梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 8 mP1 = 40 kN 位于 1 mP2 = 55 kN 位于 4 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
悬臂梁在 A 处固定在墙上。梁承受线性变化的荷载，在墙处为零，到自由端 B 增大到 12 kN/m；另在距墙 4.5 m 处承受集中荷载 P。 求墙处反力矩 MA 的大小。
L = 5 mw0 = 12 kN/mP = 75 kN 位于 4.5 m
MA = kN·m
3.桁架：节点法中等
用节点法求杆 AB 中的力 FAB。拉力为正，压力为负。
跨度 = 8 m高度 = 4 mB 距 A 5 m竖向荷载 = 45 kN
FAB = kN
4.桁架：节点法困难
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
D: 40 kN ↓F: 35 kN ↓F: 15 kN →G: 30 kN ↓H: 40 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
5.剪力和弯矩中等
悬臂梁在 A 端固定。梁全长承受均布荷载 w，并在距 A 为 4 m 处承受集中荷载 P。 求在固定端 A 处的弯矩 MA。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 4 mP = 60 kN 位于 4 mw = 2 kN/m，从 0 到 4 m
MA = kN·m
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
30 kN @ 6 m35 kN @ 1 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。
w = 4 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
一根矩形截面的简支木梁，宽 75 mm，全跨承受均布荷载 w。其跨中挠度不得超过跨度/250。求截面的最小高度 hreq。
w = 4 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (结构木材)b = 75 mm
hreq = mm
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 2.5 mE = 200 GPa (钢)d = 30 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢实心圆柱，两端固定。它需承受 10 kN，屈曲安全系数为 3。求最小直径 d。
P = 10 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (钢)
d = mm
11.形心和惯性矩中等
一块 100 mm × 200 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 40 mm 的圆孔，孔心在底边之上 140 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 100 mmh = 200 mmd = 40 mm孔心: y = 140 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
焊接工字形截面的上翼缘为 180 × 14 mm，腹板高 370 mm、厚 16 mm，下翼缘为 290 × 16 mm（宽 × 厚）。求其对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 Ix。
上翼缘: 180 × 14 mm腹板: 16 × 370 mm下翼缘: 290 × 16 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 7 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16 kN/m³砂: γsat = 20.5 kN/m³
σ′ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 7 mzw = 2 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 17 kN/m³砂: γsat = 19 kN/m³黏土: γsat = 19 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 4.5 m 的超固结黏土，Cc = 0.35，Cr = 0.04，e₀ = 0.7。其中点深度处的竖向有效应力为 85 kPa ，超固结比 OCR = 2.5。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 20 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 4.5 mCc = 0.35Cr = 0.04e0 = 0.7σ′0 = 85 kPaOCR = 2.5Δσ = 20 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
在室内固结仪试验中，一个厚 19 mm、上下两面排水的黏土试样在 15 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 4 m 的土层。 它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。 现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？
hlab = 19 mmtlab = 15 minH = 4 m现场：单面排水
t = 天
17.静水压力中等
一扇宽 1 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 0.5 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 0.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有海水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 4 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管道摩擦与水头损失中等
水以 40 L/s 的流量流过一根长 400 m、内径 200 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.018，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 40 L/sL = 400 mD = 200 mmf = 0.018g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 200 m、内径 300 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、2 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 10）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 75 L/s？
Q = 75 L/sL = 200 mD = 300 mmf = 0.022Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×2)Kvalve = 10Kexit = 1.0
Δz = m
21.明渠流（曼宁公式）中等
一根内径 300 mm 的混凝土雨水管刚好满流（作为明渠，不承压）。 曼宁 n = 0.013，坡度 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。
D = 300 mmn = 0.013S = 0.0005
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一条底宽 2.5 m、边坡 3:1（水平:竖直）的梯形砾石渠道 须以 2.3 m 的水深均匀输送 39 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.025。求所需底坡 S（以 m/m 计）。
Q = 39 m³/sb = 2.5 my = 2.3 mz = 3n = 0.025
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 72 m 的扬程输送 10 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 9.8 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 10 L/sH = 72 mPshaft = 9.8 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 37 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 150 mm，达西摩擦系数 f = 0.015；局部损失系数之和为 ΣK = 8（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 上游水箱是封闭的，水面上方空气的表压为 250 kPa。求水泵须提供的扬程 H。
Q = 50 L/sΔz = 37 mL = 200 mD = 150 mmf = 0.015ΣK = 8ptank = 250 kPa
H = m
25.货币的时间价值中等
你在 7 年后需要 €10 000。某账户年利率 2%，按月复利。今天需要存入多少？求现值 PV。
FV = €10 0002% / 12n = 7
PV = €
26.货币的时间价值困难
你希望在 3 年后得到 €100 000。你在每月月末把相同的金额存入一个年利率 3.6%、按月复利的账户。求每月存款额 A。
FV = €100 0003.6% / 12N = 36
A = €
27.NPV 与 IRR中等
一个项目今天需投入 €20 000，在 5 年内每年年末回报 €6 500。资本成本为 6%。假设现金流在每年内均匀流入。求折现回收期 DPB，以年表示。
r = 6%CF0 = −20 000CF1 = 6 500CF2 = 6 500CF3 = 6 500CF4 = 6 500CF5 = 6 500
DPB = 年
28.NPV 与 IRR困难
项目 A 需投入 €20 000，在第 1 年到第 3 年的每年年末回报 €11 500, €8 000, €4 500。项目 B 需投入 €25 000，回报为 €7 000, €10 000, €14 000。求两个项目 NPV 相同时的交叉利率 r*，以百分比表示。
A: −20 000, 11 500, 8 000, 4 500B: −25 000, 7 000, 10 000, 14 000
r* = %
29.正态分布中等
智商分数服从正态分布，均值为 100 分，标准差为 15 分。介于 100.75 和 103.75 分 之间的比例是多少？P 以小数表示。
μ = 100σ = 15x1 = 100.75x2 = 103.75
P =
30.正态分布困难
一组人中男性的身高 X 与女性的身高 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 180 cm，标准差为 10 cm，Y 的均值为 170 cm，标准差为 12 cm。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。
μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 32.5 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
ΣMA = 0: RB·8 = 40·1 + 55·4
RB = 260/8 = 32.5 kN
ΣFy = 0: RA = 95 − 32.5 = 62.5 kN
答案
RB = 32.5 kN
2.梁的支座反力
答案: MA = 437.5 kN·m
悬臂梁的平衡：固定端既能向上支承，也能阻止转动，所以它提供竖向反力 RA 和反力矩 MA。由 ΣFy = 0 得 RA，对墙取矩得 MA = Σ(荷载 × 到墙的距离)。分布荷载以其合力作用在荷载图的形心处。
三角形荷载的合力
W = ½·12·5 = 30 kN
x̄ = 2L/3 = 3.333 m
对墙的力矩
MA = W·x̄ + P·a = 30·3.333 + 75·4.5 = 437.5 kN·m
答案
MA = 437.5 kN·m
3.桁架：节点法
答案: FAB = −27.01 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·8 = 45·5 → Cy = 28.13 kN
ΣFy = 0: Ay = 45 − 28.13 = 16.88 kN
节点 A
假设每根杆受拉（背离节点）。在 A 处只有 AB 有竖向分量。
sin α = 4/6.403 = 0.6247
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −16.88/0.6247 = −27.01 kN
答案
FAB = −27.01 kN (受压)
4.桁架：节点法
答案: 杆件 BF
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 B
AB 和 BC 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 BF。
ΣF⊥ = 0 → FBF = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 72.5 kN (T), BC: 72.5 kN (T), CD: 87.5 kN (T), DE: 87.5 kN (T), FG: 95 kN (C), GH: 95 kN (C), AF: 81.32 kN (C), HE: 123.7 kN (C), BF: 0, CG: 30 kN (C), DH: 40 kN (T), FC: 31.82 kN (T), HC: 10.61 kN (T)
答案
零杆: BF
5.剪力和弯矩
答案: MA = −256 kN·m
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
保留自由端部分
P: −60·4 = −240 kN·m
w: −2·4²/2 = −16 kN·m
MA = −240 − 16 = −256 kN·m
答案
MA = −256 kN·m
负号表示负弯矩：上表面受拉。
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 11.25 kN, R2 = 53.75 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = 11.25, MC = −12.5, MD = −36.25, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −60 kN·m
7.梁的挠度
答案: δ = 21.77 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 4000 mm
EI = 5.88 × 10¹² N·mm²
挠度
δ = wL⁴/(8EI) = 4·4000⁴/(8·5.88 × 10¹²) = 21.77 mm
答案
δ = 21.77 mm
8.梁的挠度
答案: hreq = 172.3 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
w = 4 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²
挠度限值
δallow = L/250 = 3000/250 = 12 mm
所需惯性矩
Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·11000·12) = 3.196 × 10⁷ mm⁴
所需高度
bh³/12 = Ireq → h = (12·3.196 × 10⁷/75)1/3 = 172.3 mm
答案
hreq = 172.3 mm
实际中应选取比该值大的下一个标准高度。
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 25.63 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴
计算长度
KL = 0.7·2500 = 1750 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·39761/1750² = 25628 N = 25.63 kN
答案
Pcr = 25.63 kN
10.柱的屈曲
答案: d = 28.89 mm
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
所需临界荷载
Pcr = n·P = 3·10000 = 30000 N
KL = 0.5·3000 = 1500 mm
求解直径
d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·30000·1500²/(π³·200000))^(1/4) = 28.89 mm
答案
d = 28.89 mm
校核：长细比 KL/r 为 207.7，柱为细长柱，适用欧拉公式。
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 64.4 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (20000·100 − 1257·140)/(20000 − 1257) = 97.32 mm
完整的板关于 ȳ
100·200³/12 + 20000·2.682² = 66.81 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·40⁴/64 + 1257·42.68² = 2.415 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 64.4 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 64.4 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: Ix = 320.5 × 10⁶ mm⁴
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
分成三个矩形
每个 y 都从底边量起。
上翼缘: A = 2520 mm², y = 393 mm
腹板: A = 5920 mm², y = 201 mm
下翼缘: A = 4640 mm², y = 8 mm
形心
ȳ = (2520·393 + 5920·201 + 4640·8)/13080 = 169.5 mm
平行移轴定理
上翼缘: 180·14³/12 + 2520·223.5² = 1.259 × 10⁸ mm⁴
腹板: 16·370³/12 + 5920·31.47² = 7.34 × 10⁷ mm⁴
下翼缘: 290·16³/12 + 4640·161.5² = 1.212 × 10⁸ mm⁴
Ix = 1.259 × 10⁸ + 7.34 × 10⁷ + 1.212 × 10⁸
Ix = 3.205 × 10⁸ mm⁴ = 320.5 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 320.5 × 10⁶ mm⁴
13.土中有效应力
答案: σ′ = 85.45 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 16·2 + 20.5·5 = 134.5 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 134.5 − 49.05 = 85.45 kPa
答案
σ′ = 85.45 kPa
14.土中有效应力
答案: σ′ = 79.95 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·2 + γsat,sand·2 + γsat,clay·3
σ = 17·2 + 19·2 + 19·3 = 129 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·5 = 49.05 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 129 − 49.05 = 79.95 kPa
答案
σ′ = 79.95 kPa
15.固结沉降
答案: S = 9.717 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
先期固结压力
σ′p = OCR·σ′0 = 2.5·85 = 212.5 kPa
与先期固结压力比较
σ′f = 85 + 20 = 105 kPa ≤ 212.5 kPa
沉降
黏土始终位于再压缩线上。
S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0) = 0.04·4.5/(1 + 0.7)·log₁₀(105/85) = 9.717 mm
答案
S = 9.717 mm
16.固结沉降
答案: t = 1847 天
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr,lab = 19/2 = 9.5 mm = 0.0095 m
Hdr,field = 4 m
换算时间
t = Tv·Hdr²/cv，室内和现场的 T_v 和 cv 相同。
tfield = 15·(4/0.0095)² = 2.659 × 10⁶ min
tfield = 2.659 × 10⁶/1440 = 1847 天
答案
t = 1847 天
17.静水压力
答案: F = 18.39 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 0.5 + 1.5/2 = 1.25 m
A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·1.25·1.5 = 18.39 kN
答案
F = 18.39 kN
18.静水压力
答案: ycp = 4.789 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·4.75·4.5 = 214.9 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.75 + 0.8438/(4.75·4.5) = 4.789 m
答案
ycp = 4.789 m
19.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 2.975 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.2²/4 = 0.03142 m²
V = Q/A = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s
速度水头
V²/(2g) = 1.273²/(2·9.81) = 0.08263 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.018·(400/0.2)·1.273²/(2·9.81) = 2.975 m
答案
hf = 2.975 m
20.管道摩擦与水头损失
答案: Δz = 1.536 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
速度
V = Q/A = 0.075/0.07069 = 1.061 m/s
V²/(2g) = 0.05738 m
损失系数
f·L/D = 0.022·200/0.3 = 14.67
ΣK = 0.5 + 2·0.3 + 10 + 1.0 = 12.1
总水头损失
hf = 14.67·0.05738 = 0.8416 m
hm = 12.1·0.05738 = 0.6943 m
Δz = hf + hm = 1.536 m
答案
Δz = 1.536 m
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 0.02162 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = 0.07069 m², R = D/4 = 0.075 m
速度
V = (1/0.013)·0.0752/3·0.00051/2 = 0.3059 m/s
流量
Q = A·V = 0.07069·0.3059 = 0.02162 m³/s
答案
Q = 0.02162 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.001481 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (2.5 + 3·2.3)·2.3 = 21.62 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 2.5 + 2·2.3·√(1 + 3²) = 17.05 m
R = A/P = 1.268 m
由曼宁公式解 S
S1/2 = n·Q/(A·R2/3) = 0.025·39/(21.62·1.172) = 0.03849
S = 0.03849² = 0.001481
答案
S = 0.001481
即每千米下降 1.481 m。
23.水泵与泵功率
答案: η = 72.07 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.01·72 = 7.063 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 7.063/9.8 = 72.07%
答案
η = 72.07%
24.水泵与泵功率
答案: H = 73.91 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.05/0.01767 = 2.829 m/s
V²/(2g) = 0.408 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 8)·0.408 = 11.42 m
压力水头
p/(ρ·g) = 250000/(1000·9.81) = 25.48 m
泵扬程
两个水面都基本静止，所以没有速度水头项。
H = Δz + p/(ρ·g) + hL = 37 + 25.48 + 11.42 = 73.91 m
答案
H = 73.91 m
25.货币的时间价值
答案: PV = 8695 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = 0.02/12 = 0.001667
N = 12·7 = 84
现值
PV = FV/(1 + i)N = 10 000/1.15 = €8 694.60
答案
PV = €8 694.60
26.货币的时间价值
答案: A = 2635 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和存款次数
i = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = 12·3 = 36
存款额
A = FV·i/((1 + i)N − 1) = 100 000·0.003/(1.114 − 1) = €2 634.64
答案
A = €2 634.64
27.NPV 与 IRR
答案: DPB = 3.51 年
回收期：累计现金流收回初始投资所需的时间。假定每年的现金在年内均匀流入，所以最后一段是一年中的一部分。简单回收期忽略货币的时间价值；折现回收期则使用折现后的现金流。
折现现金流和累计现金流
年份 1: 6 500/1.06 = 6 132.08 → Σ = 6 132.08
年份 2: 6 500/1.124 = 5 784.98 → Σ = 11 917.05
年份 3: 6 500/1.191 = 5 457.53 → Σ = 17 374.58
年份 4: 6 500/1.262 = 5 148.61 → Σ = 22 523.19
最后一年的分数
DPB = 3 + 2 625.42/5 148.61 = 3.51
答案
DPB = 3.51 年
折现回收期总是长于简单回收期（3.077 年）。
28.NPV 与 IRR
答案: r* = 8.445 %
交叉利率：两个项目 NPV 相同时的折现率。它是两者现金流之差 (B − A) 的 IRR。低于该利率时，现金流较晚、较大的项目 NPV 较高；高于该利率时，另一个项目胜出。
现金流之差
ΔCF0 = −25 000 − (−20 000) = −5 000
ΔCF1 = 7 000 − 11 500 = −4 500
ΔCF2 = 10 000 − 8 000 = 2 000
ΔCF3 = 14 000 − 4 500 = 9 500
差额的 IRR
NPVΔ(8%) = 89.42
NPVΔ(9%) = −109.34
r* = 8.445%
答案
r* = 8.445%
校核：在 8.445% 时两个 NPV 都是 €935.42。
29.正态分布
答案: P = 0.07877
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
z 分数
z₁ = (100.75 − 100)/15 = 0.05
z₂ = (103.75 − 100)/15 = 0.25
中间面积
P = Φ(0.25) − Φ(0.05) = 0.5987 − 0.5199 = 0.07877
答案
P = 0.07877
30.正态分布
答案: P = 0.7389
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
差的分布
μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15.62 cm
标准化
z = (0 − 10)/15.62 = −0.64
概率
P = 1 − Φ(−0.64) = 0.7389
答案
P = 0.7389
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