梁的支座反力
- 平衡
- ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
- 均布荷载
- 合力 w·L 作用在荷载中点
- 力矩
- M = F·d
方法
- 画受力图，并用支座反力代替每个支座。
- 用作用在形心处的单个集中力代替每个分布荷载。
- 对一个支座取矩，求另一个支座的反力。
- 用 ΣFy = 0 求剩下的反力，并用第二个力矩方程验算。
FE 土木考试练习：速成包
公式表、每个专题的关键方法步骤和 30 道练习题，完整解答附在最后。
1公式与方法
桁架：节点法
- 节点法
- ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
- 截面法
- ΣM = 0 about a cut point
- 杆件内力
- 正 = 拉，负 = 压
方法
- 求整个桁架的支座反力。
- 节点法：从未知杆力不超过两个的节点开始，使用 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。
- 截面法：截断所需的杆件，对其他未知杆件的交点取矩。
- 假设杆件受拉；答案为负表示受压。
剪力和弯矩
- 剪力和弯矩
- V = 一侧的 ΣF， M = 一侧的 ΣF·d
- 弯曲应力
- σ = M·y/I
- 矩形
- I = bh³/12
- 抗弯截面系数
- W = I/ymax
- 简支梁，均布荷载
- Mmax = wL²/8
方法
- 由整根梁的平衡求支座反力。
- 在所需截面处截开梁，保留一侧。
- 剪力：该侧所有竖向力之和。弯矩：这些力对截面取矩之和。
- 求最大弯矩时，找出剪力为零的位置。
梁的挠度
- 跨中集中荷载
- δ = PL³/(48EI)
- 均布荷载，简支
- δ = 5wL⁴/(384EI)
- 悬臂梁，端部荷载
- δ = PL³/(3EI)
- 悬臂梁，均布荷载
- δ = wL⁴/(8EI)
- 叠加定理
- δ = δ1 + δ2
柱的屈曲
- 欧拉临界荷载
- Pcr = π²EI/(KL)²
- 计算长度系数
- K = 1 两端铰接，0.5 两端固定，0.7 一端固定一端铰接，2 一端固定一端自由
- 临界应力
- σcr = Pcr/A
- 长细比
- λ = KL/r, r = √(I/A)
形心和惯性矩
- 形心
- ȳ = ΣAiyi/ΣAi
- 矩形
- I = bh³/12
- 平行移轴定理
- I = Ic + A·d²
- 组合截面
- I = Σ(Ic,i + Aidi²)
土中有效应力
- 总应力
- σ = Σγi·hi
- 孔隙水压力
- u = γw·(z − zw)
- 有效应力
- σ′ = σ − u
- 水
- γw = 9.81 kN/m³
固结沉降
- 正常固结
- S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 最终应力
- σ′f = σ′0 + Δσ (at mid-depth of the layer)
- 超固结，σ′f ≤ σ′p
- S = Cr·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)
- 超固结，σ′f > σ′p
- S = H/(1 + e0)·[Cr·log₁₀(σ′p/σ′0) + Cc·log₁₀(σ′f/σ′p)]
- 超固结比
- OCR = σ′p/σ′0
- 固结时间
- t = Tv·Hdr²/cv
- 排水路径
- Hdr = H/2（双面排水），H（单面排水）
- 时间因数
- U 50% → 0.197, 60% → 0.287, 70% → 0.403, 80% → 0.567, 90% → 0.848
静水压力
- 深度处的压强
- p = ρgh
- 竖直壁面上的力
- F = ρg·hc·A
- 压力中心
- yp = yc + Ic/(ycA)
- 矩形
- Ic = bH³/12
管道摩擦与水头损失
- 雷诺数
- Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ
- 流态
- Re ≈ 2000 以下为层流，Re ≈ 4000 以上为湍流
- 平均流速
- V = Q/A, A = π·D²/4
- 达西–魏斯巴赫公式
- hf = f·(L/D)·V²/(2g)
- 局部损失
- hm = ΣK·V²/(2g)
- 典型 K 值
- 进口 0.5，出口 1.0，90° 弯头 ≈ 0.3
- 压降
- Δp = ρ·g·hf
- 两个敞口水池
- Δz = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
- 自由出流
- H = (1 + f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
明渠流（曼宁公式）
- 曼宁公式
- V = (1/n)·R2/3·S1/2
- 流量
- Q = A·V
- 水力半径
- R = A/P (P = wetted perimeter, free surface excluded)
- 矩形
- A = b·y, P = b + 2y
- 梯形（边坡 z:1）
- A = (b + z·y)·y, P = b + 2y·√(1 + z²)
- 圆管，满流或半满流
- R = D/4
- 所需坡度
- S = (n·Q/(A·R2/3))²
水泵与泵功率
- 水功率
- Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp
- 轴功率
- Pshaft = Ph/ηpump
- 电功率
- Pel = Pshaft/ηmotor
- 泵扬程
- H = Δz + Δp/(ρ·g) + hL
- 系统损失
- hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g)
货币的时间价值
- 终值
- FV = PV·(1 + i)n
- 现值
- PV = FV/(1 + i)n
- 每年多个计息期
- i = r/m, N = m·n
- 年金现值
- PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
- 年金终值
- FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
方法
- 画出时间轴，标出每笔现金流及其发生时间。
- 利率要与计息期匹配：按月付款用月利率。
- 单笔金额用 FV = PV·(1 + i)ⁿ，等额付款用年金公式。
- 检查答案的符号和数量级。
NPV 与 IRR
- 净现值
- NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
- 等额现金流
- NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
- 内部收益率
- 使 NPV = 0 的 r
- 决策
- NPV > 0（或 IRR > 要求收益率）时接受
方法
- 列出所有现金流及其年份；第 0 年的投资为负。
- 对每笔现金流折现：CFt/(1 + r)t。
- 求和得到 NPV。为正表示项目收益率高于 r。
- 求 IRR 时，用试算或插值找出使 NPV 为零的利率。
正态分布
- z 分数
- z = (x − μ)/σ
- 小于 x
- P(X < x) = Φ(z)
- 大于 x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- 介于两者之间
- Φ(z2) − Φ(z1)
- 百分位数
- x = μ + z·σ
方法
- 把数值换算为 z 分数：z = (x − μ)/σ。
- 查 Φ(z)，即 z 左侧的面积。
- 右侧面积用 1 − Φ(z)；区间面积用两个左侧面积相减。
- 求百分位数时反向计算：先由面积求 z，再求 x = μ + z·σ。
2练习题
1.梁的支座反力中等
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。梁在距 A 为 1 m 处承受集中荷载 P，并在距 A 为 2.5 m 处承受一个顺时针力偶 M。求竖向反力 RB，以向上为正。
L = 6 mP = 10 kN 位于 1 mM = 60 kN·m (顺时针) 位于 2.5 m
RB = kN
2.梁的支座反力困难
简支梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座。求竖向支座反力 RB。
L = 6 mP = 10 kN 位于 2 mw = 8 kN/m，从 4 到 6 m
RB = kN
3.桁架：节点法中等
在这些荷载下，这个桁架中恰有一根杆件不受力。哪一根是零杆？请在图中点击它。
B: 15 kN ↓D: 35 kN ↓H: 10 kN ↓
- 1杆件 AB
- 2杆件 BC
- 3杆件 CD
- 4杆件 DE
- 5杆件 FG
- 6杆件 GH
- 7杆件 AF
- 8杆件 HE
- 9杆件 BF
- 10杆件 CG
- 11杆件 DH
- 12杆件 FC
- 13杆件 HC
4.桁架：节点法困难
用节点法求杆 BC 中的力 FBC。拉力为正，压力为负。
跨度 = 5 m高度 = 3 mB 距 A 3 m竖向荷载 = 35 kN水平荷载 = 20 kN →
FBC = kN
5.剪力和弯矩中等
梁在 A 处为铰支座，在 B 处为滚动支座，并从 B 外伸 1 m 至自由端 C。梁在两支座之间承受集中荷载 P1，在 C 处承受集中荷载 P2。 求支座 B 左侧紧邻处的剪力 Vx。 下侧受拉的弯矩取正，左侧截面上向上的剪力取正。
L = 6 mP1 = 80 kN 位于 3.5 mP2 = 40 kN 位于 6 m支座位于 x = 0 和 x = 5 m
Vx = kN
6.剪力和弯矩困难
标记 A 到 G 把梁分成六等份。在哪个标记点处弯矩的绝对值最大，不论是正弯矩还是负弯矩？请在图中点击它。
10 kN @ 0 m30 kN @ 6 m60 kN @ 3 m15 kN/m, 1–4 m
- 1A (x = 0 m)
- 2B (x = 1 m)
- 3C (x = 2 m)
- 4D (x = 3 m)
- 5E (x = 4 m)
- 6F (x = 5 m)
- 7G (x = 6 m)
7.梁的挠度中等
悬臂梁全长承受均布荷载 w，并在自由端承受集中荷载 P。用叠加法求自由端的挠度 δ。
P = 5 kNw = 4 kN/mL = 2.5 mE = 200 GPa (钢)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.梁的挠度困难
简支梁承受均布荷载 w，其挠度不得超过跨度/360。求满足该限值的最小惯性矩 Ireq。
w = 4 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (结构木材)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲中等
一根长为 L 的钢柱，两端铰接。用欧拉公式求其临界屈曲荷载 Pcr。
L = 6 mE = 200 GPa (钢)d = 60 mm
Pcr = kN
10.柱的屈曲困难
一根长为 L 的钢柱，底部固定、顶部自由。求其长细比，并用欧拉公式求临界屈曲应力 σcr。
L = 5 mE = 200 GPa (钢)d = 80 mm
σcr = MPa
11.形心和惯性矩中等
一块 120 mm × 300 mm 的板在其竖直中心线上有一个直径 30 mm 的圆孔，孔心在底边之上 195 mm 处。求关于通过形心的水平轴的截面二次矩 Ix。
b = 120 mmh = 300 mmd = 30 mm孔心: y = 195 mm
Ix = × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩困难
对称工字形截面的翼缘宽 250 mm、厚 16 mm，总高度 320 mm，腹板厚 8 mm。 截面承受绕 x 轴的弯矩 150 kN·m。 求截面中最大弯曲应力 σmax 的大小。
B = 250 mmH = 320 mmtf = 16 mmtw = 8 mmM = 150 kN·m
σmax = MPa
13.土中有效应力中等
对图示土层剖面，求 X 点的竖向总应力 σ。
z = 5 mzw = 4 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 17 kN/m³砂: γsat = 19.5 kN/m³
σ = kPa
14.土中有效应力困难
对图示土层剖面，求 X 点的竖向有效应力 σ′。
z = 10 mzw = 4 mγw = 9.81 kN/m³砂: γd = 16.5 kN/m³砂: γsat = 18.5 kN/m³黏土: γsat = 17.5 kN/m³
σ′ = kPa
15.固结沉降中等
一层厚 4 m 的超固结黏土，Cc = 0.3，Cr = 0.06，e₀ = 0.65。其中点深度处的竖向有效应力为 100 kPa ，先期固结压力为 160 kPa。 一栋新建筑使中点深度处的竖向应力增加 130 kPa。求主固结沉降 S，以 mm 计。
H = 4 mCc = 0.3Cr = 0.06e0 = 0.65σ′0 = 100 kPaσ′p = 160 kPaΔσ = 130 kPa
S = mm
16.固结沉降困难
一层厚 6.5 m 的黏土，固结系数 cv = 1.5 m²/year。 它位于两层砂之间，所以水从顶部和底部排出。 平均固结度为 80% 时，时间因数 Tv = 0.567。该土层需要多少年 t 才能达到 80% 固结度？
H = 6.5 mcv = 1.5 m²/年份U = 80%Tv = 0.567双面排水
t = 年
17.静水压力中等
一扇宽 2 m 的竖直矩形闸门位于盛有水的水箱壁上，其上边缘在液面以下 2 m。求闸门上的静水总压力 F。
d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
18.静水压力困难
一扇宽 3 m 的竖直矩形闸门位于盛有甘油的水箱壁上，其上边缘在液面以下 4 m。求压力中心在液面以下的深度 ycp。
d = 4 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
19.管道摩擦与水头损失中等
水以 4 L/s 的流量流过一根长 150 m、内径 50 mm 的管道。 取达西摩擦系数 f = 0.022，g = 9.81 m/s²。求沿程水头损失 hf。
Q = 4 L/sL = 150 mD = 50 mmf = 0.022g = 9.81 m/s²
hf = m
20.管道摩擦与水头损失困难
两个敞口水池由一根长 100 m、内径 200 mm、达西摩擦系数 f = 0.025 的管道连接。上游水池水面比下游水池水面高 13 m。局部损失包括一个直角进口（K = 0.5）、3 个弯头（每个 K = 0.3）、一个阀门（K = 2）以及流入下游水池的出口（K = 1.0）。取 g = 9.81 m/s²。求流量 Q，以 L/s 计。
Δz = 13 mL = 100 mD = 200 mmf = 0.025Kentrance = 0.5Kbend = 0.3 (×3)Kvalve = 2Kexit = 1.0
Q = L/s
21.明渠流（曼宁公式）中等
一条梯形未抹面混凝土渠道底宽 3 m，边坡 3:1（水平:竖直）。水以 1.9 m 的水深作均匀流。 曼宁 n = 0.014，底坡 S = 0.0005。求流量 Q，以 m³/s 计。
b = 3 my = 1.9 mz = 3n = 0.014S = 0.0005
Q = m³/s
22.明渠流（曼宁公式）困难
一根内径 250 mm 的混凝土污水管（曼宁 n = 0.013）在刚好满流时须达到 0.6 m/s 的自清流速。求最小坡度 S（以 m/m 计）。
D = 250 mmn = 0.013V = 0.6 m/s
S = m/m
23.水泵与泵功率中等
在一次试验中，水泵以 42 m 的扬程输送 20 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³），轴输入功率为 10.6 kW。取 g = 9.81 m/s²。求水泵效率 η，以百分比计。
Q = 20 L/sH = 42 mPshaft = 10.6 kWg = 9.81 m/s²
η = %
24.水泵与泵功率困难
一台水泵把 12 L/s 的水（ρ = 1000 kg/m³）从敞口下游水池输送到水面高 6 m 的上游水箱。管道长 100 m，内径 100 mm，达西摩擦系数 f = 0.02；局部损失系数之和为 ΣK = 5（含进口和出口）。取 g = 9.81 m/s²。 求水泵须提供的扬程 H。
Q = 12 L/sΔz = 6 mL = 100 mD = 100 mmf = 0.02ΣK = 5
H = m
25.货币的时间价值中等
你以名义年利率 3.6% 投资 €1 000，按月复利。求 6 年后的投资价值 FV。
PV = €1 0003.6% / 12n = 6
FV = €
26.货币的时间价值困难
一笔 €200 000 的贷款在 30 年内以等额月供偿还。年利率 4.2%，按月复利。求月供 A。
P = €200 0004.2% / 12N = 360
A = €
27.NPV 与 IRR中等
一项 €20 000 的投资在第 1 年至第 3 年年末带来以下现金流：€6 000, €6 000, €8 000。资本成本为 5%。求净现值 NPV。
r = 5%CF0 = −20 000CF1 = 6 000CF2 = 6 000CF3 = 8 000
NPV = €
28.NPV 与 IRR困难
一个项目需投入 €10 000，在第 1 年到第 4 年的每年年末回报 €4 500, €5 000, €3 000, €6 000。现金流可按 10% 的资本成本再投资。求修正内部收益率 MIRR，以百分比表示。
r = 10%CF0 = −10 000CF1 = 4 500CF2 = 5 000CF3 = 3 000CF4 = 6 000
MIRR = %
29.正态分布中等
箱子的质量相互独立，服从均值 12 kg、标准差 0.8 kg 的正态分布。求其中 4 个的总质量超过 49.6 kg 的概率 P。z 取两位小数。
μ = 12 kgσ = 0.8 kgn = 4> 49.6 kg
P =
30.正态分布困难
成年男性的身高服从正态分布，均值为 178 cm，标准差为 7 cm。求数值 x，使得有 75% 的数据低于它（第 75 百分位数）。
μ = 178σ = 7P = 75%
x = cm
3溶液
1.梁的支座反力
答案: RB = 11.67 kN
静力平衡：静止的物体满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0，且对任意点 ΣM = 0。把每个分布荷载替换为其合力（荷载图的面积），作用在荷载图的形心处；对某个支座取矩，可从方程中消去该支座的反力。
对 A 取矩
逆时针为正。
ΣMA = 0: RB·6 − 10·1 − 60 = 0
RB = 70/6 = 11.67 kN
竖向平衡
RA = 10 − 11.67 = −1.667 kN
答案
RB = 11.67 kN
负的反力向下作用。
2.梁的支座反力
答案: RB = 16.67 kN
静力平衡：静止物体对任意点满足 ΣFx = 0、ΣFy = 0 和 ΣM = 0。对一个支座取矩可从方程中消去该支座的反力。
受力图
用反力代替支座。滚动支座提供一个竖向反力；只有竖向荷载时，铰支座也只提供一个竖向反力。
平衡
对 A 取矩，逆时针为正。然后列竖向力平衡。
均布荷载合力：W = w·ℓ = 8·2 = 16 kN，作用于 x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·6 = 10·2 + 8·2·5
RB = 100/6 = 16.67 kN
ΣFy = 0: RA = 26 − 16.67 = 9.333 kN
答案
RB = 16.67 kN
3.桁架：节点法
答案: 杆件 CG
零杆：在节点处，各方向上的力都必须平衡。如果一个节点没有荷载也没有支座，且它的三根杆件中有两根共线，那么垂直于该直线方向上的平衡只涉及第三根杆件，所以它的力为零。如果在一个无荷载节点处只有两根杆件相交且不共线，则两根都是零杆。
节点 G
FG 和 GH 在同一条直线上，且该节点不受荷载。在垂直于该直线的方向上平衡力，只剩下 CG。
ΣF⊥ = 0 → FCG = 0
用节点法检验
解出所有节点，得到这些杆件力（T = 受拉，C = 受压）。
AB: 16.88 kN (T), BC: 16.88 kN (T), CD: 28.12 kN (T), DE: 28.12 kN (T), FG: 22.5 kN (C), GH: 22.5 kN (C), AF: 28.13 kN (C), HE: 46.87 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 9.375 kN (T), HC: 9.375 kN (C)
答案
零杆: CG
4.桁架：节点法
答案: FBC = −39.66 kN
节点法：桁架的每个节点都处于平衡，因此每个节点满足 ΣFx = 0 和 ΣFy = 0。从未知杆力不超过两个的节点开始。结果为负表示该杆受压。
支座反力
整个桁架的平衡。对 A 取矩，逆时针为正。
ΣMA = 0: Cy·5 = 35·3 + 20·3 → Cy = 33 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 33 = 2 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN
节点 C
滚动支座只提供竖向反力，所以节点 C 只有两个未知杆力。假设两者都受拉。
sin γ = 3/3.606 = 0.8321, cos γ = 2/3.606 = 0.5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33/0.8321 = −39.66 kN
答案
FBC = −39.66 kN (受压)
5.剪力和弯矩
答案: Vx = −64 kN
截面法：在需要求内力的位置截开梁，保留一侧。剪力 V 平衡该侧的竖向力，弯矩 M 平衡这些力对截面的矩。
支座反力
整根梁的平衡。外伸段上的荷载对 A 也产生力矩。
ΣMA = 0: RB·5 = 80·3.5 + 40·6
RB = 520/5 = 104 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 104 = 16 kN
在 B 左侧紧邻处截开，保留左侧部分
Vx = RA − P1 = 16 − 80 = −64 kN
答案
Vx = −64 kN
6.剪力和弯矩
答案: E (x = 4 m)
最大弯矩：只要剪力变化，M 的斜率就随之变化，所以它的峰值出现在剪力过零的地方：集中荷载下、均布荷载内部，或外伸梁的支座上方。悬臂梁固定端的弯矩在墙处最大。比较这些位置上 M 的大小，不论是正弯矩还是负弯矩。
支座反力
对一个支座取矩，然后用竖向力平衡。
R1 = 35.83 kN, R2 = 109.2 kN
每个标记点处的弯矩
把截面一侧所有力的力矩相加。使梁下凹（正弯矩）为正，使梁上凸（负弯矩）为负。
MA = 0, MB = −10, MC = 8.333, MD = 11.67, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0
答案
标记点 E: ME = −60 kN·m
7.梁的挠度
答案: δ = 1.899 mm
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
单位一致
用 N 和 mm 计算：P 用 N，w 用 N/mm (kN/m = N/mm)，L 用 mm，E 用 N/mm² (GPa × 1000)，I 用 mm⁴。
P = 5000 N, w = 4 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2.4 × 10¹³ N·mm²
各荷载单独作用
δP = PL³/(3EI) = 5000·2500³/(3·2.4 × 10¹³) = 1.085 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 4·2500⁴/(8·2.4 × 10¹³) = 0.8138 mm
相加
δ = 1.085 + 0.8138 = 1.899 mm
答案
δ = 1.899 mm
8.梁的挠度
答案: Ireq = 368.2 × 10⁶ mm⁴
梁的挠度：挠度由曲率 M/(EI) 积分两次得到。常见情况有表可查，例如端部受集中力的悬臂梁为 PL³/(3EI)，全跨均布荷载的简支梁为 5wL⁴/(384EI)。各荷载产生的挠度可以叠加。
挠度限值
δallow = L/360 = 6000/360 = 16.67 mm
所需惯性矩
I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·6000⁴/(384·11000·16.67) = 3.682 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 368.2 × 10⁶ mm⁴
答案
Ireq = 368.2 × 10⁶ mm⁴
9.柱的屈曲
答案: Pcr = 34.88 kN
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴
计算长度
KL = 1·6000 = 6000 mm
临界荷载
Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·636173/6000² = 34882 N = 34.88 kN
答案
Pcr = 34.88 kN
10.柱的屈曲
答案: σcr = 7.896 MPa
欧拉屈曲：细长柱在 Pcr = π²EI/(KL)² 时失稳，KL 为计算长度：两端铰接 K = 1，一端固定一端自由 2，一端固定一端铰接 0.7，两端固定 0.5。柱绕 I 最小的轴屈曲。该公式适用于临界应力低于屈服应力的细长柱。
最小惯性矩
圆形截面对任意轴的 I 都相同。
I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2.011 × 10⁶ mm⁴
回转半径和长细比
A = 5027 mm²
r = √(I/A) = √(2.011 × 10⁶/5027) = 20 mm
KL = 2·5000 = 10000 mm
KL/r = 10000/20 = 500
临界应力
σcr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/500² = 7.896 MPa
答案
σcr = 7.896 MPa
11.形心和惯性矩
答案: Ix = 268.5 × 10⁶ mm⁴
带孔的截面：把孔当作负面积。形心为 ȳ = (A₁y₁ − A₂y₂)/(A₁ − A₂)，其中 A₁、y₁ 对应完整的板，A₂、y₂ 对应孔。对形心轴的截面二次矩，对每一部分使用平行轴定理，再减去孔：I = (Ic1 + A₁d₁²) − (Ic2 + A₂d₂²)，其中 d 是各部分自身形心到通过 ȳ 的轴的距离。矩形的 Ic = bh³/12，圆的 Ic = πd⁴/64。
形心
ȳ = (36000·150 − 706.9·195)/(36000 − 706.9) = 149.1 mm
完整的板关于 ȳ
120·300³/12 + 36000·0.9013² = 270 × 10⁶ mm⁴
孔关于 ȳ
π·30⁴/64 + 706.9·45.9² = 1.529 × 10⁶ mm⁴
相减
Ix = 268.5 × 10⁶ mm⁴
答案
Ix = 268.5 × 10⁶ mm⁴
12.形心和惯性矩
答案: σmax = 119.4 MPa
组合截面：将截面分成若干矩形。形心为面积加权平均 ȳ = ΣAᵢyᵢ/ΣAᵢ。对形心轴的惯性矩等于各部分自身的 bh³/12 加上平行移轴项 A·d²，其中 d 为该部分形心到整体形心的距离。弯曲应力 σ = M·y/I。
外矩形减去两侧的空缺部分
两个空缺部分合计宽 (B − tw)，高 hw = H − 2tf，并共用轴 x。
hw = 320 − 2·16 = 288 mm
Ix = (B·H³ − (B − tw)·hw³)/12 = (250·320³ − 242·288³)/12
Ix = 2.009 × 10⁸ mm⁴
弯曲应力
y = 160 mm
σ = M·y/I = 1.5 × 10⁸·160/2.009 × 10⁸ = 119.4 MPa
答案
σmax = 119.4 MPa
13.土中有效应力
答案: σ = 87.5 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·zw + γsat·(z − zw) = 17·4 + 19.5·1 = 87.5 kPa
答案
σ = 87.5 kPa
14.土中有效应力
答案: σ′ = 114.1 kPa
有效应力（太沙基）：土骨架承担 σ′ = σ − u。总应力 σ 为该点以上所有物质的重量 Σγ·h，地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。地下水位以下孔隙水压力为静水压力：u = γw·（地下水位以下深度）。
总应力
将 X 以上各土层的重量相加。地下水位以上用干重度，以下用饱和重度。
σ = γd·4 + γsat,sand·2 + γsat,clay·4
σ = 16.5·4 + 18.5·2 + 17.5·4 = 173 kPa
孔隙水压力
水压随地下水位以下的深度增加。
u = γw·(z − zw) = 9.81·6 = 58.86 kPa
有效应力
σ′ = σ − u = 173 − 58.86 = 114.1 kPa
答案
σ′ = 114.1 kPa
15.固结沉降
答案: S = 144.3 mm
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
与先期固结压力比较
σ′f = 100 + 130 = 230 kPa > 160 kPa
沉降
σ′p 以下为再压缩，超过后为原始压缩。
S = 0.06·4/(1 + 0.65)·log₁₀(160/100) + 0.3·4/(1 + 0.65)·log₁₀(230/160)
S = 29.69 + 114.6 = 144.3 mm
答案
S = 144.3 mm
16.固结沉降
答案: t = 3.993 年
厚度为 H 的黏土层的主固结，使用土层中点处的有效应力：σ′f = σ′0 + Δσ。正常固结黏土：S = Cc·H/(1 + e0)·log₁₀(σ′f/σ′0)。超固结黏土在先期固结压力 σ′p 以下沿 Cr 再压缩，超过后才沿 Cc。时间：t = Tv·Hdr²/cv，当水可以从顶部和底部排出时排水路径 Hdr 为 H/2，只有一面排水时为 H。
排水路径
Hdr = H/2 = 6.5/2 = 3.25 m
时间
t = Tv·Hdr²/cv = 0.567·3.25²/1.5 = 3.993 年
答案
t = 3.993 年
17.静水压力
答案: F = 49.05 kN
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m
A = H·b = 1·2 = 2 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·2.5·2 = 49.05 kN
答案
F = 49.05 kN
18.静水压力
答案: ycp = 4.789 m
平面上的静水压力：F = ρ·g·yc·A。合力作用在压力中心 ycp = yc + Ic/(ycA)，它总在形心以下。
形心深度和面积
yc = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m
A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²
合力
F = ρ·g·yc·A = 1260·9.81·4.75·4.5 = 264.2 kN
压力中心
压强随深度增大，因此合力作用在形心以下。
Ic = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 4.75 + 0.8438/(4.75·4.5) = 4.789 m
答案
ycp = 4.789 m
19.管道摩擦与水头损失
答案: hf = 13.96 m
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
平均流速
A = π·0.05²/4 = 0.001963 m²
V = Q/A = 0.004/0.001963 = 2.037 m/s
速度水头
V²/(2g) = 2.037²/(2·9.81) = 0.2115 m
达西–魏斯巴赫公式
hf = f·(L/D)·V²/(2g) = 0.022·(150/0.05)·2.037²/(2·9.81) = 13.96 m
答案
hf = 13.96 m
20.管道摩擦与水头损失
答案: Q = 122 L/s
管流：雷诺数 Re = V·D/ν = ρ·V·D/μ 用于区分层流（Re 约低于 2000）和湍流（约高于 4000）。沿管道的摩擦造成达西–魏斯巴赫水头损失 hf = f·(L/D)·V²/(2g)。管件、阀门、进口和出口带来局部损失 hm = ΣK·V²/(2g)。在两个敞口水池液面之间，能量方程给出 Δz = hf + hm，其中包含出口损失 K = 1。
损失系数
f·L/D = 0.025·100/0.2 = 12.5
ΣK = 0.5 + 3·0.3 + 2 + 1.0 = 4.4
能量方程
两个水面都与大气相通且基本静止，所以全部 Δz 都损失在管道中。
13 = (12.5 + 4.4)·V²/(2·9.81)
V = √(2·9.81·13/16.9) = 3.885 m/s
流量
Q = V·π·D²/4 = 3.885·0.03142 = 0.122 m³/s = 122 L/s
答案
Q = 122 L/s
21.明渠流（曼宁公式）
答案: Q = 28.15 m³/s
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
几何参数
A = (b + z·y)·y = (3 + 3·1.9)·1.9 = 16.53 m²
P = b + 2y·√(1 + z²) = 3 + 2·1.9·√(1 + 3²) = 15.02 m
R = A/P = 1.101 m
速度
V = (1/0.014)·1.1012/3·0.00051/2 = 1.703 m/s
流量
Q = A·V = 16.53·1.703 = 28.15 m³/s
答案
Q = 28.15 m³/s
22.明渠流（曼宁公式）
答案: S = 0.002453 m/m
曼宁公式（SI）：明渠均匀流中 V = (1/n)·R2/3·S1/2，Q = A·V，其中 n 为糙率，S 为底坡 (m/m)，R = A/P 为水力半径：过水断面面积除以湿周。P 只计与水接触的边界，不计自由水面。矩形：A = b·y，P = b + 2y。边坡为 z:1（水平:竖直）的梯形：A = (b + z·y)·y，P = b + 2y·√(1 + z²)。满流或半满流的圆管 R = D/4。
水力半径
R = D/4 = 0.25/4 = 0.0625 m
由曼宁公式解 S
S = (n·V/R2/3)² = (0.013·0.6/0.1575)² = 0.002453
答案
S = 0.002453
即每千米下降 2.453 m。
23.水泵与泵功率
答案: η = 77.74 %
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
水功率
Ph = ρ·g·Q·H = 1000·9.81·0.02·42 = 8.24 kW
效率
η = Ph/Pshaft = 8.24/10.6 = 77.74%
答案
η = 77.74%
24.水泵与泵功率
答案: H = 8.975 m
水泵功率：传给水的功率是水功率 Ph = ρ·g·Q·H = Q·Δp。由于水泵有损失，轴必须输入更多功率：Pshaft = Ph/ηpump，电动机取用 Pel = Pshaft/ηmotor。泵扬程 H 由能量方程求得：静扬程 + 压力水头 + 全部沿程和局部损失。
速度
V = Q/A = 0.012/0.007854 = 1.528 m/s
V²/(2g) = 0.119 m
水头损失
hL = (f·L/D + ΣK)·V²/(2g) = (20 + 5)·0.119 = 2.975 m
泵扬程
两个水面都是敞口的且基本静止，所以压强项和速度项消去。
H = Δz + hL = 6 + 2.975 = 8.975 m
答案
H = 8.975 m
25.货币的时间价值
答案: FV = 1241 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
利率和期数
i = r/m = 0.036000000000000004/12 = 0.003
N = m·n = 12·6 = 72
终值
FV = 1 000·(1 + 0.003)72 = 1 000·1.241 = €1 240.70
答案
FV = €1 240.70
26.货币的时间价值
答案: A = 978 €
货币的时间价值：今天的钱比日后同样数额的钱更值钱，因为它能赚取利息。每期利率为 i 时，金额按 FV = PV·(1 + i)n 增长。一系列等额付款（年金）的价值是把每笔付款加起来，由此得到年金公式。
月利率和还款期数
i = 0.042/12 = 0.0035
N = 12·30 = 360
每期还款
N 笔等额付款 A 的现值为 A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i。令其等于贷款额，解出 A。
(1 + i)−N = 0.2843
A = 200 000·0.0035/(1 − 0.2843) = €978.03
答案
A = €978.03
27.NPV 与 IRR
答案: NPV = −1933 €
净现值：以要求回报率 r 把每笔现金流折现到今天，然后相加：NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ。NPV > 0 的项目收益高于 r，创造价值。内部收益率（IRR）是使 NPV = 0 的利率。
各笔现金流的现值
CF0 = −20 000
CF1/(1 + 0.05)1 = 6 000/1.05 = 5 714.29
CF2/(1 + 0.05)2 = 6 000/1.103 = 5 442.18
CF3/(1 + 0.05)3 = 8 000/1.158 = 6 910.70
相加
NPV = €−1 932.84
答案
NPV = €−1 932.84
NPV 为负，因此项目收益低于要求回报率。
28.NPV 与 IRR
答案: MIRR = 20.86 %
修正 IRR：把每笔流入按再投资利率（通常为资本成本）复利到项目结束，得到终值 TV。MIRR 是把初始投资变为 TV 的利率：MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1。
流入的终值
4 500·1.13 = 5 989.50
5 000·1.12 = 6 050.00
3 000·1.11 = 3 300.00
6 000·1.10 = 6 000.00
TV = 21 339.50
MIRR
MIRR = (21 339.50/10 000)1/4 − 1 = 20.86%
答案
MIRR = 20.86%
29.正态分布
答案: P = 0.1587
正态变量的和与差：若 X 和 Y 相互独立且服从正态分布，则 X + Y 与 X − Y 也服从正态分布。均值相加或相减：E(X ± Y) = μX ± μY。方差总是相加，差也是如此：Var(X ± Y) = σX² + σY²，所以 σ = √(σX² + σY²)。标准差从不直接相加。n 个独立同分布项的总和，均值为 n·μ，标准差为 σ·√n。然后照常标准化：z = (x − 均值)/σ，再查 Φ(z)。
总和的分布
μT = 48 kg, σT = 0.8·√4 = 1.6 kg
标准化
z = (49.6 − 48)/1.6 = 1
概率
P = 1 − Φ(1) = 0.1587
答案
P = 0.1587
30.正态分布
答案: x = 182.7 cm
正态分布：把数值 x 换算成 z 分数 z = (x − μ)/σ，它表示离均值有多少个标准差。z 表（或 Φ(z)）给出 z 左侧的面积，即 P(X < x)。右侧面积为 1 − Φ(z)，两个值之间的面积等于它们左侧面积之差。
该百分位数对应的 z
Φ(z) = 0.75 → z = 0.6745
换算回 x
x = 178 + 0.6745·7 = 182.72 cm
答案
x = 182.72 cm
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