FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 4 mP₁ = 30 kN 位于 2.5 mP₂ = 40 kN 位于 3 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 4 kN/m；另在距墙 1.5 m 处承受集中荷载 P。求墙处反力矩 M_A 的大小。

L = 4 mw₀ = 4 kN/mP = 60 kN 位于 1.5 m

M_A = kN·m

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 25 kN ↓D: 20 kN ↓H: 40 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

用节点法求杆 AB 中的力 F_AB。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 20 kN ←

F_AB = kN

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

10 kN @ 6 m8 kN/m, 4–12 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求梁中的最大弯矩 M_max。

L = 5 mw = 10 kN/m，从 1 到 5 m

M_max = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁全跨承受均布荷载 w。求梁在支座 A 处的转角 θ_A，以弧度表示。

w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (钢)I = 12 × 10⁶ mm⁴

θ_A = rad

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 8 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 6 mE = 200 GPa (钢)b × h = 25 × 60 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 150 kN，屈曲安全系数为 2.5。求最小直径 d。

P = 150 kNn = 2.5L = 3 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 220 mmt_f = 25 mmt_w = 10 mmh_w = 120 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 240 mm 的板有一个宽 80 mm、高 50 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 156 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 240 mm切口: 80 × 50 mm孔心: y = 156 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。

z = 9 mz_w = 5 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18 kN/m³

σ′ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 2 m 的超固结黏土，C_c = 0.35，C_r = 0.03，e₀ = 0.7。其中点深度处的竖向有效应力为 40 kPa ，先期固结压力为 150 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 240 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 2 mC_c = 0.35C_r = 0.03e₀ = 0.7σ′₀ = 40 kPaσ′_p = 150 kPaΔσ = 240 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

一层厚 4.5 m 的黏土，固结系数 c_v = 0.5 m²/year。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。平均固结度为 90% 时，时间因数 T_v = 0.848。该土层需要多少年 t 才能达到 90% 固结度？

H = 4.5 mc_v = 0.5 m²/年份U = 90%T_v = 0.848单面排水

t = 年

17.静水压力中等

一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 0.5 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 3 L/s 的流量流过一根长 300 m、内径 50 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 3 L/sL = 300 mD = 50 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

一根长 200 m、内径 250 mm（达西摩擦系数 f = 0.02）的管道从敞口水池引出，以自由射流排入大气。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）和一个阀门（K = 5）。取 g = 9.81 m/s²。要使流量为 150 L/s，水池水面须比管道出口高多少 H？

Q = 150 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.02K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5

H = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砾石渠道底宽 3 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 2.5 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.025，底坡 S = 0.005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 3 my = 2.5 mz = 2n = 0.025S = 0.005

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条底宽 6 m、边坡 3:1（水平:竖直）的梯形未抹面混凝土渠道须以 0.9 m 的水深均匀输送 30 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.014。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 30 m³/sb = 6 my = 0.9 mz = 3n = 0.014

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 60% 的水泵以 58 m 的扬程输送 100 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 100 L/sH = 58 mη = 60%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 75 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 9 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.025；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 75%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 75 L/sΔz = 9 mL = 400 mD = 200 mmf = 0.025ΣK = 8η = 75%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

你在 6 年后需要 €10 000。某账户年利率 5%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。

FV = €10 0005% / 12n = 6

PV = €

26.货币的时间价值困难

你希望在 4 年后得到 €30 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 4.8%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €30 0004.8% / 12N = 48

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一项 €45 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€13 000, €18 000, €10 000, €20 000。资本成本为 12%。求净现值 NPV。

r = 12%CF₀ = −45 000CF₁ = 13 000CF₂ = 18 000CF₃ = 10 000CF₄ = 20 000

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

一个项目今天需投入 €150 000。其现金流在第 1 年年末为 €41 500，之后每年增长 4%，直到第 4 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 10%。求净现值 NPV。

C₀ = €150 000CF₁ = €41 500g = 4%n = 4r = 10%

NPV = €

29.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 57 和 75 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 57x₂ = 75

P =

30.正态分布困难

配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。求数值 x，使得有 10% 的数据低于它（第 10 百分位数）。

μ = 32σ = 6P = 10%

x = min

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 48.75 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 30·2.5 + 40·3

R_B = 195/4 = 48.75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 48.75 = 21.25 kN

答案

R_B = 48.75 kN

2.梁的支座反力

答案: M_A = 111.3 kN·m

悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 R_A 和反力矩 M_A。由 ΣF_y = 0 得 R_A，对墙取矩得 M_A = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。

三角形荷载的合力

W = ½·4·4 = 8 kN

x̄ = 2L/3 = 2.667 m

对墙的力矩

M_A = W·x̄ + P·a = 8·2.667 + 60·1.5 = 111.3 kN·m

答案

M_A = 111.3 kN·m

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 33.75 kN (T), BC: 42.5 kN (T), CD: 42.5 kN (T), DE: 51.25 kN (T), FG: 33.75 kN (C), GH: 51.25 kN (C), AF: 47.73 kN (C), HE: 72.48 kN (C), BF: 33.75 kN (T), CG: 0, DH: 11.25 kN (T), BG: 12.37 kN (C), DG: 12.37 kN (T)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: F_AB = −38.89 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·3 − 20·3 → C_y = 22.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 22.5 = 27.5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 20 kN

节点 A

假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。

sin α = 3/4.243 = 0.7071

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −27.5/0.7071 = −38.89 kN

答案

F_AB = −38.89 kN (受压)

5.剪力和弯矩

答案: D (x = 6 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 26.33 kN, R₂ = 47.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 52.67, M_C = 105.3, M_D = 142 kN·m, M_E = 126.7, M_F = 79.33, M_G = 0

答案

标记点 D: M_D = 142 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 28.8 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·4 = 40 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·4·3

R_B = 120/5 = 24 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 24 = 16 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 16/10 = 2.6 m

最大弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 16·2.6 − 10·1.6²/2 = 28.8 kN·m

答案

M_max = 28.8 kN·m

7.梁的挠度

答案: θ_A = 0.01111 rad

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。转角 θ = dv/dx 是 M/(EI) 的一次积分；在单位一致时，结果以弧度表示。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 10 N/mm, L = 4000 mm

EI = 2.4 × 10¹² N·mm²

端部转角

θ_A = wL³/(24EI) = 10·4000³/(24·2.4 × 10¹²) = 0.01111 rad

答案

θ_A = 0.01111 rad

即 0.6366°。

8.梁的挠度

答案: I_req = 426.1 × 10⁶ mm⁴

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

挠度限值

δ_allow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·8·5000⁴/(384·11000·13.89) = 4.261 × 10⁸ mm⁴

I_req = 426.1 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 426.1 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 8.742 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。

I_min = h·b³/12 = 60·25³/12 = 78125 mm⁴

计算长度

KL = 0.7·6000 = 4200 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·78125/4200² = 8742 N = 8.742 kN

答案

P_cr = 8.742 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 54.32 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2.5·150000 = 375000 N

KL = 0.5·3000 = 1500 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·375000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 54.32 mm

答案

d = 54.32 mm

校核：长细比 KL/r 为 110.5，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 6.904 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·25 = 5500 mm², y_f = 120 + 25/2 = 132.5 mm

腹板: A_w = 10·120 = 1200 mm², y_w = 120/2 = 60 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (5500·132.5 + 1200·60)/6700 = 119.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·25³/12 + 5500·(132.5 − 119.5)² = 1.214 × 10⁶ mm⁴

腹板: 10·120³/12 + 1200·(60 − 119.5)² = 5.69 × 10⁶ mm⁴

I_x = 1.214 × 10⁶ + 5.69 × 10⁶ = 6.904 × 10⁶ mm⁴ = 6.904 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 6.904 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 131.4 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (28800·120 − 4000·156)/(28800 − 4000) = 114.2 mm

完整的板关于 ȳ

120·240³/12 + 28800·5.806² = 139.2 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

80·50³/12 + 4000·41.81² = 7.824 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 131.4 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 131.4 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: u = 39.24 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

答案

u = 39.24 kPa

14.土中有效应力

答案: σ′ = 109.3 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·5 + γ_sat,sand·1 + γ_sat,clay·3

σ = 15·5 + 19.5·1 + 18·3 = 148.5 kPa

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·4 = 39.24 kPa

有效应力

σ′ = σ − u = 148.5 − 39.24 = 109.3 kPa

答案

σ′ = 109.3 kPa

15.固结沉降

答案: S = 131.9 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 40 + 240 = 280 kPa > 150 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.03·2/(1 + 0.7)·log₁₀(150/40) + 0.35·2/(1 + 0.7)·log₁₀(280/150)

S = 20.26 + 111.6 = 131.9 mm

答案

S = 131.9 mm

16.固结沉降

答案: t = 34.34 年

排水路径

H_dr = H = 4.5 m

时间

t = T_v·H_dr²/c_v = 0.848·4.5²/0.5 = 34.34 年

答案

t = 34.34 年

17.静水压力

答案: F = 58.86 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

答案

F = 58.86 kN

18.静水压力

答案: F = 181 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 0.5 + 3/2 = 2 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2·9 = 181 kN

答案

F = 181 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 12.85 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²

V = Q/A = 0.003/0.001963 = 1.528 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.528²/(2·9.81) = 0.119 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(300/0.05)·1.528²/(2·9.81) = 12.85 m

答案

h_f = 12.85 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: H = 11.14 m

速度

V = Q/A = 0.15/0.04909 = 3.056 m/s

V²/(2g) = 0.4759 m

损失系数

f·L/D = 0.02·200/0.25 = 16

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 = 6.4

能量方程

出口射流仍带有速度水头；它不是损失，但必须由水头提供。

H = (1 + 16 + 6.4)·0.4759 = 11.14 m

答案

H = 11.14 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 71.14 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (3 + 2·2.5)·2.5 = 20 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·2.5·√(1 + 2²) = 14.18 m

R = A/P = 1.41 m

速度

V = (1/0.025)·1.41^2/3·0.005^1/2 = 3.557 m/s

流量

Q = A·V = 20·3.557 = 71.14 m³/s

答案

Q = 71.14 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.004911 m/m

几何参数

A = (b + z·y)·y = (6 + 3·0.9)·0.9 = 7.83 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 6 + 2·0.9·√(1 + 3²) = 11.69 m

R = A/P = 0.6697 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.014·30/(7.83·0.7654) = 0.07008

S = 0.07008² = 0.004911

答案

S = 0.004911

即每千米下降 4.911 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 94.83 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.1·58 = 56.9 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 56.9/0.6 = 94.83 kW

答案

P_shaft = 94.83 kW

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 25.36 kW

速度

V = Q/A = 0.075/0.03142 = 2.387 m/s

V²/(2g) = 0.2905 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (50 + 8)·0.2905 = 16.85 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 9 + 16.85 = 25.85 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.075·25.85/0.75 = 25.36 kW

答案

P_shaft = 25.36 kW

25.货币的时间价值

答案: PV = 7413 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = 0.05/12 = 0.004167

N = 12·6 = 72

现值

PV = FV/(1 + i)^N = 10 000/1.349 = €7 412.80

答案

PV = €7 412.80

26.货币的时间价值

答案: A = 568.2 €

月利率和存款次数

i = 0.048/12 = 0.004

N = 12·4 = 48

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0.004/(1.211 − 1) = €568.16

答案

A = €568.16

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 784.8 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

各笔现金流的现值

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0.12)¹ = 13 000/1.12 = 11 607.14

CF₂/(1 + 0.12)² = 18 000/1.254 = 14 349.49

CF₃/(1 + 0.12)³ = 10 000/1.405 = 7 117.80

CF₄/(1 + 0.12)⁴ = 20 000/1.574 = 12 710.36

相加

NPV = €784.80

答案

NPV = €784.80

NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。

28.NPV 与 IRR

答案: NPV = −10995 €

增长型年金的现值

((1.04)/(1.1))⁴ = 0.799

PV = 41 500/(0.1 − 0.04)·(1 − 0.799) = 139 004.85

NPV

NPV = 139 004.85 − 150 000 = −€10 995.15

答案

NPV = −€10 995.15

NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。

29.正态分布

答案: P = 0.6295

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (57 − 65)/10 = −0.8

z₂ = (75 − 65)/10 = 1

中间面积

P = Φ(1) − Φ(−0.8) = 0.8413 − 0.2119 = 0.6295

答案

P = 0.6295

30.正态分布

答案: x = 24.31 min

该百分位数对应的 z

Φ(z) = 0.1 → z = −1.282

换算回 x

x = 32 + −1.282·6 = 24.31 min

答案

x = 24.31 min

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