梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 2.5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 RB，以向上为正。
AB = 2.5 mAC = 4 mP1 = 70 kN 位于 2 mP2 = 75 kN 位于 4 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 6 mP = 15 kN 位于 5 mw = 5 kN/m，从 3 到 4 m
RB = kN
3.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AC 中的力 FAC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 4 mB 距 A 2 m竖向荷载 = 30 kN
FAC = kN
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 2 mB 距 A 6 m竖向荷载 = 50 kN水平荷载 = 15 kN ←
FAB = kN
5.剪力和弯矩中等
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
25 kN @ 1 m45 kN @ 5 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
40 kN @ 12 m35 kN @ 6 m4 kN/m, 0–8 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 2 m)
- 3C (x = 4 m)
- 4D (x = 6 m)
- 5E (x = 8 m)
- 6F (x = 10 m)
- 7G (x = 12 m)
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 20 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 10 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (结构木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 1.5 mE = 200 GPa (钢)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 3 mE = 70 GPa (铝)d = 30 mm
σcr = MPa
11.形心和惯性矩中等
一块 120 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 105 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 150 mmd = 40 mm孔心: y = 105 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 10 kN·m 的正弯矩。 求顶边弯曲应力 σ顶部 的大小。
bf = 120 mmtf = 30 mmtw = 20 mmhw = 260 mmM = 10 kN·m
σ顶部 = MPa
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。
z = 6 mzw = 4 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 20 kN/m³
σ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 8.5 mzw = 3 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 15 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³黏土: γsat = 17.5 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 3.5 m 的超固结黏土，Cc = 0.4，Cr = 0.04，e₀ = 0.9。其中点深度处的竖向有效应力为 40 kPa ，先期固结压力为 100 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 70 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 3.5 mCc = 0.4Cr = 0.04e0 = 0.9σ′0 = 40 kPaσ′p = 100 kPaΔσ = 70 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
一层厚 4.5 m 的黏土，固结系数 cv = 0.5 m²/year。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 平均固结度为 80% 时，时间因数 Tv = 0.567。该土层需要多少年 t 才能达到 80% 固结度？
H = 4.5 mcv = 0.5 m²/年份U = 80%Tv = 0.567单面排水
t = 年
17.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 1.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
19.管道摩擦与水头损失中等
水（ρ = 1000 kg/m³）以 2.9 m/s 的速度流过一根长 500 m、内径 200 mm 的水平管道。取达西摩擦系数 f = 0.015，g = 9.81 m/s²。求管道的压降 Δp，以 kPa 计。
V = 2.9 m/sL = 500 mD = 200 mmf = 0.015ρ = 1000 kg/m³
Δp = kPa
20.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 150 m、内径 150 mm、达西摩擦系数 f = 0.018 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 40 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 40 mL = 150 mD = 150 mmf = 0.018Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Q = L/s
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条矩形抹面混凝土渠道宽 2.5 m。水以 1.4 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.002。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 2.5 my = 1.4 mn = 0.012S = 0.002
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一条底宽 1 m、边坡 2:1（水平:竖直）的梯形砖砌渠道 须以 2.2 m 的水深均匀输送 46 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.015。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 46 m³/sb = 1 my = 2.2 mz = 2n = 0.015
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
一台效率为 60% 的水泵以 28 m 的扬程输送 30 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 30 L/sH = 28 mη = 60%g = 9.81 m/s²
Pshaft = kW
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 7 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.018；局部损失系数之和为 ΣK = 3（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 水泵效率为 82%。求轴功率 Pshaft，以 kW 计。
Q = 20 L/sΔz = 7 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.018ΣK = 3η = 82%
Pshaft = kW
25.货币的时间价值中等
你以每年 8% 的利率连续复利投资 €1 000。求 11 年后的价值 FV。
PV = €1 000r = 8%t = 11
FV = €
26.货币的时间价值困难
一笔 €30 000 的贷款在 7 年内按月等额偿还，年利率 4.8%，按月复利。在整个贷款期内共支付多少利息 I？
P = €30 0004.8% / 12N = 84
I = €
27.NPV 与 IRR中等
一项 €60 000 的投资在第 1 年至第 4 年年末带来以下现金流：€29 000, €28 000, €22 000, €27 000。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
r = 8%CF0 = −60 000CF1 = 29 000CF2 = 28 000CF3 = 22 000CF4 = 27 000
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
一个项目今天需投入 €100 000。其现金流在第 1 年年末为 €11 000，之后每年增长 4%，直到第 9 年年末的最后一笔现金流。资本成本为 8%。求净现值 NPV。
C0 = €100 000CF1 = €11 000g = 4%n = 9r = 8%
NPV = €
29.正态分布中等
配送时间服从正态分布，均值为 32 min，标准差为 6 min。介于 30.5 和 33.5 min 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 32σ = 6x1 = 30.5x2 = 33.5
P =
30.正态分布困难
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。求数值 x，使得有 90% 的数据低于它（第 90 百分位数）。
μ = 100σ = 15P = 90%
x = 分
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 176 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·2.5 = 70·2 + 75·4
RB = 440/2.5 = 176 kN
竖向平衡
RA = 70 + 75 − 176 = −31 kN
答案
RB = 176 kN
RA 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。
2.梁的支座反力
答案: RB = 15.42 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN，作用于 x̄ = 3.5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 15·5 + 5·1·3.5
RB = 92.5/6 = 15.42 kN
ΣFy = 0: RA = 20 − 15.42 = 4.583 kN
答案
RB = 15.42 kN
3.桁架：节点法
答案: FAC = 9 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 30·2 → Cy = 12 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 12 = 18 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 4/5 = 0.8, cos γ = 3/5 = 0.6
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −12/0.8 = −15 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−15)·0.6 = 9 kN
答案
FAC = 9 kN (受拉)
4.桁架：节点法
答案: FAB = −51.39 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 50·6 − 15·2 → Cy = 33.75 kN
ΣFy = 0: Ay = 50 − 33.75 = 16.25 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 2/6.325 = 0.3162
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −16.25/0.3162 = −51.39 kN
答案
FAB = −51.39 kN (受压)
5.剪力和弯矩
答案: F (x = 5 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 28.33 kN, R2 = 41.67 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 28.33, MC = 31.67, MD = 35, ME = 38.33, MF = 41.67 kN·m, MG = 0
答案
标记点 F: MF = 41.67 kN·m
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 8 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 4.75 kN, R2 = 102.3 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 1.5, MC = −13, MD = −43.5, ME = −160 kN·m, MF = −80, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −160 kN·m
7.梁的挠度
答案: δ = 57.14 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 20 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 20·4000⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 57.14 mm
答案
δ = 57.14 mm
8.梁的挠度
答案: Ireq = 532.7 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 5000/360 = 13.89 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·10·5000⁴/(384·11000·13.89) = 5.327 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 532.7 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 532.7 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 78.96 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
矩形绕弱轴屈曲，使用较小边长的三次方。
Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴
计算长度
KL = 1·1500 = 1500 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/1500² = 78957 N = 78.96 kN
答案
Pcr = 78.96 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 8.812 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
回转半径和长细比
A = 706.9 mm²
r = √(I/A) = √(39761/706.9) = 7.5 mm
KL = 0.7·3000 = 2100 mm
KL/r = 2100/7.5 = 280
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/280² = 8.812 MPa
答案
σcr = 8.812 MPa
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 32.41 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (18000·75 − 1257·105)/(18000 − 1257) = 72.75 mm
完整的板关于 ȳ
120·150³/12 + 18000·2.252² = 33.84 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·40⁴/64 + 1257·32.25² = 1.433 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 32.41 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 32.41 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: σ顶部 = 13.55 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成两个矩形
每个 y 都从底边量起。
翼缘: Af = 120·30 = 3600 mm², yf = 260 + 30/2 = 275 mm
腹板: Aw = 20·260 = 5200 mm², yw = 260/2 = 130 mm
形心
ȳ = (Afyf + Awyw)/(Af + Aw) = (3600·275 + 5200·130)/8800 = 189.3 mm
平行移轴定理
翼缘: 120·30³/12 + 3600·(275 − 189.3)² = 2.67 × 10⁷ mm⁴
腹板: 20·260³/12 + 5200·(130 − 189.3)² = 4.759 × 10⁷ mm⁴
Ix = 2.67 × 10⁷ + 4.759 × 10⁷ = 7.429 × 10⁷ mm⁴
弯曲应力
顶边距中性轴 h − ȳ。
y = 290 − 189.3 = 100.7 mm
σ = M·y/I = 1 × 10⁷·100.7/7.429 × 10⁷ = 13.55 MPa
答案
σ顶部 = 13.55 MPa
13.土中有效应力
答案: σ = 100 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 15·4 + 20·2 = 100 kPa
答案
σ = 100 kPa
14.土中有效应力
答案: σ′ = 89.29 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·3 + γsat,sand·2 + γsat,clay·3.5
σ = 15·3 + 18.5·2 + 17.5·3.5 = 143.3 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5.5 = 53.96 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 143.3 − 53.96 = 89.29 kPa
答案
σ′ = 89.29 kPa
15.固结沉降
答案: S = 59.82 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 40 + 70 = 110 kPa > 100 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.04·3.5/(1 + 0.9)·log₁₀(100/40) + 0.4·3.5/(1 + 0.9)·log₁₀(110/100)
S = 29.32 + 30.5 = 59.82 mm
答案
S = 59.82 mm
16.固结沉降
答案: t = 22.96 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H = 4.5 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.567·4.5²/0.5 = 22.96 年
答案
t = 22.96 年
17.静水压力
答案: F = 117.7 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·2 = 4 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·4 = 117.7 kN
答案
F = 117.7 kN
18.静水压力
答案: F = 254.9 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m
A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·2.75·7.5 = 254.9 kN
答案
F = 254.9 kN
19.管道摩擦与水头损失
答案: Δp = 157.7 kPa
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
水头损失
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.015·(500/0.2)·2.9²/(2·9.81) = 16.07 m
压降
管道水平且流速不变，所以能量方程简化为 Δp = ρ·g·hf。
Δp = ρ·g·hf = 1000·9.81·16.07 = 157687 Pa = 157.7 kPa
答案
Δp = 157.7 kPa
20.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 90.23 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.018·150/0.15 = 18
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
40 = (18 + 12.1)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·40/30.1) = 5.106 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 5.106·0.01767 = 0.09023 m³/s = 90.23 L/s
答案
Q = 90.23 L/s
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 9.892 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = b·y = 2.5·1.4 = 3.5 m²
P = b + 2y = 2.5 + 2·1.4 = 5.3 m
R = A/P = 0.6604 m
速度
V = (1/0.012)·0.66042/3·0.0021/2 = 2.826 m/s
流量
Q = A·V = 3.5·2.826 = 9.892 m³/s
答案
Q = 9.892 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.002985 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (1 + 2·2.2)·2.2 = 11.88 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 1 + 2·2.2·√(1 + 2²) = 10.84 m
R = A/P = 1.096 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.015·46/(11.88·1.063) = 0.05464
S = 0.05464² = 0.002985
答案
S = 0.002985
即每千米下降 2.985 m。
23.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 13.73 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.03·28 = 8.24 kW
轴功率
Pshaft = Ph/η = 8.24/0.6 = 13.73 kW
答案
Pshaft = 13.73 kW
24.水泵与泵功率
答案: Pshaft = 3.336 kW
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s
V²/(2g) = 0.3305 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (18 + 3)·0.3305 = 6.941 m
泵扬程
H = Δz + hL = 7 + 6.941 = 13.94 m
轴功率
Pshaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.02·13.94/0.82 = 3.336 kW
答案
Pshaft = 3.336 kW
25.货币的时间价值
答案: FV = 2411 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
指数
r·t = 0.08·11 = 0.88
e0.88 = 2.411
终值
FV = 1 000·2.411 = €2 410.90
答案
FV = €2 410.90
26.货币的时间价值
答案: I = 5381 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月供
i = 0.004, N = 84
A = 30 000·0.004/(1 − (1 + 0.004)−84) = €421.20
利息总额
I = N·A − P = 84·421.2 − 30 000 = €5 381.11
答案
I = €5 381.11
27.NPV 与 IRR
答案: NPV = 28167 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −60 000
CF1/(1 + 0.08)1 = 29 000/1.08 = 26 851.85
CF2/(1 + 0.08)2 = 28 000/1.166 = 24 005.49
CF3/(1 + 0.08)3 = 22 000/1.26 = 17 464.31
CF4/(1 + 0.08)4 = 27 000/1.36 = 19 845.81
相加
NPV = €28 167.45
答案
NPV = €28 167.45
NPV 为正，因此项目收益高于要求回报率。
28.NPV 与 IRR
答案: NPV = −20803 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
增长型年金的现值
((1.04)/(1.08))9 = 0.712
PV = 11 000/(0.08 − 0.04)·(1 − 0.712) = 79 197.18
NPV
NPV = 79 197.18 − 100 000 = −€20 802.82
答案
NPV = −€20 802.82
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
29.正态分布
答案: P = 0.1974
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (30.5 − 32)/6 = −0.25
z₂ = (33.5 − 32)/6 = 0.25
中间面积
P = Φ(0.25) − Φ(−0.25) = 0.5987 − 0.4013 = 0.1974
答案
P = 0.1974
30.正态分布
答案: x = 119.2 分
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.9 → z = 1.282
换算回 x
x = 100 + 1.282·15 = 119.22 分
答案
x = 119.22 分
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