20·4 → Cy = 27.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 27.5 = 22.5 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 4/7.211 = 0.5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −22.5/0.5547 = −40.56 kN
答案
FAB = −40.56 kN (受压)
5.剪力和弯矩
答案: E (x = 8 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 27.33 kN, R2 = 54.67 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 54.67, MC = 109.3, MD = 156, ME = 186.7 kN·m, MF = 101.3, MG = 0
答案
标记点 E: ME = 186.7 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mmax = 28.44 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN，作用于 x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 8·4·4
RB = 128/6 = 21.33 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 21.33 = 10.67 kN
剪力为零
剪力从 RA 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。
RA − w·(x0 − 2) = 0
x0 = 2 + 10.67/8 = 3.333 m
最大弯矩
Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 2)²/2 = 10.67·3.333 − 8·1.333²/2 = 28.44 kN·m
答案
Mmax = 28.44 kN·m
7.梁的挠度
答案: δmax = 1.671 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 3.99 × 10¹² N·mm²
挠度
δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·4000⁴/(384·3.99 × 10¹²) = 1.671 mm
答案
δmax = 1.671 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 33.86 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 24000 N, L = 4000 mm
EI = 1.61 × 10¹² N·mm²
一个荷载位于 L/3 处
δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm
δ₁ = 16.93 mm
两个荷载相加
δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 33.86 mm
答案
δmax = 33.86 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 33.91 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴
计算长度
KL = 0.5·5000 = 2500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·306796/2500² = 33913 N = 33.91 kN
答案
Pcr = 33.91 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 61.65 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 2.5·140000 = 350000 N
KL = 0.5·4000 = 2000 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·350000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 61.65 mm
答案
d = 61.65 mm
校核：长细比 KL/r 为 129.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 64.71 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (20000·100 − 2827·120)/(20000 − 2827) = 96.71 mm
完整的板关于 ȳ
100·200³/12 + 20000·3.293² = 66.88 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·60⁴/64 + 2827·23.29² = 2.17 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 64.71 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 64.71 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: Ix = 229.8 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (48000·120 − 900·144)/(48000 − 900) = 119.5 mm
完整的板关于 ȳ
200·240³/12 + 48000·0.4586² = 230.4 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
30·30³/12 + 900·24.46² = 0.6059 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 229.8 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 229.8 × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力
答案: σ = 93.5 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15.5·1 + 19.5·4 = 93.5 kPa
答案
σ = 93.5 kPa
14.土中有效应力
答案: σ′ = 72.6 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·2 + γsat,sand·1 + γsat,clay·3.5
σ = 16.5·2 + 19·1 + 18.5·3.5 = 116.8 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·4.5 = 44.15 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 116.8 − 44.15 = 72.6 kPa
答案
σ′ = 72.6 kPa
15.固结沉降
答案: S = 111.1 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
先期固结压力
σ′p = OCR·σ′0 = 1.5·80 = 120 kPa
与先期固结压力比较
σ′f = 80 + 90 = 170 kPa > 120 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.02·5/(1 + 1.2)·log₁₀(120/80) + 0.3·5/(1 + 1.2)·log₁₀(170/120)
S = 8.004 + 103.1 = 111.1 mm
答案
S = 111.1 mm
16.固结沉降
答案: t = 5.088 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H = 3 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.848·3²/1.5 = 5.088 年
答案
t = 5.088 年
17.静水压力
答案: F = 239.1 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3.25·7.5 = 239.1 kN
答案
F = 239.1 kN
18.静水压力
答案: F = 103.7 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.75·3.75 = 103.7 kN
答案
F = 103.7 kN
19.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 0.3305 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²
V = Q/A = 0.004/0.007854 = 0.5093 m/s
速度水头
V²/(2g) = 0.5093²/(2·9.81) = 0.01322 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(100/0.1)·0.5093²/(2·9.81) = 0.3305 m
答案
hf = 0.3305 m
20.管道摩擦与水头损失
答案: Δz = 15.66 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s
V²/(2g) = 0.4759 m
损失系数
f·L/D = 0.018·400/0.25 = 28.8
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 + 1.0 = 4.1
总水头损失
hf = 28.8·0.4759 = 13.71 m
hm = 4.1·0.4759 = 1.951 m
Δz = hf + hm = 15.66 m
答案
Δz = 15.66 m
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 70.38 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (5.5 + 1·2.5)·2.5 = 20 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 5.5 + 2·2.5·√(1 + 1²) = 12.57 m
R = A/P = 1.591 m
速度
V = (1/0.015)·1.5912/3·0.00151/2 = 3.519 m/s
流量
Q = A·V = 20·3.519 = 70.38 m³/s
答案
Q = 70.38 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.000977 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (4.5 + 2·2.4)·2.4 = 22.32 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 4.5 + 2·2.4·√(1 + 2²) = 15.23 m
R = A/P = 1.465 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·36/(22.32·1.29) = 0.03126
S = 0.03126² = 0.000977
答案
S = 0.000977
即每千米下降 0.977 m。
23.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 4.905 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.025·16 = 3.924 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 3.924/0.8 = 4.905 kW
答案
Pshaft = 4.905 kW
24.水泵与泵功率
答案: H = 41.75 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.04/0.01767 = 2.264 m/s
V²/(2g) = 0.2611 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 5)·0.2611 = 14.36 m
压力水头
p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m
泵扬程
两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 7 + 20.39 + 14.36 = 41.75 m
答案
H = 41.75 m
25.货币的时间价值
答案: PV = 100000 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
增长型永续年金
PV = C1/(r − g) = 2 000/(0.05 − 0.03) = 2 000/0.02 = €100 000.00
答案
PV = €100 000.00
26.货币的时间价值
答案: B = 175809 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.002, N = 360
A = 200 000·0.002/(1 − (1 + 0.002)−360) = €779.88
剩余还款的现值
尚欠的金额必须恰好由剩余的还款还清。
N − k = 360 − 60 = 300
B = 779.9·(1 − (1 + 0.002)−300)/0.002 = €175 808.74
答案
B = €175 808.74
27.NPV 与 IRR
答案: EAC = 14662 €
等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。
年金系数
(1 − 1.06−8)/0.06 = 6.21
年化购置价格
60 000/6.21 = 9 662.16
EAC
EAC = 9 662.16 + 5 000 = €14 662.16
答案
EAC = €14 662.16
28.NPV 与 IRR
答案: IRR = 32.92 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(30%) = 1 677.29
NPV(35%) = −1 122.29
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 30 + 5·1 677.29/(1 677.29 − (−1 122.29)) = 33%
精确: NPV(32.92%) = 0 → IRR = 32.92%
答案
IRR = 32.92%
29.正态分布
答案: z = −1.48
由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。
z 左侧的面积
Φ(z) = 1 − 0.9306 = 0.0694
反向查 z 表
在表中找到 0.0694，读出 z。
z = −1.48
答案
z = −1.48
30.正态分布
答案: P = 0.9633
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.04 − 25 = 0.04 mm, σ = 0.02236 mm
标准化
z = (0 − 0.04)/0.02236 = −1.79
概率
P = 1 − Φ(−1.79) = 0.9633
答案
P = 0.9633
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