梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 3.5 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 0.5 m 处承受一个逆时针力偶 M。求竖向反力 RB，以向上为正。
L = 6 mP = 30 kN 位于 3.5 mM = 15 kN·m (逆时针) 位于 0.5 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
一根组合梁在 A 处固定在墙上，在 C 处（距 A 3 m）有一个中间铰，并支承在 D 处（距 A 8 m）的滚动支座上。梁上作用有距 A 为 4 m 处的集中荷载 P。 求滚动支座处的反力 RD。
AC = 3 mAD = 8 mP = 65 kN 位于 4 m
RD = kN
3.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 6 m高度 = 2 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 15 kN
FAC = kN
4.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 25 kN ↓D: 35 kN ↓F: 25 kN ↓G: 15 kN ↓H: 15 kN ↓H: 35 kN ←
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 BG
- 13杆件 DG
5.剪力和弯矩中等
简支梁在距 A 为 x = 4 m 处承受一个顺时针力偶 M0 = 15 kN·m，没有其他荷载。 求力偶左侧紧邻处的弯矩 Mx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 5 mM0 = 15 kN·m 顺时针，作用于 4 m
Mx = kN·m
6.剪力和弯矩困难
求距支座 A 为 x = 1 m 的截面处的弯矩 Mx。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mP = 10 kN 位于 1 mw = 10 kN/m，从 0 到 4 mx = 1 m
Mx = kN·m
7.梁的挠度中等
长为 L 的悬臂梁在 A 端固定，并在距 A 为 a = 5 m 处承受集中荷载 P。 求荷载作用处的挠度 δP。
P = 29 kNa = 5 mL = 6 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.梁的挠度困难
简支梁在三分点处（距每个支座 L/3）承受两个相等的集中荷载 P。用叠加法求跨中挠度 δmax。
P = 22 kNL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，两端铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 60 mm
σcr = MPa
11.形心和惯性矩中等
一块 200 mm × 240 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 60 mm 的圆孔，孔心在底边之上 84 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 200 mmh = 240 mmd = 60 mm孔心: y = 84 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
一块 150 mm × 150 mm 的板有一个宽 80 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 52.5 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 150 mmh = 150 mm切口: 80 × 50 mm孔心: y = 52.5 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 8 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15.5 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³
σ′ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 7 mzw = 1 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³黏土: γsat = 17 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 5.5 m 的超固结黏土，Cc = 0.35，Cr = 0.05，e₀ = 1.2。其中点深度处的竖向有效应力为 75 kPa ，先期固结压力为 175 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 190 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 5.5 mCc = 0.35Cr = 0.05e0 = 1.2σ′0 = 75 kPaσ′p = 175 kPaΔσ = 190 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
一层厚 3 m 的黏土，固结系数 cv = 2 m²/year。 它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。 平均固结度为 80% 时，时间因数 Tv = 0.567。该土层需要多少年 t 才能达到 80% 固结度？
H = 3 mcv = 2 m²/年份U = 80%Tv = 0.567双面排水
t = 年
17.静水压力中等
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 2 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 0.9 m/s 的速度流过一根长 1000 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 0.9 m/sL = 1000 mD = 200 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管道摩擦与水头损失困难
一根长 150 m、内径 200 mm（达西摩擦系数 f = 0.02）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 2）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 100 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？
Q = 100 L/sL = 150 mD = 200 mmf = 0.02Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 2
H = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形清洁土渠渠道底宽 1.5 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 0.5 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.022，底坡 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 1.5 my = 0.5 mz = 3n = 0.022S = 0.0015
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一条底宽 3.5 m、边坡 1.5:1（水平:竖直）的梯形砖砌渠道 须以 1.6 m 的水深均匀输送 20 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.015。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 20 m³/sb = 3.5 my = 1.6 mz = 1.5n = 0.015
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
一台水泵以 26 m 的扬程输送 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 75%，驱动它的电动机效率为 92%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 Pel，以 kW 计。
Q = 50 L/sH = 26 mηpump = 75%ηmotor = 92%g = 9.81 m/s²
Pel = kW
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 25 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 4（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 72%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 50 L/sΔz = 25 mL = 100 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 4η = 72%
Pshaft = kW
25.货币的时间价值中等
你在 4 年后需要 €50 000。某账户年利率 3%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €50 0003% / 12n = 4
PV = €
26.货币的时间价值困难
一笔 €150 000 的贷款在 25 年内以等额月供偿还。年利率 4.8%，按月复利。求月供 A。
P = €150 0004.8% / 12N = 300
A = €
27.NPV 与 IRR中等
一台机器今天花费 €50 000，使用 9 年，每年运行费用为 €2 000（每年年末支付）。资本成本为 6%。求其等值年成本 EAC。
C0 = €50 000M = €2 000n = 9r = 6%
EAC = €
28.NPV 与 IRR困难
某项目投入 €10 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €5 500, €7 500, €4 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。
CF0 = −10 000CF1 = 5 500CF2 = 7 500CF3 = 4 500
IRR = %
29.正态分布中等
带行李的乘客的质量相互独立，服从均值 85 kg、标准差 12 kg 的正态分布。求其中 16 个的总质量低于 1288 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 85 kgσ = 12 kgn = 16< 1288 kg
P =
30.正态分布困难
孔径 D 服从均值 25.02 mm、标准差 0.02 mm 的正态分布。轴径 d 独立，服从均值 25 mm、标准差 0.01 mm 的正态分布。随机选取的一根轴在 D − d > 0 时能装入。求它能装入的概率 P。z 取两位小数。
孔: μ = 25.02 mm, σ = 0.02 mm轴: μ = 25 mm, σ = 0.01 mm
P =
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 15 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·6 − 30·3.5 + 15 = 0
RB = 90/6 = 15 kN
竖向平衡
RA = 30 − 15 = 15 kN
答案
RB = 15 kN
负的反力向下作用。
2.梁的支座反力
答案: RD = 13 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。 中间铰不能承受弯矩，由此得到一个补充方程：铰任一侧的力对铰的力矩为零。
CD 段
铰处没有弯矩，所以仅 CD 段上的力对 C 的力矩必须平衡。
ΣMC = 0: RD·5 = 65·1
RD = 13 kN
VC = 65 − 13 = 52 kN
答案
RD = 13 kN
3.桁架：节点法
答案: FAC = 6.25 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·6 = 15·5 → Cy = 12.5 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 12.5 = 2.5 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12.5/0.8944 = −13.98 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−13.98)·0.4472 = 6.25 kN
答案
FAC = 6.25 kN (受拉)
4.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 C
BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 50.42 kN (T), BC: 69.17 kN (T), CD: 69.17 kN (T), DE: 67.92 kN (T), FG: 85.42 kN (C), GH: 102.9 kN (C), AF: 106.8 kN (C), HE: 84.9 kN (C), BF: 39.06 kN (T), CG: 0, DH: 35.94 kN (T), BG: 23.44 kN (C), DG: 1.563 kN (C)
答案
零杆: CG
5.剪力和弯矩
答案: Mx = −12 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 外加力偶使弯矩图突变，突变量等于力偶的大小。
支座反力
对 A 取矩，逆时针为正：RB·L − M0 = 0。竖向平衡：RA + RB = 0。
RB = M0/L = 15/5 = 3 kN (向上)
RA = −RB = −3 kN (向下)
在力偶左侧紧邻处截开
左侧部分只包含 RA。
Mx = RA·a = −3·4 = −12 kN·m
答案
Mx = −12 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: Mx = 22.5 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 10·1 + 10·4·2
RB = 90/4 = 22.5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 22.5 = 27.5 kN
在 x = 1 m 处截开，保留左侧部分
只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。
M = RA·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）
Mx = 27.5·1 − 10·1·0.5 = 22.5 kN·m
答案
Mx = 22.5 kN·m
7.梁的挠度
答案: δP = 50.35 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 29000 N, a = 5000 mm, L = 6000 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²
荷载作用处的挠度
δP = Pa³/(3EI) = 29000·5000³/(3·2.4 × 10¹³) = 50.35 mm
答案
δP = 50.35 mm
8.梁的挠度
答案: δmax = 28.4 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 22000 N, L = 4000 mm
EI = 1.76 × 10¹² N·mm²
一个荷载位于 L/3 处
δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 1333 mm
δ₁ = 14.2 mm
两个荷载相加
δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 28.4 mm
答案
δmax = 28.4 mm
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 28.35 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1750² = 28349 N = 28.35 kN
答案
Pcr = 28.35 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 9.715 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
回转半径和长细比
A = 2827 mm²
r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/15 = 266.7
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/266.7² = 9.715 MPa
答案
σcr = 9.715 MPa
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 225.9 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (48000·120 − 2827·84)/(48000 − 2827) = 122.3 mm
完整的板关于 ȳ
200·240³/12 + 48000·−2.253² = 230.6 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·60⁴/64 + 2827·−38.25² = 4.774 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 225.9 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 225.9 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: Ix = 38.89 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (22500·75 − 4000·52.5)/(22500 − 4000) = 79.86 mm
完整的板关于 ȳ
150·150³/12 + 22500·−4.865² = 42.72 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
80·50³/12 + 4000·−27.36² = 3.829 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 38.89 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 38.89 × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力
答案: σ′ = 89.95 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15.5·3 + 18.5·5 = 139 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 139 − 49.05 = 89.95 kPa
答案
σ′ = 89.95 kPa
14.土中有效应力
答案: σ′ = 65.14 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·1 + γsat,sand·3 + γsat,clay·3
σ = 16·1 + 19·3 + 17·3 = 124 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·6 = 58.86 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 124 − 58.86 = 65.14 kPa
答案
σ′ = 65.14 kPa
15.固结沉降
答案: S = 203.7 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 75 + 190 = 265 kPa > 175 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.05·5.5/(1 + 1.2)·log₁₀(175/75) + 0.35·5.5/(1 + 1.2)·log₁₀(265/175)
S = 46 + 157.7 = 203.7 mm
答案
S = 203.7 mm
16.固结沉降
答案: t = 0.6379 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H/2 = 3/2 = 1.5 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.567·1.5²/2 = 0.6379 年
答案
t = 0.6379 年
17.静水压力
答案: F = 29.43 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m
A = H·b = 1·3 = 3 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1·3 = 29.43 kN
答案
F = 29.43 kN
18.静水压力
答案: ycp = 3.41 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·3.25·7.5 = 245.1 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 3.25 + 3.906/(3.25·7.5) = 3.41 m
答案
ycp = 3.41 m
19.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 30.38 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(1000/0.2)·0.9²/(2·9.81) = 3.096 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·3.096 = 30375 Pa = 30.38 kPa
答案
Δp = 30.38 kPa
20.管道摩擦与水头损失
答案: H = 9.864 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.1/0.03142 = 3.183 m/s
V²/(2g) = 0.5164 m
损失系数
f·L/D = 0.02·150/0.2 = 15
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 2 = 3.1
能量方程
出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。
H = (1 + 15 + 3.1)·0.5164 = 9.864 m
答案
H = 9.864 m
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 1.24 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (1.5 + 3·0.5)·0.5 = 1.5 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·0.5·√(1 + 3²) = 4.662 m
R = A/P = 0.3217 m
速度
V = (1/0.022)·0.32172/3·0.00151/2 = 0.8266 m/s
流量
Q = A·V = 1.5·0.8266 = 1.24 m³/s
答案
Q = 1.24 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.0009856 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (3.5 + 1.5·1.6)·1.6 = 9.44 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3.5 + 2·1.6·√(1 + 1.5²) = 9.269 m
R = A/P = 1.018 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.015·20/(9.44·1.012) = 0.03139
S = 0.03139² = 0.0009856
答案
S = 0.0009856
即每千米下降 0.9856 m。
23.水泵与泵功率
答案: Pel = 18.48 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·26 = 12.75 kW
轴功率
Pshaft = 12.75/0.75 = 17 kW
电功率
Pel = 17/0.92 = 18.48 kW
答案
Pel = 18.48 kW
24.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 21.48 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 4)·0.408 = 6.529 m
泵扬程
H = Δz + hL = 25 + 6.529 = 31.53 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·31.53/0.72 = 21.48 kW
答案
Pshaft = 21.48 kW
25.货币的时间价值
答案: PV = 44353 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.03/12 = 0.0025
N = 12·4 = 48
现值
PV = FV/(1 + i)N = 50 000/1.127 = €44 352.66
答案
PV = €44 352.66
26.货币的时间价值
答案: A = 859.5 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.048/12 = 0.004
N = 12·25 = 300
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.3019
A = 150 000·0.004/(1 − 0.3019) = €859.50
答案
A = €859.50
27.NPV 与 IRR
答案: EAC = 9351 €
等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。
年金系数
(1 − 1.06−9)/0.06 = 6.802
年化购置价格
50 000/6.802 = 7 351.11
EAC
EAC = 7 351.11 + 2 000 = €9 351.11
答案
EAC = €9 351.11
28.NPV 与 IRR
答案: IRR = 35.14 %
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
夹逼 IRR
利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。
NPV(35%) = 18.29
NPV(40%) = −604.96
缩小范围
线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。
IRR ≈ 35 + 5·18.29/(18.29 − (−604.96)) = 35.15%
精确: NPV(35.14%) = 0 → IRR = 35.14%
答案
IRR = 35.14%
29.正态分布
答案: P = 0.06681
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 1360 kg, σT = 12·√16 = 48 kg
标准化
z = (1288 − 1360)/48 = −1.5
概率
P = Φ(−1.5) = 0.06681
答案
P = 0.06681
30.正态分布
答案: P = 0.8133
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 25.02 − 25 = 0.02 mm, σ = 0.02236 mm
标准化
z = (0 − 0.02)/0.02236 = −0.89
概率
P = 1 − Φ(−0.89) = 0.8133
答案
P = 0.8133
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