FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁（A 处为铰支座，B 处为滚动支座）承受线性变化的荷载，从 A 处的零增大到 B 处的 12 kN/m。求竖向支座反力 R_B。

L = 8 mw₀ = 12 kN/m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP = 10 kN 位于 2 mw = 8 kN/m，从 1 到 2 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

H: 20 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 30 kN →

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 3 m 的截面处的弯矩 M_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 10 mw = 2 kN/m，从 0 到 10 mx = 3 m

M_x = kN·m

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

25 kN @ 0 m45 kN @ 6 m15 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 6 kN/mL = 8 mE = 70 GPa (铝)I = 57 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

一端固定一端简支的梁在 A 端固定，在 B 端简支（支撑）。梁全长承受均布荷载 w。EI 为常数。求支撑处的反力 R_B。

L = 3 mw = 5 kN/m

R_B = kN

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 2 mE = 200 GPa (钢)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝实心圆柱，两端固定。它需承受 15 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 15 kNn = 2.5L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

一块 150 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 60 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 150 mmh = 200 mmd = 30 mm孔心: y = 60 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

焊接工字形截面的上翼缘为 200 × 14 mm，腹板高 190 mm、厚 8 mm，下翼缘为 260 × 18 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

上翼缘: 200 × 14 mm腹板: 8 × 190 mm下翼缘: 260 × 18 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 4 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

σ′ = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 7.5 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16.5 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³黏土: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 6.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.5，C_r = 0.06，e₀ = 0.75。其中点深度处的竖向有效应力为 55 kPa ，先期固结压力为 85 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 100 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 6.5 mC_c = 0.5C_r = 0.06e₀ = 0.75σ′₀ = 55 kPaσ′_p = 85 kPaΔσ = 100 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 25 mm、上下两面排水的黏土试样在 15 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 10 m 的土层。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 25 mmt_lab = 15 minH = 10 m现场：双面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 1.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 5 L/s 的流量流过一根长 800 m、内径 100 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.025，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 5 L/sL = 800 mD = 100 mmf = 0.025g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、4 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 150 L/s？

Q = 150 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.018K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×4)K_valve = 10K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形清洁土渠渠道底宽 4.5 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 2.4 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.022，底坡 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 4.5 my = 2.4 mz = 3n = 0.022S = 0.0005

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 2 m、边坡 1.5:1（水平:竖直）的梯形砾石渠道须以 0.7 m 的水深均匀输送 1.2 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 1.2 m³/sb = 2 my = 0.7 mz = 1.5n = 0.025

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台水泵以 72 m 的扬程输送 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。水泵效率为 85%，驱动它的电动机效率为 95%。取 g = 9.81 m/s²。求电动机取用的电功率 P_el，以 kW 计。

Q = 100 L/sH = 72 mη_pump = 85%η_motor = 95%g = 9.81 m/s²

P_el = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 13 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 250 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 100 L/sΔz = 13 mL = 200 mD = 250 mmf = 0.015ΣK = 5

H = m

25.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3% 投资 €8 000，按季度复利。求 6 年后的投资价值 FV。

PV = €8 0003% / 4n = 6

FV = €

26.货币的时间价值困难

你以每年 2.4% 的利率借入 €25 000，按月复利，每月月末偿还 €550。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €25 000A = €5502.4% / 12

N = 次还款

27.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€12 000, €22 000, €14 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −45 000CF₁ = 12 000CF₂ = 22 000CF₃ = 14 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

一个项目需投入 €20 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €7 500, €8 500, €12 000。现金流可按 12% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。

r = 12%CF₀ = −20 000CF₁ = 7 500CF₂ = 8 500CF₃ = 12 000

MIRR = %

29.正态分布中等

箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 12 个的总质量低于 146.8 kg 的概率 P。z 取两位小数。

μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 12< 146.8 kg

P =

30.正态分布困难

1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 32 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

三角形荷载的合力

W = ½·12·8 = 48 kN

x̄ = 2L/3 = 5.333 m

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 48·5.333

R_B = 32 kN

R_A = 48 − 32 = 16 kN

答案

R_B = 32 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 14.8 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·1 = 8 kN，作用于 x̄ = 1.5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 10·2 + 8·1·1.5

R_B = 32/10 = 3.2 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 3.2 = 14.8 kN

答案

R_A = 14.8 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 3.75 kN (T), BC: 7.5 kN (T), CD: 7.5 kN (T), DE: 11.25 kN (T), FG: 3.75 kN (C), GH: 11.25 kN (C), AF: 6.25 kN (C), HE: 18.75 kN (C), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (C), BG: 6.25 kN (C), DG: 6.25 kN (T)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 22.5 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 15 kN (T), DE: 7.5 kN (T), FG: 22.5 kN (C), GH: 7.5 kN (C), AF: 12.5 kN (T), HE: 12.5 kN (C), BF: 10 kN (C), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 12.5 kN (T), DG: 12.5 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: M_x = 21 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·10 = 20 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 2·10·5

R_B = 100/10 = 10 kN

ΣF_y = 0: R_A = 20 − 10 = 10 kN

在 x = 3 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

M = R_A·x − （截面左侧每个荷载 × 其到截面的距离）

M_x = 10·3 − 2·3·1.5 = 21 kN·m

答案

M_x = 21 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: F (x = 5 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 50 kN, R₂ = 80 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −25, M_C = −7.5, M_D = −5, M_E = −17.5, M_F = −45 kN·m, M_G = 0

答案

标记点 F: M_F = −45 kN·m

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.03208 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 6 N/mm, L = 8000 mm

EI = 3.99 × 10¹² N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 6·8000³/(24·3.99 × 10¹²) = 0.03208 rad

答案

θ_A = 0.03208 rad

即 1.838°。

8.梁的挠度

答案: R_B = 5.625 kN

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。对超静定梁，去掉一个多余支座，并令该处挠度为零（变形协调条件）。

去掉支撑

去掉支撑后，梁是一根悬臂梁。其自由端在荷载作用下会产生挠度。

δ_load = wL⁴/(8EI)

支撑处的变形协调

支撑力 R_B 单独作用时使自由端上抬 R_BL³/(3EI)。支撑使 B 点挠度为零，所以两者必须抵消。EI 被约去。

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·5·3/8 = 5.625 kN

答案

R_B = 5.625 kN

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 131.6 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·2000 = 1000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·66667/1000² = 131595 N = 131.6 kN

答案

P_cr = 131.6 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 28.08 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·15000 = 37500 N

KL = 0.5·1500 = 750 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·37500·750²/(π³·70000))^(1/4) = 28.08 mm

答案

d = 28.08 mm

校核：长细比 KL/r 为 106.8，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 98.8 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (30000·100 − 706.9·60)/(30000 − 706.9) = 101 mm

完整的板关于 ȳ

150·200³/12 + 30000·−0.9652² = 100 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·30⁴/64 + 706.9·−40.97² = 1.226 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 98.8 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 98.8 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 80 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成三个矩形

每个 y 都从底边量起。

上翼缘: A = 2800 mm², y = 215 mm

腹板: A = 1520 mm², y = 113 mm

下翼缘: A = 4680 mm², y = 9 mm

形心

ȳ = (2800·215 + 1520·113 + 4680·9)/9000 = 90.65 mm

平行移轴定理

上翼缘: 200·14³/12 + 2800·124.3² = 4.334 × 10⁷ mm⁴

腹板: 8·190³/12 + 1520·22.35² = 5.332 × 10⁶ mm⁴

下翼缘: 260·18³/12 + 4680·81.65² = 3.133 × 10⁷ mm⁴

I_x = 4.334 × 10⁷ + 5.332 × 10⁶ + 3.133 × 10⁷

I_x = 8 × 10⁷ mm⁴ = 80 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 80 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: σ′ = 48.07 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·z_w + γ_sat·(z − z_w) = 16·1 + 20.5·3 = 77.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·3 = 29.43 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 77.5 − 29.43 = 48.07 kPa

答案

σ′ = 48.07 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 130.3 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·3 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3.5

σ = 16.5·3 + 19.5·1 + 17.5·3.5 = 130.3 kPa

答案

σ = 130.3 kPa

15.固结沉降

答案: S = 526.7 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 55 + 100 = 155 kPa > 85 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.06·6.5/(1 + 0.75)·log₁₀(85/55) + 0.5·6.5/(1 + 0.75)·log₁₀(155/85)

S = 42.13 + 484.6 = 526.7 mm

答案

S = 526.7 mm

16.固结沉降

答案: t = 1667 天

排水路径

H_dr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m

H_dr,field = 10/2 = 5 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 15·(5/0.0125)² = 2.4 × 10⁶ min

t_field = 2.4 × 10⁶/1440 = 1667 天

答案

t = 1667 天

17.静水压力

答案: F = 29.43 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·1.5 = 29.43 kN

答案

F = 29.43 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 3.25 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·9 = 271.5 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 3·3³/12 = 6.75 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 6.75/(3·9) = 3.25 m

答案

y_cp = 3.25 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 4.131 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.1²/4 = 0.007854 m²

V = Q/A = 0.005/0.007854 = 0.6366 m/s

速度水头

V²/(2g) = 0.6366²/(2·9.81) = 0.02066 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.025·(800/0.1)·0.6366²/(2·9.81) = 4.131 m

答案

h_f = 4.131 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 12.9 m

速度

V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s

V²/(2g) = 0.4759 m

损失系数

f·L/D = 0.018·200/0.25 = 14.4

ΣK = 0.5 + 4·0.3 + 10 + 1.0 = 12.7

总水头损失

h_f = 14.4·0.4759 = 6.853 m

h_m = 12.7·0.4759 = 6.044 m

Δz = h_f + h_m = 12.9 m

答案

Δz = 12.9 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 36.17 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (4.5 + 3·2.4)·2.4 = 28.08 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 4.5 + 2·2.4·√(1 + 3²) = 19.68 m

R = A/P = 1.427 m

速度

V = (1/0.022)·1.427^2/3·0.0005^1/2 = 1.288 m/s

流量

Q = A·V = 28.08·1.288 = 36.17 m³/s

答案

Q = 36.17 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.0005374 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (2 + 1.5·0.7)·0.7 = 2.135 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2 + 2·0.7·√(1 + 1.5²) = 4.524 m

R = A/P = 0.4719 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.025·1.2/(2.135·0.6062) = 0.02318

S = 0.02318² = 0.0005374

答案

S = 0.0005374

即每千米下降 0.5374 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_el = 87.47 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·72 = 70.63 kW

轴功率

P_shaft = 70.63/0.85 = 83.1 kW

电功率

P_el = 83.1/0.95 = 87.47 kW

答案

P_el = 87.47 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 16.6 m

速度

V = Q/A = 0.1/0.04909 = 2.037 m/s

V²/(2g) = 0.2115 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (12 + 5)·0.2115 = 3.596 m

泵扬程

两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。

H = Δz + h_L = 13 + 3.596 = 16.6 m

答案

H = 16.6 m

25.货币的时间价值

答案: FV = 9571 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.03/4 = 0.0075

N = m·n = 4·6 = 24

终值

FV = 8 000·(1 + 0.0075)²⁴ = 8 000·1.196 = €9 571.31

答案

FV = €9 571.31

26.货币的时间价值

答案: N = 48 次还款

将年金公式变形

i = 0.002

(1 + i)^−N = 1 − 25 000·0.002/550 = 0.9091

用对数求解

N = −ln(0.9091)/ln(1.002) = 47.7

向上取整到整次还款

47 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 48

答案

N = 48 次还款

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = −6783 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 12 000/1.12 = 10 714.29

CF₂/(1 + 0.12)² = 22 000/1.254 = 17 538.27

CF₃/(1 + 0.12)³ = 14 000/1.405 = 9 964.92

相加

NPV = €−6 782.53

答案

NPV = €−6 782.53

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: MIRR = 15.64 %

修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。

流入的终值

7 500·1.12² = 9 408.00

8 500·1.12¹ = 9 520.00

12 000·1.12⁰ = 12 000.00

TV = 30 928.00

MIRR

MIRR = (30 928.00/20 000)^1/3 − 1 = 15.64%

答案

MIRR = 15.64%

29.正态分布

答案: P = 0.8438

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

总和的分布

μ_T = 144 kg, σ_T = 0.8·√12 = 2.771 kg

标准化

z = (146.8 − 144)/2.771 = 1.01

概率

P = Φ(1.01) = 0.8438

答案

P = 0.8438

30.正态分布

答案: P = 0.8413

差的分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

标准化

z = (0 − 10)/10 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

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