FE 土木考试练习：速成包

公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。

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1公式与方法

梁的支座反力

平衡: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
均布荷载: 合力 w·L 作用在荷载中点
力矩: M = F·d

方法

画受力图，并用支座反力代替每个支座。
用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
用 ΣF_y = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。

桁架：节点法

节点法: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
截面法: ΣM = 0 about a cut point
杆件内力: 正 = 拉，负 = 压

方法

求整个桁架的支座反力。
节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。
截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
假设杆件受拉；答案为负表示受压。

剪力和弯矩

剪力和弯矩: V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
弯曲应力: σ = M·y/I
矩形: I = bh³/12
抗弯截面系数: W = I/y_max
简支梁，均布荷载: M_max = wL²/8

方法

由整根梁的平衡求支座反力。
在所需截面处截开梁，保留一侧。
剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。

梁的挠度

跨中集中荷载: δ = PL³/(48EI)
均布荷载，简支: δ = 5wL⁴/(384EI)
悬臂梁，端部荷载: δ = PL³/(3EI)
悬臂梁，均布荷载: δ = wL⁴/(8EI)
叠加定理: δ = δ₁ + δ₂

柱的屈曲

欧拉临界荷载: P_cr = π²EI/(KL)²
计算长度系数: K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
临界应力: σ_cr = P_cr/A
长细比: λ = KL/r, r = √(I/A)

形心和惯性矩

形心: ȳ = ΣA_iy_i/ΣA_i
矩形: I = bh³/12
平行移轴定理: I = I_c + A·d²
组合截面: I = Σ(I_c,i + A_id_i²)

土中有效应力

总应力: σ = Σγ_i·h_i
孔隙水压力: u = γ_w·(z − z_w)
有效应力: σ′ = σ − u
水: γ_w = 9.81 kN/m³

固结沉降

正常固结: S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
最终应力: σ′_f = σ′₀ + Δσ (at mid-depth of the layer)
超固结，σ′_f ≤ σ′_p: S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)
超固结，σ′_f > σ′_p: S = H/(1 + e₀)·[C_r·log₁₀(σ′_p/σ′₀) + C_c·log₁₀(σ′_f/σ′_p)]
超固结比: OCR = σ′_p/σ′₀
固结时间: t = T_v·H_dr²/c_v
排水路径: H_dr = H/2（双面排水），H（单面排水）
时间因数: U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848

静水压力

深度处的压强: p = ρgh
竖直壁面上的力: F = ρg·h_c·A
压力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
矩形: I_c = bH³/12

管道摩擦与水头损失

雷诺数: Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
流态: Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
平均流速: V = Q/A, A = π·D²/4
达西–魏斯巴赫公式: h_f = f·(L/D)·V²/(2g)
局部损失: h_m = ΣK·V²/(2g)
典型 K 值: 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
压降: Δp = ρ·g·h_f
两个敞口水池: Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
自由出流: H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

明渠流（曼宁公式）

曼宁公式: V = (1/n)·R^2/3·S^1/2
流量: Q = A·V
水力半径: R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
矩形: A = b·y, P = b + 2y
梯形（边坡 z:1）: A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
圆管，满流或半满流: R = D/4
所需坡度: S = (n·Q/(A·R^2/3))²

水泵与泵功率

水功率: P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp
轴功率: P_shaft = P_h/η_pump
电功率: P_el = P_shaft/η_motor
泵扬程: H = Δz + Δp/(ρ·g) + h_L
系统损失: h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)

货币的时间价值

终值: FV = PV·(1 + i)ⁿ
现值: PV = FV/(1 + i)ⁿ
每年多个计息期: i = r/m, N = m·n
年金现值: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
年金终值: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

方法

画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
检查答案的符号和数量级。

NPV 与 IRR

净现值: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
等额现金流: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
内部收益率: 使 NPV = 0 的 r
决策: NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受

方法

列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
对每笔现金流折现：CF_t/(1 + r)^t。
求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。

正态分布

z 分数: z = (x − μ)/σ
小于 x: P(X < x) = Φ(z)
大于 x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
介于两者之间: Φ(z₂) − Φ(z₁)
百分位数: x = μ + z·σ

方法

把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。

2练习题

1.梁的支座反力中等

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_A。

L = 8 mP₁ = 25 kN 位于 6 mP₂ = 15 kN 位于 7 m

R_A = kN

2.梁的支座反力困难

简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 R_B。

L = 6 mP = 35 kN 位于 3 mw = 2 kN/m，从 2 到 4 m

R_B = kN

3.桁架：节点法中等

用节点法求杆 AC 中的力 F_AC。拉力为正，压力为负。

跨度 = 4 m高度 = 2 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 30 kN

F_AC = kN

4.桁架：节点法困难

在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。

B: 35 kN ↓D: 20 kN ↓F: 30 kN →

1杆件 AB
2杆件 BC
3杆件 CD
4杆件 DE
5杆件 FG
6杆件 GH
7杆件 AF
8杆件 HE
9杆件 BF
10杆件 CG
11杆件 DH
12杆件 BG
13杆件 DG

5.剪力和弯矩中等

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

50 kN @ 8 m15 kN @ 2 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

6.剪力和弯矩困难

标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。

20 kN @ 0 m35 kN @ 12 m40 kN @ 6 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

7.梁的挠度中等

悬臂梁全长承受均布荷载 w。求自由端挠度 δ。

w = 20 kN/mL = 4 mE = 70 GPa (铝)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.梁的挠度困难

简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 I_req。

w = 6 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (钢)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲中等

一根长为 L 的铝柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 P_cr。

L = 1.5 mE = 70 GPa (铝)d = 40 mm

P_cr = kN

10.柱的屈曲困难

一根长为 L 的铝柱，底部固定、顶部铰接。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σ_cr。

L = 1 mE = 70 GPa (铝)d = 20 mm

σ_cr = MPa

11.形心和惯性矩中等

求 T 形截面对通过形心的水平轴 x 的惯性矩 I_x。

b_f = 220 mmt_f = 30 mmt_w = 18 mmh_w = 220 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩困难

一块 120 mm × 300 mm 的板有一个宽 80 mm、高 30 mm 的矩形切口，位于竖直中心线上，切口中心在底边之上 195 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 I_x。

b = 120 mmh = 300 mm切口: 80 × 30 mm孔心: y = 195 mm

I_x = × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力中等

对图示土层剖面，求 X 点的孔隙水压力 u。

z = 12 mz_w = 2 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 17 kN/m³砂: γ_sat = 19 kN/m³

u = kPa

14.土中有效应力困难

对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。

z = 5.5 mz_w = 1 mγ_w = 9.81 kN/m³砂: γ_d = 15.5 kN/m³砂: γ_sat = 18.5 kN/m³黏土: γ_sat = 18.5 kN/m³

σ = kPa

15.固结沉降中等

一层厚 3 m 的超固结黏土，C_c = 0.5，C_r = 0.04，e₀ = 1.05。其中点深度处的竖向有效应力为 105 kPa ，先期固结压力为 185 kPa。一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 55 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。

H = 3 mC_c = 0.5C_r = 0.04e₀ = 1.05σ′₀ = 105 kPaσ′_p = 185 kPaΔσ = 55 kPa

S = mm

16.固结沉降困难

在室内固结仪试验中，一个厚 25 mm、上下两面排水的黏土试样在 15 min 内达到 50% 固结度。在现场，同一种黏土形成一层厚 3.5 m 的土层。它位于不透水岩层上，上方为砂层，所以水只从顶部排出。现场土层需要多少天 t 才能达到 50% 固结度？

h_lab = 25 mmt_lab = 15 minH = 3.5 m现场：单面排水

t = 天

17.静水压力中等

一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。

d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

18.静水压力困难

一扇宽 1.5 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 3 m。求压力中心在液面以下的深度 y_cp。

d = 3 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

19.管道摩擦与水头损失中等

水以 2 L/s 的流量流过一根长 150 m、内径 50 mm 的管道。取达西摩擦系数 f = 0.03，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 h_f。

Q = 2 L/sL = 150 mD = 50 mmf = 0.03g = 9.81 m/s²

h_f = m

20.管道摩擦与水头损失困难

两个敞口水池由一根长 150 m、内径 250 mm、达西摩擦系数 f = 0.022 的管道连接。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 5）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。两水池水位差 Δz 为多少时流量为 75 L/s？

Q = 75 L/sL = 150 mD = 250 mmf = 0.022K_entrance = 0.5K_bend = 0.3 (×3)K_valve = 5K_exit = 1.0

Δz = m

21.明渠流（曼宁公式）中等

一条梯形抹面混凝土渠道底宽 1.5 m，边坡 2:1（水平:竖直）。水以 1.9 m 的水深作均匀流。曼宁 n = 0.012，底坡 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。

b = 1.5 my = 1.9 mz = 2n = 0.012S = 0.0005

Q = m³/s

22.明渠流（曼宁公式）困难

一条宽 4.5 m 的矩形未抹面混凝土渠道须以 2.4 m 的水深均匀输送 38 m³/s 的流量。曼宁 n = 0.014。求所需底坡 S（以 m/m 计）。

Q = 38 m³/sb = 4.5 my = 2.4 mn = 0.014

S = m/m

23.水泵与泵功率中等

一台效率为 70% 的水泵以 80 m 的扬程输送 50 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）。取 g = 9.81 m/s²。求所需的轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 50 L/sH = 80 mη = 70%g = 9.81 m/s²

P_shaft = kW

24.水泵与泵功率困难

一台水泵把 60 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 11 m 的上游水箱。管道长 200 m，内径 200 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。水泵效率为 65%。求轴功率 P_shaft，以 kW 计。

Q = 60 L/sΔz = 11 mL = 200 mD = 200 mmf = 0.02ΣK = 5η = 65%

P_shaft = kW

25.货币的时间价值中等

你以名义年利率 3% 投资 €12 000，按月复利。求 5 年后的投资价值 FV。

PV = €12 0003% / 12n = 5

FV = €

26.货币的时间价值困难

一笔 €15 000 的贷款在 3 年内以等额月供偿还。年利率 4.2%，按月复利。求月供 A。

P = €15 0004.2% / 12N = 36

A = €

27.NPV 与 IRR中等

一台机器今天花费 €40 000。它在 3 年内每年年末产生 €14 000，之后可以以 €10 000 出售。资本成本为 6%。求净现值 NPV。

C₀ = €40 000CF = €14 000S = €10 000n = 3r = 6%

NPV = €

28.NPV 与 IRR困难

一笔 €20 000 的投资在 10 年内每年年末回报 €3 000。求其内部收益率 IRR，以百分比表示。

C₀ = €20 000CF = €3 000n = 10

IRR = %

29.正态分布中等

考试成绩服从正态分布，均值为 65 分，标准差为 10 分。介于 57 和 73 分之间的比例是多少？P 以小数表示。

μ = 65σ = 10x₁ = 57x₂ = 73

P =

30.正态分布困难

1 号生产线产品的质量 X 与 2 号生产线产品的质量 Y相互独立且服从正态分布：X 的均值为 500 g，标准差为 8 g，Y 的均值为 490 g，标准差为 6 g。求 X 大于 Y 的概率 P。z 取两位小数。

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

3溶液

1.梁的支座反力

答案: R_A = 8.125 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

ΣM_A = 0: R_B·8 = 25·6 + 15·7

R_B = 255/8 = 31.88 kN

ΣF_y = 0: R_A = 40 − 31.88 = 8.125 kN

答案

R_A = 8.125 kN

2.梁的支座反力

答案: R_B = 19.5 kN

静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣF_x = 0、ΣF_y = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。

受力图

用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。

平衡

对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。

均布荷载合力：W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN，作用于 x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 35·3 + 2·2·3

R_B = 117/6 = 19.5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 19.5 = 19.5 kN

答案

R_B = 19.5 kN

3.桁架：节点法

答案: F_AC = 11.25 kN

节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣF_x = 0 和 ΣF_y = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。

支座反力

整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。

ΣM_A = 0: C_y·4 = 30·3 → C_y = 22.5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 30 − 22.5 = 7.5 kN

节点 C

滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。

sin γ = 2/2.236 = 0.8944, cos γ = 1/2.236 = 0.4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −22.5/0.8944 = −25.16 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−25.16)·0.4472 = 11.25 kN

答案

F_AC = 11.25 kN (受拉)

4.桁架：节点法

答案: 杆件 CG

零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。

节点 C

BC 和 CD 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

用节点法检验

解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。

AB: 45.94 kN (T), BC: 35.63 kN (T), CD: 35.63 kN (T), DE: 25.31 kN (T), FG: 45.94 kN (C), GH: 25.31 kN (C), AF: 26.56 kN (C), HE: 42.19 kN (C), BF: 21.25 kN (T), CG: 0, DH: 33.75 kN (T), BG: 17.19 kN (T), DG: 17.19 kN (C)

答案

零杆: CG

5.剪力和弯矩

答案: E (x = 8 m)

最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 29.17 kN, R₂ = 35.83 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = 58.33, M_C = 86.67, M_D = 115, M_E = 143.3 kN·m, M_F = 71.67, M_G = 0

答案

标记点 E: M_E = 143.3 kN·m

6.剪力和弯矩

答案: F (x = 10 m)

支座反力

对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。

R₁ = 36.25 kN, R₂ = 58.75 kN

每个标记点处的弯矩

把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。

M_A = 0, M_B = −40, M_C = −7.5, M_D = 25, M_E = −22.5, M_F = −70 kN·m, M_G = 0

答案

标记点 F: M_F = −70 kN·m

7.梁的挠度

答案: δ = 57.14 mm

梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。

单位一致

用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。

w = 20 N/mm, L = 4000 mm

EI = 1.12 × 10¹³ N·mm²

挠度

δ = wL⁴/(8EI) = 20·4000⁴/(8·1.12 × 10¹³) = 57.14 mm

答案

δ = 57.14 mm

8.梁的挠度

答案: I_req = 30.38 × 10⁶ mm⁴

挠度限值

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm

所需惯性矩

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·6·6000⁴/(384·200000·16.67) = 3.038 × 10⁷ mm⁴

I_req = 30.38 × 10⁶ mm⁴

答案

I_req = 30.38 × 10⁶ mm⁴

9.柱的屈曲

答案: P_cr = 38.59 kN

欧拉屈曲：细长柱在 P_cr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

计算长度

KL = 1·1500 = 1500 mm

临界荷载

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/1500² = 38586 N = 38.59 kN

答案

P_cr = 38.59 kN

10.柱的屈曲

答案: σ_cr = 35.25 MPa

最小惯性矩

圆形截面对任意轴的 I 都相同。

I = πd⁴/64 = π·20⁴/64 = 7854 mm⁴

回转半径和长细比

A = 314.2 mm²

r = √(I/A) = √(7854/314.2) = 5 mm

KL = 0.7·1000 = 700 mm

KL/r = 700/5 = 140

临界应力

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35.25 MPa

答案

σ_cr = 35.25 MPa

11.形心和惯性矩

答案: I_x = 55.14 × 10⁶ mm⁴

组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。

分成两个矩形

每个 y 都从底边量起。

翼缘: A_f = 220·30 = 6600 mm², y_f = 220 + 30/2 = 235 mm

腹板: A_w = 18·220 = 3960 mm², y_w = 220/2 = 110 mm

形心

ȳ = (A_fy_f + A_wy_w)/(A_f + A_w) = (6600·235 + 3960·110)/10560 = 188.1 mm

平行移轴定理

翼缘: 220·30³/12 + 6600·(235 − 188.1)² = 1.5 × 10⁷ mm⁴

腹板: 18·220³/12 + 3960·(110 − 188.1)² = 4.014 × 10⁷ mm⁴

I_x = 1.5 × 10⁷ + 4.014 × 10⁷ = 5.514 × 10⁷ mm⁴ = 55.14 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 55.14 × 10⁶ mm⁴

12.形心和惯性矩

答案: I_x = 264.6 × 10⁶ mm⁴

带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (I_c1 + A₁d₁²) − (I_c2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 I_c = bh³/12，圆的 I_c = πd⁴/64。

形心

ȳ = (36000·150 − 2400·195)/(36000 − 2400) = 146.8 mm

完整的板关于 ȳ

120·300³/12 + 36000·3.214² = 270.4 × 10⁶ mm⁴

孔关于 ȳ

80·30³/12 + 2400·48.21² = 5.759 × 10⁶ mm⁴

相减

I_x = 264.6 × 10⁶ mm⁴

答案

I_x = 264.6 × 10⁶ mm⁴

13.土中有效应力

答案: u = 98.1 kPa

有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γ_w·（地下水位以下深度）。

孔隙水压力

水压随地下水位以下的深度增加。

u = γ_w·(z − z_w) = 9.81·10 = 98.1 kPa

答案

u = 98.1 kPa

14.土中有效应力

答案: σ = 98.75 kPa

总应力

将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。

σ = γ_d·1 + γ_sat,sand·2 + γ_sat,clay·2.5

σ = 15.5·1 + 18.5·2 + 18.5·2.5 = 98.75 kPa

答案

σ = 98.75 kPa

15.固结沉降

答案: S = 10.71 mm

厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′_f = σ′₀ + Δσ。正常固结黏土：S = C_c·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀)。超固结黏土在先期固结压力 σ′_p 以下沿 C_r 再压缩，超过后才沿 C_c。时间：t = T_v·H_dr²/c_v，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 H_dr 为 H/2，只有一面排水时为 H。

与先期固结压力比较

σ′_f = 105 + 55 = 160 kPa ≤ 185 kPa

沉降

黏土始终位于再压缩线上。

S = C_r·H/(1 + e₀)·log₁₀(σ′_f/σ′₀) = 0.04·3/(1 + 1.05)·log₁₀(160/105) = 10.71 mm

答案

S = 10.71 mm

16.固结沉降

答案: t = 816.7 天

排水路径

H_dr,lab = 25/2 = 12.5 mm = 0.0125 m

H_dr,field = 3.5 m

换算时间

t = T_v·H_dr²/c_v，室内和现场的 T_v 和 c_v 相同。

t_field = 15·(3.5/0.0125)² = 1.176 × 10⁶ min

t_field = 1.176 × 10⁶/1440 = 816.7 天

答案

t = 816.7 天

17.静水压力

答案: F = 117.7 kN

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·4 = 117.7 kN

答案

F = 117.7 kN

18.静水压力

答案: y_cp = 3.8 m

平面上的静水压力：F = ρ·g·y_c·A。合力作用在压力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA)，它总在形心以下。

形心深度和面积

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.75·2.25 = 104.3 kN

压力中心

压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.75 + 0.4219/(3.75·2.25) = 3.8 m

答案

y_cp = 3.8 m

19.管道摩擦与水头损失

答案: h_f = 4.759 m

管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 h_f = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 h_m = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = h_f + h_m，其中包含出口损失 K = 1。

平均流速

A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²

V = Q/A = 0.002/0.001963 = 1.019 m/s

速度水头

V²/(2g) = 1.019²/(2·9.81) = 0.05288 m

达西–魏斯巴赫公式

h_f = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.03·(150/0.05)·1.019²/(2·9.81) = 4.759 m

答案

h_f = 4.759 m

20.管道摩擦与水头损失

答案: Δz = 2.451 m

速度

V = Q/A = 0.075/0.04909 = 1.528 m/s

V²/(2g) = 0.119 m

损失系数

f·L/D = 0.022·150/0.25 = 13.2

ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 5 + 1.0 = 7.4

总水头损失

h_f = 13.2·0.119 = 1.571 m

h_m = 7.4·0.119 = 0.8805 m

Δz = h_f + h_m = 2.451 m

答案

Δz = 2.451 m

21.明渠流（曼宁公式）

答案: Q = 18.86 m³/s

曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R^2/3·S^1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。

几何参数

A = (b + z·y)·y = (1.5 + 2·1.9)·1.9 = 10.07 m²

P = b + 2y·√(1 + z²) = 1.5 + 2·1.9·√(1 + 2²) = 9.997 m

R = A/P = 1.007 m

速度

V = (1/0.012)·1.007^2/3·0.0005^1/2 = 1.872 m/s

流量

Q = A·V = 10.07·1.872 = 18.86 m³/s

答案

Q = 18.86 m³/s

22.明渠流（曼宁公式）

答案: S = 0.001988 m/m

几何参数

A = b·y = 4.5·2.4 = 10.8 m²

P = b + 2y = 4.5 + 2·2.4 = 9.3 m

R = A/P = 1.161 m

由曼宁公式解 S

S^1/2 = n·Q/(A·R^2/3) = 0.014·38/(10.8·1.105) = 0.04459

S = 0.04459² = 0.001988

答案

S = 0.001988

即每千米下降 1.988 m。

23.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 56.06 kW

水泵功率：传给水的功率是水功率 P_h = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：P_shaft = P_h/η_pump，电动机取用 P_el = P_shaft/η_motor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。

水功率

P_h = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.05·80 = 39.24 kW

轴功率

P_shaft = P_h/η = 39.24/0.7 = 56.06 kW

答案

P_shaft = 56.06 kW

24.水泵与泵功率

答案: P_shaft = 14.17 kW

速度

V = Q/A = 0.06/0.03142 = 1.91 m/s

V²/(2g) = 0.1859 m

水头损失

h_L = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 5)·0.1859 = 4.648 m

泵扬程

H = Δz + h_L = 11 + 4.648 = 15.65 m

轴功率

P_shaft = ρ·g·Q·H/η = 1000·9.81·0.06·15.65/0.65 = 14.17 kW

答案

P_shaft = 14.17 kW

25.货币的时间价值

答案: FV = 13939 €

货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)ⁿ 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。

利率和期数

i = r/m = 0.03/12 = 0.0025

N = m·n = 12·5 = 60

终值

FV = 12 000·(1 + 0.0025)⁶⁰ = 12 000·1.162 = €13 939.40

答案

FV = €13 939.40

26.货币的时间价值

答案: A = 444.2 €

月利率和还款期数

i = 0.042/12 = 0.0035

N = 12·3 = 36

每期还款

N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。

(1 + i)^−N = 0.8818

A = 15 000·0.0035/(1 − 0.8818) = €444.20

答案

A = €444.20

27.NPV 与 IRR

答案: NPV = 5818 €

净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。

每年现金流的现值

14 000·2.673 = 37 422.17

残值的现值

10 000/1.191 = 8 396.19

NPV

NPV = −40 000 + 37 422.17 + 8 396.19 = €5 818.36

答案

NPV = €5 818.36

28.NPV 与 IRR

答案: IRR = 8.144 %

所需的年金系数

(1 − (1 + i)⁻¹⁰)/i = 20 000/3 000 = 6.667

求利率

利率升高时年金系数下降；先确定利率所在区间，再逐步缩小。

i = 8%: 6.71

i = 9%: 6.418

IRR = 8.144%

答案

IRR = 8.144%

29.正态分布

答案: P = 0.5763

正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。

z 分数

z₁ = (57 − 65)/10 = −0.8

z₂ = (73 − 65)/10 = 0.8

中间面积

P = Φ(0.8) − Φ(−0.8) = 0.7881 − 0.2119 = 0.5763

答案

P = 0.5763

30.正态分布

答案: P = 0.8413

正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²，所以 σ = √(σ_X² + σ_Y²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。

差的分布

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

标准化

z = (0 − 10)/10 = −1

概率

P = 1 − Φ(−1) = 0.8413

答案

P = 0.8413

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