FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 4 mP₁ = 25 kN 位于 1 mP₂ = 60 kN 位于 3 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。距 A 为 7 m 处作用一个荷载 P，与水平方向成 30°；距 A 为 5 m 处作用一个竖向荷载 Q。求铰支座 A 处总反力 R_A 的大小。

L = 8 mP = 80 kN 位于 7 m, θ = 30°Q = 40 kN 位于 5 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

F: 40 kN ↓G: 40 kN ↓H: 25 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 15 kN ↓F: 10 kN ↓G: 35 kN ↓H: 10 kN ←

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 FC
13杆件 HC

5.剪力和弯矩中等

求距支座 A 为 x = 4 m 的截面处的剪力 V_x。下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。

L = 5 mw = 2 kN/m，从 0 到 5 mx = 4 m

V_x = kN

6.剪力和弯矩困难

梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1.5 m 至自由端 C。均布荷载 w 作用在 A–C 全长上。求两支座之间的最大正弯矩 M_max。

L = 6.5 mw = 6 kN/m，从 0 到 6.5 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m

M_max = kN·m

7.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 1.5 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 2 kNa = 1.5 mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)I = 8.5 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.梁的挠度困难

一根矩形截面的简支木梁，宽 125 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 h_req。

w = 2 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (结构木材)b = 125 mm

h_req = mm

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端固定。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，两端铰接。它需承受 15 kN，屈曲安全系数为 2。求最小直径 d。

P = 15 kNn = 2L = 4 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

空心矩形（箱形）截面的外宽 B = 100 mm，外高 H = 325 mm，壁厚均为 t = 12 mm。求其对水平形心轴的回转半径 r。

B = 100 mmH = 325 mmt = 12 mm

r = mm

12.形心和惯性矩困难

铸铁梁采用图示 T 形截面，翼缘在上。容许拉应力为 50 MPa，容许压应力为 100 MPa。求梁能承受的最大正弯矩 M_allow。

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 8 mmh_w = 260 mmσ_t,allow = 50 MPaσ_c,allow = 100 MPa

M_allow = kN·m

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 9 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 5.5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 16 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³黏土: γ_sat = 18 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 7 m 的超固结黏土，C_c = 0.3，C_r = 0.02，e₀ = 1.1。其中点深度处的竖向有效应力为 120 kPa ，先期固结压力为 180 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 150 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 7 mC_c = 0.3C_r = 0.02e₀ = 1.1σ′₀ = 120 kPaσ′_p = 180 kPaΔσ = 150 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 19 mm、上下两面排水的黏土试样在 5 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 6 m 的土层。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 19 mmt_lab = 5 minH = 6 m现场：单面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 12 L/s 的流量流过一根长 200 m、内径 150 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 12 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 200 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 0.2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 75 L/s？

Q = 75 L/sL = 200 mD = 250 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×2)K_valve = 0.2K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形砾石渠道底宽 2.5 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 0.5 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.025，底坡 S = 0.004。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 2.5 my = 0.5 mz = 2n = 0.025S = 0.004

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 5.5 m 的矩形植草土渠渠道须以 2.2 m 的水深均匀输送 18 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.03。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 18 m³/sb = 5.5 my = 2.2 mn = 0.03

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

在一次试验中，水泵以 62 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 15.6 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。

Q = 20 L/sH = 62 mP_shaft = 15.6 kWg = 9.81 m/s²

η = %

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 24 m 的上游水箱。管道长 400 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 75%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sΔz = 24 mL = 400 mD = 150 mmf = 0.018ΣK = 8η = 75%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4.8% 投资 €20 000，按月复利。求 9 年后的投资价值 FV。

PV = €20 0004.8% / 12n = 9

FV = €

26.货币的时间价值困难

你希望在 7 年后得到 €20 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 3.6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。

FV = €20 0003.6% / 12N = 84

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000，使用 6 年，每年运行费用为 €3 000（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €40 000M = €3 000n = 6r = 5%

EAC = €

28.NPV 与 IRR困难

某项目投入 €40 000，在第 1 年至第 3 年年末每年回收 €20 000, €22 000, €22 000。求其内部收益率 IRR（百分数）。

CF₀ = −40 000CF₁ = 20 000CF₂ = 22 000CF₃ = 22 000

IRR = %

29.正态分布中等

拖动 z，使标准正态曲线下 z 右侧的阴影面积为 0.2611。求 z，保留两位小数。

A = 0.2611

z =

30.正态分布困难

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。拖动截断值，使阴影的前 25% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 65 分σ = 10 分25%

x = 分

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 51.25 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·4 = 25·1 + 60·3

R_B = 205/4 = 51.25 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 51.25 = 33.75 kN

答案

R_B = 51.25 kN

2.梁的支座反力

答案: R_A = 72.11 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

P 的分量

P_v = 80·sin 30° = 40 kN

P_h = 80·cos 30° = 69.28 kN

反力

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·7 + 40·5 → R_B = 60 kN

A_y = 40 + 40 − 60 = 20 kN

A_x = P_h = 69.28 kN

A 处的合力

R_A = √(69.28² + 20²) = 72.11 kN

答案

R_A = 72.11 kN

3.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 42.19 kN (T), BC: 54.37 kN (T), CD: 54.37 kN (T), DE: 36.56 kN (T), FG: 42.19 kN (C), GH: 36.56 kN (C), AF: 70.31 kN (C), HE: 60.94 kN (C), BF: 16.25 kN (T), CG: 0, DH: 23.75 kN (T), BG: 20.31 kN (C), DG: 29.69 kN (C)

答案

零杆: CG

4.桁架：节点法

答案: 杆件 DH

节点 D

CD 和 DE 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 DH。

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 28.75 kN (T), BC: 28.75 kN (T), CD: 21.25 kN (T), DE: 21.25 kN (T), FG: 52.5 kN (C), GH: 52.5 kN (C), AF: 54.8 kN (C), HE: 30.05 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 35 kN (C), DH: 0, FC: 19.45 kN (T), HC: 30.05 kN (T)

答案

零杆: DH

5.剪力和弯矩

答案: V_x = −3 kN

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·5 = 10 kN，作用于 x̄ = 2.5 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 2·5·2.5

R_B = 25/5 = 5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 10 − 5 = 5 kN

在 x = 4 m 处截开，保留左侧部分

只考虑截面左侧的力。一段均布荷载等效为作用在该段中点的一个集中力。

V = R_A − （截面左侧所有向下荷载）

V_x = 5 − 2·4 = −3 kN

答案

V_x = −3 kN

6.剪力和弯矩

答案: M_max = 15.53 kN·m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡，包括外伸段上的荷载。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 6·6.5 = 39 kN，作用于 x̄ = 3.25 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 6·6.5·3.25

R_B = 126.8/5 = 25.35 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 25.35 = 13.65 kN

剪力为零

R_A − w·x₀ = 0 → x₀ = 13.65/6 = 2.275 m

最大正弯矩

M_max = R_A·x₀ − w·x₀²/2 = R_A²/(2w) = 13.65²/(2·6) = 15.53 kN·m

答案

M_max = 15.53 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ_P = 39.3 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 2000 N, a = 1500 mm, b = 3500 mm, L = 5000 mm

EI = 9.35 × 10¹⁰ N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 2000·1500²·3500²/(3·9.35 × 10¹⁰·5000) = 39.3 mm

答案

δ_P = 39.3 mm

8.梁的挠度

答案: h_req = 153.8 mm

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 2 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

挠度限值

δ_allow = L/250 = 4000/250 = 16 mm

所需惯性矩

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2·4000⁴/(384·11000·16) = 3.788 × 10⁷ mm⁴

所需高度

bh³/12 = I_req → h = (12·3.788 × 10⁷/125)^1/3 = 153.8 mm

答案

h_req = 153.8 mm

实际中应选取比该值大的下一个标准高度。

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 21.7 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 0.5·4000 = 2000 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/2000² = 21704 N = 21.7 kN

答案

P_cr = 21.7 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 47.18 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 2·15000 = 30000 N

KL = 1·4000 = 4000 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·4000²/(π³·200000))^(1/4) = 47.18 mm

答案

d = 47.18 mm

校核：长细比 KL/r 为 339.1，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: r = 108.5 mm

惯性矩：矩形对自身形心轴的惯性矩为 I = bh³/12，对其底边为 bh³/3（平行移轴定理 I = I_c + A·d²）。孔洞的处理方法是减去它的 I，前提是两部分对同一根轴计算。弹性抗弯截面系数为 S = I/c，其中 c 为到最外边缘纤维的距离。回转半径 r = √(I/A) 是这样一个距离：全部面积集中在该距离处时得到相同的 I；它用于压杆屈曲计算。

净面积和惯性矩

b = 76 mm, h = 301 mm

A = BH − bh = 100·325 − 76·301 = 9624 mm²

I = (BH³ − bh³)/12 = 1.134 × 10⁸ mm⁴

回转半径

r = √(I/A) = √(1.134 × 10⁸/9624) = 108.5 mm

答案

r = 108.5 mm

12.形心和惯性矩

答案: M_allow = 9.017 kN·m

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

形心

ȳ = (6000·270 + 2080·130)/8080 = 234 mm

上边缘: c = 280 − 234 = 46.04 mm

惯性矩

I = 300·20³/12 + 6000·36.04² + 8·260³/12 + 2080·104² = 4.219 × 10⁷ mm⁴

每个边缘允许的弯矩

正弯矩：上侧受压，下侧受拉。

上边缘: M = 100·4.219 × 10⁷/46.04 = 91.64 kN·m

下边缘: M = 50·4.219 × 10⁷/234 = 9.017 kN·m

控制值

M_allow = min = 9.017 kN·m (下边缘)

答案

M_allow = 9.017 kN·m

13.土中有效应力

答案: u = 58.86 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

答案

u = 58.86 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 99 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2.5

σ = 16·1 + 19·2 + 18·2.5 = 99 kPa

答案

σ = 99 kPa

15.固结沉降

答案: S = 187.8 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 120 + 150 = 270 kPa > 180 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.02·7/(1 + 1.1)·log₁₀(180/120) + 0.3·7/(1 + 1.1)·log₁₀(270/180)

S = 11.74 + 176.1 = 187.8 mm

答案

S = 187.8 mm

16.固结沉降

答案: t = 1385 天

排水路径

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 6 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 5·(6/0.0095)² = 1.994 × 10⁶ min

t_field = 1.994 × 10⁶/1440 = 1385 天

答案

t = 1385 天

17.静水压力

答案: F = 80.93 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·3 = 80.93 kN

答案

F = 80.93 kN

18.静水压力

答案: F = 163.4 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·2 = 5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.25·5 = 163.4 kN

答案

F = 163.4 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 0.6894 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²

V = Q/A = 0.012/0.01767 = 0.6791 m/s

速度水头

V²/(2g) = 0.6791²/(2·9.81) = 0.0235 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(200/0.15)·0.6791²/(2·9.81) = 0.6894 m

答案

h_f = 0.6894 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 1.701 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s

V²/(2g) = 0.119 m

损失系数

f·L/D = 0.015·200/0.25 = 12

ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 0.2 + 1.0 = 2.3

总水头损失

h_f = 12·0.119 = 1.428 m

h_m = 2.3·0.119 = 0.2737 m

Δz = h_f + h_m = 1.701 m

答案

Δz = 1.701 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 2.28 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 2·0.5)·0.5 = 1.75 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·0.5·√(1 + 2²) = 4.736 m

R = A/P = 0.3695 m

速度

V = (1/0.025)·0.3695^2/3·0.004^1/2 = 1.303 m/s

流量

Q = A·V = 1.75·1.303 = 2.28 m³/s

答案

Q = 2.28 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001524 m/m

几何参数

A = b·y = 5.5·2.2 = 12.1 m²

P = b + 2y = 5.5 + 2·2.2 = 9.9 m

R = A/P = 1.222 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.03·18/(12.1·1.143) = 0.03904

S = 0.03904² = 0.001524

答案

S = 0.001524

即每千米下降 1.524 m。

23.水泵与泵功率

答案: η = 77.98 %

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·62 = 12.16 kW

效率

η = P_h/P_shaft = 12.16/15.6 = 77.98%

答案

η = 77.98%

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 30.64 kW

速度

V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s

V²/(2g) = 0.408 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (48 + 8)·0.408 = 22.85 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 24 + 22.85 = 46.85 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.05·46.85/0.75 = 30.64 kW

答案

P_shaft = 30.64 kW

25.货币的时间价值

答案: FV = 30780 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.048/12 = 0.004

N = m·n = 12·9 = 108

终值

FV = 20 000·(1 + 0.004)¹⁰⁸ = 20 000·1.539 = €30 780.17

答案

FV = €30 780.17

26.货币的时间价值

答案: A = 209.7 €

月利率和存款次数

i = 0.036000000000000004/12 = 0.003

N = 12·7 = 84

存款额

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 20 000·0.003/(1.286 − 1) = €209.71

答案

A = €209.71

27.NPV 与 IRR

答案: EAC = 10881 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.05⁻⁶)/0.05 = 5.076

年化购置价格

40 000/5.076 = 7 880.70

EAC

EAC = 7 880.70 + 3 000 = €10 880.70

答案

EAC = €10 880.70

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 27.22 %

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

夹逼 IRR

利率上升时 NPV 下降，所以 IRR 介于 NPV 为正的利率和 NPV 为负的利率之间。

NPV(25%) = 1 344.00

NPV(30%) = −1 583.98

缩小范围

线性插值给出初步估计；反复插值（或使用计算器的 IRR 功能）可得到精确利率。

IRR ≈ 25 + 5·1 344.00/(1 344.00 − (−1 583.98)) = 27.3%

精确: NPV(27.22%) = 0 → IRR = 27.22%

答案

IRR = 27.22%

29.正态分布

答案: z = 0.64

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

z 左侧的面积

Φ(z) = 1 − 0.2611 = 0.7389

反向查 z 表

在表中找到 0.7389，读出 z。

z = 0.64

答案

z = 0.64

30.正态分布

答案: x = 71.7 分

左侧的面积

Φ(z) = 0.75

由表得到的 z

z ≈ 0.67

回到原来的单位

x = 65 + 0.67·10 = 71.7 分

答案

x = 71.7 分

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