FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

梁在 A 处为铰支座，在距 A 为 5 m 的 B 处为滚动支座，并从 B 外伸至自由端 C。求竖向反力 R_B，以向上为正。

AB = 5 mAC = 8 mP₁ = 15 kN 位于 1 mP₂ = 65 kN 位于 8 m

R_B = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 10 mP = 55 kN 位于 6 mw = 10 kN/m，从 2 到 8 m

R_A = kN

3.桁架：节点法中等

用节点法求杆 BC 中的力 F_BC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 6 m高度 = 3 mB 距 A 4 m竖向荷载 = 20 kN

F_BC = kN

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 20 kN ↓F: 20 kN →G: 15 kN ↓

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

15 kN @ 2 m55 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

6.剪力和弯矩困难

简支梁在部分跨度上承受均布荷载。求从 A 到弯矩最大截面的距离 x₀。

L = 8 mw = 16 kN/m，从 0 到 6 m

x₀ = m

7.梁的挠度中等

简支梁在距支座 A 为 a = 2 m 处承受集中荷载 P。求荷载作用处的挠度 δ_P。

P = 26 kNa = 2 mL = 8 mE = 70 GPa (铝)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 12 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 4 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的钢实心圆柱，底部固定、顶部铰接。它需承受 75 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。

P = 75 kNn = 3L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)

d = mm

11.形心和惯性矩中等

一块 120 mm × 150 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 50 mm 的圆孔，孔心在底边之上 90 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 150 mmd = 50 mm孔心: y = 90 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

T 形截面作为梁使用，翼缘在上，承受 25 kN·m 的正弯矩。求顶边弯曲应力 σ_顶部的大小。

b_f = 300 mmt_f = 20 mmt_w = 12 mmh_w = 140 mmM = 25 kN·m

σ_顶部 = MPa

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 9 mz_w = 3 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 20.5 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15 kN/m³砂: γ_sat = 19.5 kN/m³黏土: γ_sat = 17.5 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 4.5 m 的超固结黏土，C_c = 0.45，C_r = 0.02，e₀ = 0.7。其中点深度处的竖向有效应力为 100 kPa ，先期固结压力为 210 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 180 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 4.5 mC_c = 0.45C_r = 0.02e₀ = 0.7σ′₀ = 100 kPaσ′_p = 210 kPaΔσ = 180 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 19 mm、上下两面排水的黏土试样在 12 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 9 m 的土层。它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 19 mmt_lab = 12 minH = 9 m现场：双面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 1.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 1.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2.5 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 10 L/s 的流量流过一根长 200 m、内径 150 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 10 L/sL = 200 mD = 150 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 300 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.015 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 23 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。

Δz = 23 mL = 300 mD = 200 mmf = 0.015K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 2K_exit = 1.0

Q = L/s

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形植草土渠渠道底宽 2.5 m，边坡 1:1（水平:竖直）。水以 0.6 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.03，底坡 S = 0.0015。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 2.5 my = 0.6 mz = 1n = 0.03S = 0.0015

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一根内径 600 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.75 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。

D = 600 mmn = 0.013V = 0.75 m/s

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 80% 的水泵以 68 m 的扬程输送 150 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 150 L/sH = 68 mη = 80%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 19 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 200 kPa。求水泵须提供的扬程 H。

Q = 20 L/sΔz = 19 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.02ΣK = 5p_tank = 200 kPa

H = m

25.货币的时间价值中等

你以名义年利率 4% 投资 €1 000，按月复利。求 10 年后的投资价值 FV。

PV = €1 0004% / 12n = 10

FV = €

26.货币的时间价值困难

你以每年 3% 的利率借入 €15 000，按月复利，每月月末偿还 €350。需要多少个月才能还清贷款（最后一笔还款可以较少）？给出还款次数 N。

P = €15 000A = €3503% / 12

N = 次还款

27.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €30 000，使用 5 年，每年运行费用为 €3 000（每年年末支付）。资本成本为 5%。求其等值年成本 EAC。

C₀ = €30 000M = €3 000n = 5r = 5%

EAC = €

28.NPV 与 IRR困难

项目 A 需投入 €20 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €11 000, €8 000, €5 000。项目 B 需投入 €30 000，回报为 €9 000, €11 500, €16 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。

A: −20 000, 11 000, 8 000, 5 000B: −30 000, 9 000, 11 500, 16 000

r* = %

29.正态分布中等

电池寿命服从正态分布，均值为 500 h，标准差为 40 h。介于 480 和 522 h 之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 500σ = 40x₁ = 480x₂ = 522

P =

30.正态分布困难

成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。拖动截断值，使阴影的前 80% 位于其右侧。求截断值 x。

μ = 178 cmσ = 7 cm80%

x = cm

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_B = 107 kN

静力平衡：静止的物体满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。

对 A 取矩

逆时针为正。

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·1 + 65·8

R_B = 535/5 = 107 kN

竖向平衡

R_A = 15 + 65 − 107 = −27 kN

答案

R_B = 107 kN

R_A 为负：A 处的铰支座必须把梁向下拉住。

2.梁的支座反力

答案: R_A = 52 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN，作用于 x̄ = 5 m

ΣM_A = 0: R_B·10 = 55·6 + 10·6·5

R_B = 630/10 = 63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 115 − 63 = 52 kN

答案

R_A = 52 kN

3.桁架：节点法

答案: F_BC = −16.02 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·6 = 20·4 → C_y = 13.33 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 13.33 = 6.667 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −13.33/0.8321 = −16.02 kN

答案

F_BC = −16.02 kN (受压)

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 37.5 kN (T), BC: 35 kN (T), CD: 35 kN (T), DE: 17.5 kN (T), FG: 37.5 kN (C), GH: 17.5 kN (C), AF: 24.75 kN (C), HE: 24.75 kN (C), BF: 17.5 kN (T), CG: 0, DH: 17.5 kN (T), BG: 3.536 kN (T), DG: 24.75 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: E (x = 4 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 28.33 kN, R₂ = 41.67 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 28.33, M_C = 56.67, M_D = 70, M_E = 83.33 kN·m, M_F = 41.67, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 83.33 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: x₀ = 3.75 m

截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。 最大弯矩：由于 dM/dx = V，弯矩的峰值出现在剪力过零的位置，可能在集中荷载处，也可能在分布荷载范围内。

支座反力

整根梁的平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 16·6 = 96 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 16·6·3

R_B = 288/8 = 36 kN

ΣF_y = 0: R_A = 96 − 36 = 60 kN

剪力为零

剪力从 R_A 开始，在无荷载段保持不变，在荷载范围内以斜率 w 下降。

R_A − w·(x₀ − 0) = 0

x₀ = 0 + 60/16 = 3.75 m

答案

x₀ = 3.75 m

7.梁的挠度

答案: δ_P = 61.9 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

P = 26000 N, a = 2000 mm, b = 6000 mm, L = 8000 mm

EI = 2.52 × 10¹² N·mm²

荷载作用处的挠度

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 26000·2000²·6000²/(3·2.52 × 10¹²·8000) = 61.9 mm

答案

δ_P = 61.9 mm

8.梁的挠度

答案: I_req = 51.43 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11.11 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·12·4000⁴/(384·70000·11.11) = 5.143 × 10⁷ mm⁴

I_req = 51.43 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 51.43 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 506.2 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴

计算长度

KL = 0.7·4000 = 2800 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2.011 × 10⁶/2800² = 506225 N = 506.2 kN

答案

P_cr = 506.2 kN

10.柱的屈曲

答案: d = 51.64 mm

所需临界荷载

P_cr = n·P = 3·75000 = 225000 N

KL = 0.7·2500 = 1750 mm

求解直径

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·225000·1750²/(π³·200000))^(1/4) = 51.64 mm

答案

d = 51.64 mm

校核：长细比 KL/r 为 135.6，柱为细长柱，适用欧拉公式。

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 32.95 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (18000·75 − 1963·90)/(18000 − 1963) = 73.16 mm

完整的板关于 ȳ

120·150³/12 + 18000·1.837² = 33.81 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

π·50⁴/64 + 1963·16.84² = 0.8634 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 32.95 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 32.95 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: σ_顶部 = 60.6 MPa

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 300·20 = 6000 mm², y_f = 140 + 20/2 = 150 mm

腹板: A_w = 12·140 = 1680 mm², y_w = 140/2 = 70 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6000·150 + 1680·70)/7680 = 132.5 mm

平行移轴定理

翼缘: 300·20³/12 + 6000·(150 − 132.5)² = 2.038 × 10⁶ mm⁴

腹板: 12·140³/12 + 1680·(70 − 132.5)² = 9.306 × 10⁶ mm⁴

I_x = 2.038 × 10⁶ + 9.306 × 10⁶ = 1.134 × 10⁷ mm⁴

弯曲应力

顶边距中性轴 h − ȳ。

y = 160 − 132.5 = 27.5 mm

σ = M·y/I = 2.5 × 10⁷·27.5/1.134 × 10⁷ = 60.6 MPa

答案

σ_顶部 = 60.6 MPa

13.土中有效应力

答案: u = 58.86 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·6 = 58.86 kPa

答案

u = 58.86 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 89 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2

σ = 15·1 + 19.5·2 + 17.5·2 = 89 kPa

答案

σ = 89 kPa

15.固结沉降

答案: S = 165.9 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 100 + 180 = 280 kPa > 210 kPa

沉降

σ′_p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。

S = 0.02·4.5/(1 + 0.7)·log₁₀(210/100) + 0.45·4.5/(1 + 0.7)·log₁₀(280/210)

S = 17.06 + 148.8 = 165.9 mm

答案

S = 165.9 mm

16.固结沉降

答案: t = 1870 天

排水路径

H_dr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m

H_dr,field = 9/2 = 4.5 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 12·(4.5/0.0095)² = 2.693 × 10⁶ min

t_field = 2.693 × 10⁶/1440 = 1870 天

答案

t = 1870 天

17.静水压力

答案: F = 176.6 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·6 = 176.6 kN

答案

F = 176.6 kN

18.静水压力

答案: F = 55.62 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3·1.5 = 55.62 kN

答案

F = 55.62 kN

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 0.6529 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.15²/4 = 0.01767 m²

V = Q/A = 0.01/0.01767 = 0.5659 m/s

速度水头

V²/(2g) = 0.5659²/(2·9.81) = 0.01632 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(200/0.15)·0.5659²/(2·9.81) = 0.6529 m

答案

h_f = 0.6529 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Q = 128.7 L/s

损失系数

f·L/D = 0.015·300/0.2 = 22.5

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4

能量方程

两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。

23 = (22.5 + 4.4)·V²/(2·9.81)

V = √(2·9.81·23/26.9) = 4.096 m/s

流量

Q = V·π·D²/4 = 4.096·0.03142 = 0.1287 m³/s = 128.7 L/s

答案

Q = 128.7 L/s

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 1.396 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (2.5 + 1·0.6)·0.6 = 1.86 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·0.6·√(1 + 1²) = 4.197 m

R = A/P = 0.4432 m

速度

V = (1/0.03)·0.4432^2/3·0.0015^1/2 = 0.7504 m/s

流量

Q = A·V = 1.86·0.7504 = 1.396 m³/s

答案

Q = 1.396 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001193 m/m

水力半径

R = D/4 = 0.6/4 = 0.15 m

由曼宁公式解 S

S = (n·V/R^2/3)² = (0.013·0.75/0.2823)² = 0.001193

答案

S = 0.001193

即每千米下降 1.193 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 125.1 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.15·68 = 100.1 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 100.1/0.8 = 125.1 kW

答案

P_shaft = 125.1 kW

24.水泵与泵功率

答案: H = 47.65 m

速度

V = Q/A = 0.02/0.007854 = 2.546 m/s

V²/(2g) = 0.3305 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 5)·0.3305 = 8.263 m

压力水头

p/(ρ·g) = 200000/(1000·9.81) = 20.39 m

泵扬程

两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。

H = Δz + p/(ρ·g) + h_L = 19 + 20.39 + 8.263 = 47.65 m

答案

H = 47.65 m

25.货币的时间价值

答案: FV = 1491 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.04/12 = 0.003333

N = m·n = 12·10 = 120

终值

FV = 1 000·(1 + 0.003333)¹²⁰ = 1 000·1.491 = €1 490.83

答案

FV = €1 490.83

26.货币的时间价值

答案: N = 46 次还款

将年金公式变形

i = 0.0025

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0.0025/350 = 0.8929

用对数求解

N = −ln(0.8929)/ln(1.002) = 45.39

向上取整到整次还款

45 次全额还款后还剩少量余额，由最后一笔较少的还款还清。

N = 46

答案

N = 46 次还款

27.NPV 与 IRR

答案: EAC = 9929 €

等值年成本：把所有成本的现值在寿命期内分摊为每年相等的金额（一份年金）：EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ)。它可以用来比较寿命不同的机器。

年金系数

(1 − 1.05⁻⁵)/0.05 = 4.329

年化购置价格

30 000/4.329 = 6 929.24

EAC

EAC = 6 929.24 + 3 000 = €9 929.24

答案

EAC = €9 929.24

28.NPV 与 IRR

答案: r* = 7.58 %

交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。

现金流之差

ΔCF₀ = −30 000 − (−20 000) = −10 000

ΔCF₁ = 9 000 − 11 000 = −2 000

ΔCF₂ = 11 500 − 8 000 = 3 500

ΔCF₃ = 16 000 − 5 000 = 11 000

差额的 IRR

NPV_Δ(7%) = 167.15

NPV_Δ(8%) = −119.01

r* = 7.58%

答案

r* = 7.58%

校核：在 7.58% 时两个 NPV 都是 €1 153.26。

29.正态分布

答案: P = 0.4003

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (480 − 500)/40 = −0.5

z₂ = (522 − 500)/40 = 0.55

中间面积

P = Φ(0.55) − Φ(−0.5) = 0.7088 − 0.3085 = 0.4003

答案

P = 0.4003

30.正态分布

答案: x = 172.1 cm

由面积反求 z：Φ(z) 是 z 左侧的面积。对于左尾面积 A，在表中找出使 Φ(z) = A 的 z。右尾面积 A 意味着 Φ(z) = 1 − A。−z 与 z 之间的中间面积 A 使每个尾部剩下 (1 − A)/2，所以 Φ(z) = (1 + A)/2。对于数值 x，用 x = μ + zσ。

左侧的面积

Φ(z) = 0.2

由表得到的 z

z ≈ −0.84

回到原来的单位

x = 178 − 0.84·7 = 172.1 cm

答案

x = 172.1 cm

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