FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 4 mP₁ = 35 kN 位于 1.5 mP₂ = 60 kN 位于 2 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 3 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 60°；距 A 为 2 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 4 mP = 45 kN 位于 3 m, θ = 60°Q = 40 kN 位于 2 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 10 kN ↓C: 40 kN ↓G: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 8 m高度 = 3 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 25 kN水平荷载 = 20 kN ←

F_BC = kN

5.剪力和弯矩中等

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 2 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P₁，在 C 处承受集中荷载 P₂。求支座 B 处的弯矩 M_B。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 8 mP₁ = 60 kN 位于 1 mP₂ = 25 kN 位于 8 m支座位于 x = 0 和 x = 6 m

M_B = kN·m

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

35 kN @ 0 m20 kN @ 6 m40 kN @ 3 m8 kN/m, 1–4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求跨中最大挠度 δ_max。

w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。求固定端弯矩 M_A 的大小。

L = 8 mw = 8 kN/m

M_A = kN·m

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 110 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 110 kNn = 3L = 2 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

一块 100 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 130 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 100 mmh = 200 mmd = 30 mm孔心: y = 130 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 5 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 100 mmt_f = 20 mmt_w = 20 mmh_w = 180 mmM = 5 kN·m

σ_顶部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 2 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 9.5 mz_w = 4 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 2 m 的超固结黏土，C_c = 0.2，C_r = 0.03，e₀ = 1.05。其中点深度处的竖向有效应力为 100 kPa ，先期固结压力为 140 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 80 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 2 mC_c = 0.2C_r = 0.03e₀ = 1.05σ′₀ = 100 kPaσ′_p = 140 kPaΔσ = 80 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 7 m 的黏土，固结系数 c_v = 1 m²/year。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。平均固结度为 60% 时，时间因数 T_v = 0.287。该土层需要多少年 t 才能达到 60% 固结度？

H = 7 mc_v = 1 m²/年份U = 60%T_v = 0.287双面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 15 L/s 的流量流过一根长 100 m、内径 75 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 15 L/sL = 100 mD = 75 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.025 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 150 L/s？

Q = 150 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.025K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形未抹面混凝土渠道底宽 3 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 2.4 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.014，底坡 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3 my = 2.4 mz = 1n = 0.014S = 0.0005

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 2.5 m 的矩形清洁土渠渠道须以 0.9 m 的水深均匀输送 2.1 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.022。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 2.1 m³/sb = 2.5 my = 0.9 mn = 0.022

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 16 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 2.2 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 10 L/sH = 16 mP_shaft = 2.2 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 120 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 25 m 的上游水箱。管道长 600 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 75%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 120 L/sΔz = 25 mL = 600 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 8η = 75%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

一份年金在每年年末支付 €1 500，共 7 年。年利率为 8%。求该年金的现值 PV。

A = €1 500i = 8%n = 7

PV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €150 000 的贷款在 30 年内按月等额偿还，年利率 5.4%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？

P = €150 0005.4% / 12N = 360

I = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€6 000, €6 000, €8 000, €8 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 6 000CF₂ = 6 000CF₃ = 8 000CF₄ = 8 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €25 000，在第 1 年至第 2 年年末每年回收 €17 000, €18 500。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −25 000CF₁ = 17 000CF₂ = 18 500

IRR = %

29.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 10 个的总质量超过 122.5 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 10> 122.5 kg

P =

30.正态分布困难

智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 97.5% 的数据低于它（第 97.5 百分位数）。

μ = 100σ = 15P = 97.5%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 51.88 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1.5 + 60·2

R_B = 172.5/4 = 43.13 kN

ΣF_y = 0: R_A = 95 − 43.13 = 51.88 kN

答案

R_A = 51.88 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 37.29 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 45·sin 60° = 38.97 kN

P_h = 45·cos 60° = 22.5 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·4 = 38.97·3 + 40·2 → R_B = 49.23 kN

A_y = 38.97 + 40 − 49.23 = 29.74 kN

A_x = P_h = 22.5 kN

A 处的合力

R_A = √(22.5² + 29.74²) = 37.29 kN

答案

R_A = 37.29 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 40 kN (T), BC: 40 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 70 kN (C), GH: 70 kN (C), AF: 56.57 kN (C), HE: 49.5 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 42.43 kN (T), HC: 49.5 kN (T)

答案

零杆: DH

4.桁架：节点法

答案: F_BC = 2.795 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·8 = 25·2 − 20·3 → C_y = −1.25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 25 − −1.25 = 26.25 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/6.708 = 0.4472, cos γ = 6/6.708 = 0.8944

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −−1.25/0.4472 = 2.795 kN

答案

F_BC = 2.795 kN (受拉)

5.剪力和弯矩

答案: M_B = −50 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。

ΣM_A = 0: R_B·6 = 60·1 + 25·8

R_B = 260/6 = 43.33 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 43.33 = 41.67 kN

在 B 处截开，保留外伸段

外伸段上只作用 P₂，力臂为 a。它使梁在支座上方向上弯曲（负弯矩）。

M_B = −P₂·a = −25·2 = −50 kN·m

答案

M_B = −50 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 58.67 kN, R₂ = 60.33 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −35, M_C = −15.33, M_D = −3.667, M_E = −40 kN·m, M_F = −20, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = −40 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_max = 13.39 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 6000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

挠度

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·6000⁴/(384·2.52 × 10¹²) = 13.39 mm

答案

δ_max = 13.39 mm

8.梁的挠度

答案: M_A = 64 kN·m

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·8·8/8 = 24 kN

固定端的弯矩

荷载和支撑力对 A 取矩。

M_A = wL²/2 − R_B·L = 256 − 192 = 64 kN·m

答案

M_A = 64 kN·m

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 42.64 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 60·30³/12 = 135000 mm⁴

计算长度

KL = 1·2500 = 2500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·135000/2500² = 42637 N = 42.64 kN

答案

P_cr = 42.64 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 60.75 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·110000 = 330000 N

KL = 1·2000 = 2000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·330000·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 60.75 mm

答案

d = 60.75 mm

校核：长细比 KL/r 为 131.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 65.97 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (20000·100 − 706.9·130)/(20000 − 706.9) = 98.9 mm

完整的板关于 ȳ

100·200³/12 + 20000·1.099² = 66.69 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·31.1² = 0.7234 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 65.97 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 65.97 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 16.4 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 100·20 = 2000 mm², y_f = 180 + 20/2 = 190 mm

腹板: A_w = 20·180 = 3600 mm², y_w = 180/2 = 90 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (2000·190 + 3600·90)/5600 = 125.7 mm

平行移轴定理

翼缘: 100·20³/12 + 2000·(190 − 125.7)² = 8.332 × 10⁶ mm⁴

腹板: 20·180³/12 + 3600·(90 − 125.7)² = 1.431 × 10⁷ mm⁴

I_x = 8.332 × 10⁶ + 1.431 × 10⁷ = 2.264 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 200 − 125.7 = 74.29 mm

σ = M·y/I = 5 × 10⁶·74.29/2.264 × 10⁷ = 16.4 MPa

答案

σ_顶部 = 16.4 MPa

13.土中有效应力

答案: σ′ = 25.69 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 15·1 + 20.5·1 = 35.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·1 = 9.81 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 35.5 − 9.81 = 25.69 kPa

答案

σ′ = 25.69 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 118 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·4 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·3.5

σ = 17·4 + 20.5·2 + 18·3.5 = 172 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·5.5 = 53.96 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 172 − 53.96 = 118 kPa

答案

σ′ = 118 kPa

15.固结沉降

答案: S = 25.57 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 100 + 80 = 180 kPa > 140 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.03·2/(1 + 1.05)·log₁₀(140/100) + 0.2·2/(1 + 1.05)·log₁₀(180/140)

S = 4.277 + 21.3 = 25.57 mm

答案

S = 25.57 mm

16.固结沉降

答案: t = 3.516 年

排水路径

H_dr = H/2 = 7/2 = 3.5 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.287·3.5²/1 = 3.516 年

答案

t = 3.516 年

17.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN

18.静水压力

答案: F = 88.29 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

答案

F = 88.29 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 17.24 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.075²/4 = 0.004418 m²

V = Q/A = 0.015/0.004418 = 3.395 m/s

速度水头

V²/(2g) = 3.395²/(2·9.81) = 0.5876 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(100/0.075)·3.395²/(2·9.81) = 17.24 m

答案

h_f = 17.24 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 4.491 m

速度

V = Q/A = 0.15/0.07069 = 2.122 m/s

V²/(2g) = 0.2295 m

损失系数

f·L/D = 0.025·200/0.3 = 16.67

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.9

总水头损失

h_f = 16.67·0.2295 = 3.825 m

h_m = 2.9·0.2295 = 0.6656 m

Δz = h_f + h_m = 4.491 m

答案

Δz = 4.491 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 24.96 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3 + 1·2.4)·2.4 = 12.96 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2.4·√(1 + 1²) = 9.788 m

R = A/P = 1.324 m

速度

V = (1/0.014)·1.324^2/3·0.0005^1/2 = 1.926 m/s

流量

Q = A·V = 12.96·1.926 = 24.96 m³/s

答案

Q = 24.96 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0009999 m/m

几何参数

A = b·y = 2.5·0.9 = 2.25 m²

P = b + 2y = 2.5 + 2·0.9 = 4.3 m

R = A/P = 0.5233 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.022·2.1/(2.25·0.6493) = 0.03162

S = 0.03162² = 0.0009999

答案

S = 0.0009999

即每千米下降 0.9999 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 71.35 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·16 = 1.57 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 1.57/2.2 = 71.35%

答案

η = 71.35%

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 60.28 kW

速度

V = Q/A = 0.12/0.04909 = 2.445 m/s

V²/(2g) = 0.3046 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (36 + 8)·0.3046 = 13.4 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 25 + 13.4 = 38.4 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.12·38.4/0.75 = 60.28 kW

答案

P_shaft = 60.28 kW

25.货币的时间价值

答案: PV = 7810 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

年金系数

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0.5835)/0.08 = 5.206

现值

PV = 1 500·5.206 = €7 809.56

答案

PV = €7 809.56

26.货币的时间价值

答案: I = 153227 €

月供

i = 0.0045, N = 360

A = 150 000·0.0045/(1 − (1 + 0.0045)⁻³⁶⁰) = €842.30

利息总额

I = N·A − P = 360·842.3 − 150 000 = €153 226.63

答案

I = €153 226.63

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 918.7 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 6 000/1.12 = 5 357.14

CF₂/(1 + 0.12)² = 6 000/1.254 = 4 783.16

CF₃/(1 + 0.12)³ = 8 000/1.405 = 5 694.24

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 8 000/1.574 = 5 084.14

相加

NPV = €918.69

答案

NPV = €918.69

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 26.5 %

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 440.00

NPV(30%) = −976.33

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·440.00/(440.00 − (−976.33)) = 26.55%

精确: NPV(26.5%) = 0 → IRR = 26.5%

答案

IRR = 26.5%

29.正态分布

答案: P = 0.1611

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 120 kg, σ_T = 0.8·√10 = 2.53 kg

标准化

z = (122.5 − 120)/2.53 = 0.99

概率

P = 1 − Φ(0.99) = 0.1611

答案

P = 0.1611

30.正态分布

答案: x = 129.4 分

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.975 → z = 1.96

换算回 x

x = 100 + 1.96·15 = 129.4 分

答案

x = 129.4 分

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